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Fiche explicative de la leçon : Scalaires, vecteurs et segments orientés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à reconnaître, construire et exprimer des segments orientés.

Commençons en introduisant et en rappelant succinctement quelques termes clés.

Définition : Scalaire

Un scalaire est une quantité qui est complètement décrite par une taille.

Par exemple, la longueur, le temps, la distance et la vitesse sont toutes des quantités scalaires.

Rappel : Segment

Un segment est une partie d’une droite délimitée par deux extrémités distinctes et qui contient tous les points de la droite compris entre ces deux extrémités.

Un segment de droite est orienté lorsqu’une de ses extrémités est un point initial et l’autre est un point final. Si 𝐴 est le point initial et si 𝐵 est le point final, alors on désigne le segment orienté par 𝐴𝐵 et on le représente graphiquement comme suit:

On remarque que 𝐴𝐵 est différent de 𝐵𝐴, qui est le segment orienté avec 𝐵 pour point initial et 𝐴 est pour point final.

On note que la norme du segment orienté 𝐴𝐵 est la longueur de 𝐴𝐵, qui est notée par 𝐴𝐵, ou simplement 𝐴𝐵. Aussi, comme 𝐵𝐴 se situe le long du même segment que 𝐴𝐵, on peut conclure qu’il a la même norme. C’est-à-dire, 𝐴𝐵=𝐵𝐴.

En plus, on peut dire que des segments orientés sont équivalents, ce qui est défini comme suit.

Définition : Segments orientés équivalents

Si deux segments orientés ont la même norme, la même direction et le même sens, ils sont équivalents.

Comme example, considérons un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Comme le segment orienté 𝐴𝐵 a la même norme, la même direction et le même sens que 𝐷𝐶, ils sont équivalents. Il en va de même pour 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷.

Considérons un exemple où nous devons appliquer le concept de segments orientés équivalents.

Exemple 1: Identifier des segments orientés équivalents sur une figure

Sur la figure, lequel des segments orientés donnés est équivalent à 𝐴𝐵?

  1. 𝐹𝐶
  2. 𝐷𝐸
  3. 𝐵𝐶
  4. 𝐺𝐶
  5. 𝐺𝐹

Réponse

Dans cette question, on nous a donné plusieurs segments orientés. Dans chaque cas, ils peuvent être identifiés par leur point initial et leur point final. Par exemple, 𝐴𝐵 commence par le point 𝐴 et va au point 𝐵. Nous le soulignons ci-dessous.

On rappelle qu’un segment orienté est équivalent à un autre segment orienté s’il a la même norme (c’est-à-dire, la même longueur), la même direction et le même sens. Cela signifie que nous devons identifier laquelle des options a la même longueur que 𝐴𝐵 et va dans la même direction et le même sens (c’est-à-dire, horizontalement de gauche à droite). Prenons-les une par une.

Pour l’option A, 𝐹𝐶 va dans la bonne direction et le bon sens, mais sa longueur est le double de celle de 𝐴𝐵, donc ils ne peuvent pas être équivalents.

Pour les options B et E, 𝐷𝐸 et 𝐺𝐹 ont la même norme que 𝐴𝐵, et les segments sont horizontaux, mais ils sont tous les deux dans le sens opposé (c.-à-d. allant de droite à gauche), de sorte qu’ils peuvent également être exclus.

Pour l’option C, 𝐵𝐶 part du même point et a la même norme, mais la direction est complètement différente, donc ils ne peuvent pas être équivalents.

Cependant, pour l’option D, on voit que 𝐺𝐶 a en effet la même direction, le même sens et la même norme que 𝐴𝐵, ce qui signifie qu’ils sont équivalents. Par conséquent, la réponse correcte est D.

Définissons à présent la notion de vecteur.

Définition : Vecteur

Un vecteur est un objet qui a une norme, une direction et un sens.

Le déplacement, la vitesse et l’accélération sont tous des exemples de quantités vectorielles.

