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Vidéo de la leçon : Le produit vectoriel de deux vecteurs Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs, de deux manières différentes, en utilisant les composantes ou en utilisant les normes des vecteurs et l’angle entre ces deux vecteurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons parler du produit vectoriel de deux vecteurs. Il s’agit en fait d’une méthode qui consiste à prendre deux vecteurs situés dans le plan 𝑥y, et les combinant pour obtenir un troisième vecteur orienté selon l’axe des 𝑧.

Pour commencer, rappelons-nous qu’il existe plusieurs façons de combiner des vecteurs. On peut additionner des vecteurs ou les soustraire. Et on peut également combiner des vecteurs en utilisant ce qu’on appelle le produit scalaire. Dans cette leçon, nous allons parler du produit vectoriel, une méthode particulière qui permet de multiplier deux vecteurs entre eux pour obtenir un vecteur ayant sa propre norme et direction. Autrement dit, le produit vectoriel crée un autre vecteur.

Pour comprendre ce qui se passe mathématiquement, donnons un nom à ces deux vecteurs. Appelons le vecteur bleu 𝐀 et le vecteur rouge 𝐁. Sans plus d’information sur 𝐀 ou 𝐁, nous pouvons tout de même écrire leur produit vectoriel de manière théorique. Le produit vectoriel de 𝐀 avec 𝐁 est représenté de cette manière, en utilisant le symbole vectoriel entre les deux vecteurs.

L’équation que nous allons écrire maintenant s’applique uniquement aux vecteurs se trouvant dans le plan 𝑥𝑦. Cela signifie que nous pouvons décomposer les vecteur 𝐀 et 𝐁 de cette manière. Le vecteur 𝐀 est la somme d’une composante dans la direction 𝑥 et d’une composante dans la direction 𝑦. Et nous pouvons représenter le vecteur 𝐁 de la même manière. Remarquez que ces vecteurs apparaissant dans nos décompositions des vecteurs 𝐀 et 𝐁. Dans les deux cas, nous avons un vecteur appelé 𝐢 et un vecteur appelé 𝐣.

Rappelons-nous qu’il s’agit des vecteurs unitaires correspondant respectivement aux axes 𝑥 et 𝑦. Notons au passage, que lorsqu’on inclut une troisième dimension 𝑧, le vecteur unitaire associé est généralement représenté par la lettre 𝐤. Pour revenir à nos vecteurs, maintenant que nous avons décomposé 𝐀 et 𝐁 selon leurs composantes, nous pouvons passer à l’étape suivante et écrire la formule du produit vectoriel. Nous le faisons en utilisant les composantes en 𝑥 et en 𝑦 de 𝐀 et 𝐁.

Si nous prenons la composante en 𝑥 de 𝐀, cette composante ici, en la multipliant par la composante en 𝑦 de 𝐁, cette composante ici. Puis en soustrayant à cela, la composante en 𝑦 𝐀 ici multipliée par la composante en 𝑥 de 𝐁 ici. Nous obtenons l’expression de la norme du produit vectoriel. Mais nous avons dit que le résultat du produit vectoriel est un autre vecteur. Et c’est là que nous allons avoir besoin du vecteur unitaire 𝐤. La norme de notre vecteur est 𝐀 𝑥 fois 𝐁 𝑦 moins 𝐀 𝑦 fois 𝐁 𝑥 et le vecteur 𝐤 lui donne sa direction.

Donc, nous avons bien calculé un vecteur. Notons un fait intéressant concernant cette direction. Alors que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 appartenaient au plan 𝑥𝑦 et n’avaient donc que des composantes sur 𝐢 et 𝐣, le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 appartient à un axe différent. Sa direction est donnée par le vecteur 𝐤. C’est toujours le cas ; le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal aux deux vecteurs originaux. Passons maintenant à la pratique et utilisons cette équation sur ces deux vecteurs ici.

Repérons les vecteurs 𝐀 et 𝐁 dans un système d’axes gradués. Il y a des graduations sur les axes 𝑥 et 𝑦 mais nous ne préciserons pas les unités utilisées. En effet, dans notre cas, les unités n’ont pas d’importance et donc nous ne les préciserons pas. En regardant la figure, nous voyons que la composante en 𝑥 de 𝐀 vaut une unité. Et que sa composante en 𝑦 vaut cinq unités dans le sens positif. Nous pouvons donc écrire le vecteur 𝐀 comme 𝐢 plus cinq fois 𝐣. De même, avec le vecteur 𝐁, nous voyons que la composante en 𝑥 vaut quatre unités et que la composante en 𝑦 vaut deux unités dans le sens positif Ainsi, le vecteur 𝐁 est égal à quatre fois 𝐢 plus deux fois 𝐣.

Maintenant que nous connaissons les composantes en 𝑥 et en 𝑦 de 𝐀 et 𝐁, calculons leur produit vectoriel. Autrement dit, calculons 𝐀 vectoriel 𝐁. Notre formule du produit vectoriel nous dit qu’il faut prendre la composante en 𝑥 de 𝐀, dans notre cas, un, fois la composante en 𝑦 de 𝐁, qui est égale à deux dans notre base de coordonnées. Puis, à cela, nous soustrayons la composante en 𝑦 de 𝐀, qui est égale à cinq, fois la composante en 𝑥 de 𝐁, qui est égale à quatre.

