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La figure représente deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Calcule la norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁. On arrondira la réponse à l’unité.
Sur la figure, nous pouvons voir que la norme du vecteur 𝐀 vaut 12, que la norme du vecteur 𝐁 vaut 16 et que l’angle entre les deux vecteurs vaut 82 degrés. On nous demande de calculer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On rappelle que le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur. En fait, il existe une formule simple pour calculer la norme d’un produit vectoriel en fonction de la norme des deux vecteurs et de l’angle qui les sépare et ce sont exactement les données que nous avons sur la figure.
Cette formule dit que la norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égale à la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le sin de 𝜃, où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs, qui dans ce cas vaut 82 degrés, comme indiqué sur la figure. Notons que nous pourrions aussi prendre cet angle ici entre les deux vecteurs, qui vaut 360 degrés moins 82 degrés. C’est l’angle complémentaire de 82 degrés pour former un cercle complet. Notons que pour que la norme soit supérieure ou égale à zéro, il faut toujours que 𝜃 soit compris entre zéro et 180 degrés. Donc, lorsque nous avons le choix entre 82 degrés et 278 degrés, il faut choisir 82 degrés et de cette façon la norme sera positive.
Il faut tout de même dire que si l’on utilise le grand angle au lieu du petit angle, le résultat sera simplement négatif. Donc, une autre façon de s’assurer que 𝐀 vectoriel 𝐁 est toujours positif ou nul consiste à utiliser l’une ou l’autre des angles, puis à prendre la valeur absolue du résultat. De toutes façons, dans cette question, on nous donne 𝜃 qui est en fait le petit angle. Nous allons donc simplement utiliser cette valeur et nous n’avons pas besoin de prendre la valeur absolue.
En utilisant les valeurs sur la figure, la norme de 𝐀 vectoriel 𝐁 est égale à 12 fois 16 fois le sin de 82 degrés, ce qui est égal à 190,131 suivis d’autres décimales. On nous demande de donner la réponse arrondie à l’unité. Et 190,131 etc. arrondi à l’unité donne 190. Et voici, arrondi à l’unité, la norme du produit vectoriel des deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 représentés sur la figure.