On peut représenter des vecteurs graphiquement par le biais des segments orientés. Cependant, contrairement aux segments orientés, les vecteurs n’ont pas de point de départ ou d’arrivée unique. La direction du segment donne la direction du vecteur, son orientation donne le sens, et la longueur de ce segment est la norme du vecteur.

Considérons les trois vecteurs suivants.

Ces trois vecteurs ayant même direction, même sens et même norme, ils sont équivalents, ou égaux. Des vecteurs égaux peuvent avoir des extrémités différentes.

Nous allons à présent étudier la multiplication d’un vecteur par un scalaire. Nous pouvons représenter graphiquement le vecteur 𝑎=(4;2), par un segment orienté comme illustré ci-dessous.

On se donne un autre vecteur, 𝑏, donné par (8;4).

Les vecteurs 𝑎 et 𝑏 sont parallèles et ont le même sens. Cependant, le vecteur 𝑏 a une norme deux fois plus grande que le vecteur 𝑎. On pourrait dire que 𝑏 est équivalent à 2𝑎, c’est-à-dire, 𝑏=2𝑎. Remarquez que chacune des coordonnées en 𝑥 et en 𝑦 de 𝑎 sont doublées pour donner celles du vecteur 𝑏.

On peut multiplier n’importe quel vecteur, 𝑣, par un scalaire quelconque 𝑘, et obtenir un vecteur, 𝑘𝑣 parallèle au vecteur 𝑣.

Étudions le cas où 𝑘=1. Alors, 𝑎=1(4,2)=(1×4,1×(2))=(4,2).

Nous représentons ces deux vecteurs dans la figure ci-dessous.

Les deux vecteurs 𝑎 et 𝑎 sont parallèles et de même norme, mais de sens opposés. Tout comme pour les segments orientés, nous pouvons définir le concept de vecteurs équivalents.

Définition : Vecteurs équivalents

Deux vecteurs sont équivalents s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme ou s’ils sont de même dimension et ont les mêmes coordonnées.

On peut aussi définir des vecteurs opposés.

Définition : Vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés s’ils ont la même norme et la même direction, mais sont de sens opposés.

On peut considérer un vecteur 𝑣 de norme, de direction et de sens donnés par la longueur du segment et par la flèche ci-dessous.

Nous pouvons représenter ce vecteur en fonction du changement horizontal et vertical. En l’écrivant sous la forme (𝑎,𝑏), 𝑎 est égal au changement horizontal des coordonnées en 𝑥 de ses extrémités, et 𝑏 est égal au changement vertical des coordonnées en 𝑦 de ses extrémités. Alternativement, un vecteur peut s’écrire sous la forme 𝑎𝑖+𝑏𝑗, 𝑖 est le vecteur de norme 1 dans le sens positif de l’axe des 𝑥, et 𝑗 est le vecteur de norme 1 dans le sens positif de l’axe des 𝑦.

Le vecteur 𝑣 a un changement horizontal de 6 unités et un changement vertical de 3 unités et, par conséquent, peut être écrit comme (6;3). Notez que si le vecteur pointe vers la gauche, le changement horizontal est négatif, et que si le vecteur pointe vers le bas, le changement vertical est négatif.

Nous pouvons utiliser les coordonnées des extrémités d’un vecteur pour déterminer les composantes horizontale et verticale d’un vecteur.

Définition : Les composantes horizontales et verticales d’un vecteur utilisant ses extrémités

Pour tout couple de points 𝐴=(𝑥;𝑦) et 𝐵=(𝑥;𝑦), 𝐴𝐵=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

On remarque que nous pouvons utiliser 𝐴𝐵 pour représenter le vecteur entre 𝐴 et 𝐵, même si 𝐴𝐵 est techniquement un segment orienté. Nous continuerons à utiliser cette notation pour les vecteurs tout au long de cette fiche explicative, car c’est une manière courante d’écrire des vecteurs.

Pour calculer la norme d’un vecteur, 𝑣, notée 𝑣, on utilise le théorème de Pythagore. Ce théorème stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Définition : Norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur (𝑎,𝑏) est donnée par (𝑎,𝑏)=𝑎+𝑏.

La norme du vecteur 𝑣=(6;3) ci-dessus peut être calculé comme suit:𝑣=6+(3)=36+9=45.

Nous allons à présent étudier plusieurs questions où l’on considère divers aspects des vecteurs, dont leurs représentations et propriétés. Nous allons commencer par étudier les informations nécessaires à la définition d’un vecteur.

Exemple 2: Identification des informations nécessaires pour définir un vecteur

Cinq élèves présentent chacun une affirmation qui, selon eux, est une condition suffisante pour définir un vecteur de manière unique.

Quelles sont les réponses correctes?

  1. Une norme, une direction et un sens
  2. Deux extrémités
  3. Un point initial et un point final
  4. Un point initial et une norme
  5. Une direction et un point final

Réponse

Pour répondre à cette question, examinons chacune des options à tour de rôle.

Dans l’option A, une norme, une direction et un sens sont spécifiées. Rappelons qu’une norme donnée en elle-même n’est qu’un nombre (c’est-à-dire une quantité scalaire). En ajoutant une direction et un sens, nous pouvons former un vecteur comme indiqué.

Ainsi, l’option A est correcte.

Dans l’option B, deux extrémités sont spécifiées. Supposons qu’on nous ait donné un vecteur avec des extrémités aux coordonnées 𝐴(3;4) et 𝐵(2;1). Ensuite, nous pourrions le représenter comme suit.

Cependant, le problème avec seulement les extrémités de la représentation graphique du vecteur est que nous ne savons pas quel sens le voyage prend:est-ce à partir du point 𝐴 au point 𝐵 ou à partir du point 𝐵 au point 𝐴?Cette ambiguïté signifie que, à elle seule, cette option n’est pas suffisante pour définir un vecteur unique;ainsi, l’option B n’est pas correcte.

Dans l’option C, un point initial et un point final sont spécifiés. Comme pour l’option B, nous avons deux extrémités, mais cette fois il est spécifié que l’une est initiale et l’autre est finale. Cela signifie que nous savons dans quel sens va le vecteur et que nous pouvons le tracer sur le graphique, comme indiqué.

C’est-à-dire, étant donné un point initial et un point final d’un vecteur, le sens du vecteur est du point initial au point final.

En outre, si on nous donne les points initial et final d’un vecteur comme 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦), on peut calculer la norme du vecteur 𝐴𝐵, écrit comme 𝐴𝐵, en utilisant le théorème de Pythagore:𝐴𝐵=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Ainsi, cette option nous permet de définir à la fois une direction, un sens et une norme, de sorte que l’option C est correcte.

Pour l’option D, nous devons considérer un point initial et une norme donnée. Jusqu’à présent, nous avons trouvé qu’une norme, une direction et un sens peuvent définir de manière unique un vecteur et un point initial et un point final, mais que se passe-t-il si nous mélangeons les deux conditions?Explorons cette possibilité avec un exemple. Si l’on considère un point initial arbitraire 𝐴(1;3) et une norme de 5, il se trouve que nous pouvons tracer plusieurs points finals 𝐵 qui remplissent les conditions suivantes.

Ici, les deux normes peuvent être calculées de la même manière en utilisant le théorème de Pythagore:𝐴𝐵=4+3=5.

Ainsi, cette description d’un vecteur n’aboutit pas à un résultat unique. En fait, on peut tracer un nombre infini de vecteurs qui satisfont à cette exigence, ce qui donne un cercle centré en (1;3). Par conséquent, l’option D n’est pas correcte.

Pour l’option E, nous devons considérer une direction et un point final. Une fois encore, nous envisageons un mélange de deux façons valables de définir un vecteur. Essayons encore une fois ceci avec un exemple. Supposons que nous avions une extrémité de 𝐵(2;1) et une direction pointant de l’origine au point final. Avec cela, il serait possible de tracer au moins 2 vecteurs, comme indiqué ci-dessous.

C’est-à-dire, si le point initial était à l’un ou l’autre 𝐴(0;0) ou 𝐴(2;1), la direction et le point final seraient les mêmes. En fait, nous pourrions choisir n’importe quel point situé le long de cette trajectoire comme un point initial et il serait valide. Ainsi, cette condition n’est pas unique et E est incorrecte.

En conclusion, A et C sont les options correctes.

On peut noter la formule utilisée dans l’exemple précédent.

Définition : Norme d’un vecteur en utilisant ses extrémités

Pour tout couple de points initiaux et finaux, 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦), la norme du vecteur 𝐴𝐵 est donnée par 𝐴𝐵=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Nous notons que le calcul est exactement le même pour déterminer la norme d’un segment orienté.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment identifier deux vecteurs de même direction et de même sens.

Exemple 3: Identifier des vecteurs avec de même direction et de même sens

Quel vecteur a la même direction et le même sens que 𝑎?

Réponse

Commençons par remarquer que deux vecteurs ont le même sens et la même direction si l’un est le multiple de l’autre par un scalaire strictement positif.

On peut écrire tous les vecteurs sous la forme (𝑎,𝑏), 𝑎 représente la variation horizontale entre les coordonnées en 𝑥 de ses extrémités et 𝑏 représente la variation verticale entre les coordonnées en 𝑦.

On peut écrire le vecteur 𝑎 sous la forme 𝑎=(4,2).

Les vecteurs de même sens et de même direction peuvent s’écrire 𝑘(4;2), 𝑘 est un scalaire strictement positif. Par exemple, le vecteur (8;4), obtenu en posant 𝑘=2, a la même direction et le même sens, aussi que le vecteur (2;1), obtenu en posant 𝑘=12.

On peut réécrire les vecteurs de la figure ci-dessus comme suit:𝑏=(1,1),𝑐=(1,3),𝑑=(4,2).

Le seul vecteur qui a la même direction et le même sens que 𝑎=(4;2) est le vecteur 𝑑=(4;2). Dans ce cas précis, les vecteurs, 𝑎 et 𝑑 sont les mêmes, même si leurs points initiaux et finaux sont différents. Cela signifie qu’ils ont la même norme, la même direction et le même sens.

Bien que cela ne soit pas requis pour cette question, nous pouvons remarquer que les vecteur 𝑎 et 𝑑 sont aussi égaux, car ils ont les mêmes normes, directions et sens.

Ainsi, nous avons identifié le vecteur de même direction et sens que 𝑎:il s’agit du vecteur 𝑑.

Nous allons voir dans l’exemple suivant comment le choix du point initial et du point final en notation vectorielle est à la fois important et utile lors de la modélisation de vecteurs.

Exemple 4: Identification du point final d’un vecteur

Quel est le point final du vecteur 𝐴𝐵?

Réponse

Un vecteur 𝐴𝐵 peut être représenté de la manière suivante.

L’ordre des points et la direction de la flèche, sous la forme 𝐴𝐵, indiquent le sens du vecteur. Dans ce cas, nous allons du point 𝐴 au point 𝐵, le point 𝐴 étant le point initial et 𝐵 étant le point final.

Par conséquent, le point final du vecteur 𝐴𝐵 est 𝐵.

Étudions à présent sur un exemple comment calculer la norme d’un vecteur donné par sa représentation graphique.

Exemple 5: Calcul de la norme d’un vecteur

Calculez la norme du vecteur 𝑣 illustré sur la grille ci-dessous, où chaque carré est de côté 1.

Réponse

La norme d’un vecteur donné par sa représentation graphique est égale à la longueur du segment. On peut calculer la norme du vecteur 𝑣 en utilisant le théorème de Pythagore, qui stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On considère les variations horizontales et verticales entre le point initial et le point final, sachant que les carrés de la grille sont de côté 1.

Ainsi, on a 𝑣=1+2=5.

Donc, le vecteur 𝑣 est de norme 5.

Étudions à présent un exemple mettant en jeu des vecteurs équivalents.

Exemple 6: Identification des propriétés des vecteurs équivalents

Sélectionne toutes les affirmations qui sont vraies si 𝑢 et 𝑣 sont des vecteurs équivalents.

  1. 𝑢 et 𝑣 ont le même point initial.
  2. 𝑢 et 𝑣 ont le même point final.
  3. 𝑢=𝑣
  4. Le point initial de 𝑣 est le point final de 𝑢.
  5. Le point initial de 𝑢 est le point final de 𝑣.

Réponse

On rappelle que deux vecteurs sont équivalents s’ils ont la même norme, la même direction et le même sens.

L’option C, 𝑢=𝑣, stipule que les vecteurs 𝑢 et 𝑣 ont la même norme;donc, cette affirmation est vraie.

Nous pouvons vérifier si l’une des autres affirmations s’applique également. Pour ce faire, on peut considérer une représentation graphique de quelques exemples de vecteurs 𝑢 et 𝑣. On peut prendre le vecteur 𝑢 de norme 1 dans le sens positif de l’axe des 𝑥. Un vecteur 𝑣 de même norme pourrait être tracé parallèlement à 𝑢 et pointant dans le même sens.

Les vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont équivalents car ils ont la même norme, la même direction et le même sens. Cependant, nous pouvons voir que ces vecteurs n’ont ni le même point initial, ni le même point final, pas plus que le point final de l’un est le point initial de l’autre. Donc, bien que les affirmations données dans les options A, B, D et E puissent être vraies dans certaines situations, elles ne le sont pas pour tous les vecteurs équivalents.

Nous pouvons ainsi dire que la seule affirmation vraie pour tout couple de vecteurs équivalents est l’affirmation 𝑢=𝑣.

Nous allons à présent voir comment utiliser les variations horizontales et verticales d’un vecteur, ainsi que la donnée de l’une des extrémités pour pouvoir calculer l’autre extrémité.

Exemple 7: Déterminer le point initial à partir d’un point final et d’un vecteur

Complétez:Si 𝐴𝐵=2𝑖3𝑗 et 𝐵=(5;6), alors le point 𝐴 a pour coordonnées .

  1. (7;3)
  2. (3;9)
  3. (3;9)
  4. (7;3)

Réponse

Dans cette question, on nous donne les informations sur un vecteur 𝐴𝐵, un vecteur qui a un point initial en 𝐴 et un point final en 𝐵. On nous donne aussi les coordonnées du point 𝐵.

On peut commencer par représenter graphiquement le vecteur 𝐴𝐵=2𝑖3𝑗. Ce vecteur a un changement horizontal de 2 et un changement vertical de 3. On pourrait aussi écrire 𝐴𝐵 en coordonnées:(2;3).

Comme le point final 𝐵 a pour coordonnées (5;6), on peut donc représenter ce point avec le vecteur comme suit.

Ainsi, on peut lire sur le graphique que le point 𝐴 a pour coordonnées (3;9).

On peut procéder autrement, sans recourir à une représentation graphique, en rappelant que les coordonnées d’un vecteur sont obtenues en soustrayant les coordonnées du point initial à celles du point final.

Pour toute paire de points 𝐴=(𝑥;𝑦) et 𝐵=(𝑥;𝑦), on a 𝐴𝐵=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

En substituant 𝐴𝐵=(2;3) et 𝐵=(5;6) dans cette équation, , on obtient (2,3)=(5𝑥,6𝑦).

Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales. Ainsi, en égalisant la composante horizontale, on a 2=5𝑥2+𝑥=5𝑥=3.

De même, en égalisant la coordonnée en 𝑦 on obtient 3=6𝑦3+𝑦=6𝑦=9.

Donc, le point 𝐴=(𝑥;𝑦) a pour coordonnées (3;9).

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier des vecteurs opposés.

Exemple 8: Identification des propriétés des vecteurs opposés

Complétez:Si 𝐴 est un vecteur non nul, alors .

  1. 𝐴 et 𝐴 ont le même sens
  2. 𝐴 et 𝐴 ont des sens opposés
  3. 𝐴𝐴
  4. 𝐴<𝐴

Réponse

Pour répondre à cette question, on considère les vecteurs non nuls 𝐴 et 𝐴. Le vecteur 𝐴 a la même norme et la même direction que 𝐴 mais pointe dans le sens opposé.

Donc, nous pouvons compléter l’énoncé de la question par l’affirmation:siestunvecteurnonnul,alorsetsontdessensopposés𝐴𝐴𝐴.

On peut remarquer que l’option C, 𝐴𝐴 ( 𝐴 est orthogonal à 𝐴 ), ne peut pas être vraie puisque les vecteurs 𝐴 et 𝐴 sont parallèles. De même, l’option D, à savoir 𝐴>𝐴, est fausse. De fait, des vecteurs opposés sont toujours de même norme, nous pourrions donc écrire 𝐴=𝐴.

Dans le dernier exemple, nous allons appliquer tout ce que nous avons appris sur les vecteurs pour résoudre un problème de géométrie.

Exemple 9: Nature du polygone formé par quatre vecteurs donnés

Quelle est la nature du polygone formé par les quatre vecteurs ci-dessous?

Réponse

Sur la figure, on remarque que les vecteurs 𝑢 et 𝑣 apparaissent deux fois. Les deux vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont tous deux égaux au vecteur 𝑢. De même, les vecteurs 𝐵𝐷 et 𝐴𝐶 sont tous deux égaux au vecteur 𝑣. Lorsque deux vecteurs sont égaux, ils ont, en particulier, la même norme, la même direction et le même sens.

Cela montre que, sur cette figure, les côtés opposés 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles et de même longueur.

Les autres côtés opposés 𝐵𝐷 et 𝐴𝐶 sont, eux aussi, parallèles et de même longueur.

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.

Ainsi, le polygone formé par ces quatre vecteurs est un parallélogramme.

Faisons maintenant un résumé des points clés.

Points clés

  • Un segment orienté est un objet avec un point initial, un point final et une direction.
  • Un vecteur est un objet qui a une norme, une direction et un sens. Nous pouvons le représenter sous la forme d’un segment orienté, dont la longueur donne la norme, la pente donne la direction et dont la flèche donne le sens.
  • Pour décrire un vecteur, nous avons besoin soit d’un point initial et d’un point final, soit de sa direction, de son sens et de sa norme.
  • Un vecteur 𝐴𝐵 décrit le mouvement à partir du point initial, 𝐴, jusqu’au point final, 𝐵.
  • Pour tout couple de points 𝐴=(𝑥;𝑦) et 𝐵=(𝑥;𝑦), on a 𝐴𝐵=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).
  • Deux vecteurs ont la même direction et le même sens si l’un est un multiple de l’autre par un scalaire strictement positif.
  • Deux vecteurs sont équivalents s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, ou s’ils ont la même dimension et les mêmes coordonnées.
  • Pour un vecteur non nul 𝐴, son vecteur opposé, 𝐴, a la même norme, la même direction que 𝐴 mais pointe dans le sens opposé.
  • La norme d’un vecteur (𝑎,𝑏) est donnée par (𝑎,𝑏)=𝑎+𝑏.
  • Pour tout couple de points 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦), la norme du vecteur 𝐴𝐵 est donnée par 𝐴𝐵=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

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