Et comme nous l’avons vu de manière théorique avec ces deux vecteurs appartenant au plan 𝑥𝑦, les vecteurs 𝐀 et 𝐁, dont nous connaissons les composantes, auront un produit vectoriel orienté selon la direction du vecteur unitaire 𝐤, dans le sens positif ou négatif. C’est-à-dire que le produit vectoriel sera quelque part sur l’axe des 𝑧. Et il n’aura aucune composante selon les axes 𝑥 et 𝑦.

Revenons maintenant à cette équation, nous pouvons calculer le contenu des parenthèses en bleu. Une fois deux, deux. Et cinq fois quatre, 20. Le vecteur résultant vaut donc, deux moins 20, c’est-à-dire moins 18𝐤. Dans notre système de coordonnées, si nous représentons les valeurs négatives de 𝑧 par une droite en pointillés, le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 sera représenté par 18 unités le long de cette droite.

Il y a un point particulièrement important à retenir lors du calcul d’un produit vectoriel. C’est que l’ordre utilisé pour les vecteurs est très important. Dans cette équation, notez que lorsque nous multiplions 𝐀 par 𝐁, 𝐀 vient donc en premier, alors c’est la composante en 𝑥 de ce premier vecteur qui multiplie la composante en 𝑦 du second vecteur. Puis, dans le terme suivant, la composante en 𝑦 du premier vecteur multiplie la composante en 𝑥 du second vecteur. Si l’on inversait les deux vecteurs – c’est à dire qu’au lieu de prendre 𝐀 vectoriel 𝐁, nous prenions 𝐁 vectoriel 𝐀 - alors nous aurions un résultat très différent.

Faisons le calcul pour vérifier cela. Nous avons déjà calculé 𝐀 vectoriel 𝐁 en utilisant des exemples particuliers de vecteurs 𝐀 et 𝐁. Inversons maintenant l’ordre. Calculons le produit vectoriel de 𝐁 et 𝐀. Pour faire cela, la formule que nous avons peut être un peu déroutante parce qu’elle fait référence à un premier vecteur appelé 𝐀 et un second vecteur appelé 𝐁. Mais il suffit juste de faire attention et nous devrions être capable de calculer 𝐁 vectoriel 𝐀.

Le premier terme dans le calcul du produit vectoriel est la composante en 𝑥 du premier vecteur. Dans notre calcul ici, ce premier vecteur est le vecteur 𝐁 et sa composante en 𝑥 est quatre. Cette valeur est ensuite multipliée par la composante en 𝑦 du deuxième vecteur. De même, dans notre cas, ce deuxième vecteur est 𝐀 et sa composante en 𝑦 est cinq. Donc, nous en avons quatre fois cinq.

Et à cela, nous soustrayons la composante en 𝑦 du premier vecteur. La composante en 𝑦 du vecteur 𝐁 ici est deux fois la composante en 𝑥 de notre second vecteur. Notre second vecteur dans ce calcul est le vecteur 𝐀 et sa composante en 𝑥 est un. Calculons maintenant la valeur entre les parenthèses bleues, nous avons quatre fois cinq, 20, moins deux fois un, deux. Et 20 moins deux, cela fait 18.

Comparons ce résultat avec le résultat du calcul de 𝐀 vectoriel 𝐁, nous pouvons remarquer deux choses. Premièrement, ces résultats sont différents. Et cela est généralement vrai. C’est-à-dire que de manière générale 𝐀 vectoriel 𝐁 n’est pas égal à 𝐁 vectoriel 𝐀. Mais on remarque autre chose concernant ces résultats. Les deux produits vectoriels ont la même norme, 18 unités, mais ont des sens opposés. Cela est aussi vrai de manière générale.

Et nous pouvons l’écrire de cette façon. On peut dire que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à moins le produit vectoriel de 𝐁 et 𝐀. Une conséquence de cela, d’ailleurs, est que la norme de 𝐀 vectoriel 𝐁 est égale à la norme de 𝐁 vectoriel 𝐀. Cela fait beaucoup d’équations ici, mais nous sommes en train d’établir des relations importantes pour le produit vectoriel. Maintenant que nous avons fini le calcul des produits vectoriels pour 𝐀 et 𝐁 sur ce graphique, faisons un peu de place pour un nouveau calcul.

Que se passerait-il si nous devions calculer le produit vectoriel de deux vecteurs unitaires ? C’est à dire, si nous calculions le produit vectoriel du vecteur unitaire 𝐢 et du vecteur unitaire 𝐣 ? Nous savons que, techniquement, ce sont tous les deux des vecteurs, donc cela devrait fonctionner. Et en fait, tout comme pour les vecteurs 𝐀 et 𝐁, nous pouvons écrire les composantes en 𝑥 et en 𝑦 de ces vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

En regardant notre graphique en bas à gauche, nous pouvons écrire le vecteur unitaire 𝐢 de cette façon. Dans la direction 𝐢, l’axe des 𝑥, la composante du vecteur unitaire 𝐢 vaut une unité Et il n’a aucune composante dans la direction 𝐣, selon l’axe des 𝑦. On peut donc dire que 𝐢 est égal à un 𝐢 plus zéro 𝐣, et de même avec le vecteur unitaire 𝐣. Sa composante est nulle dans la direction 𝐢, selon l’axe des 𝑥. Et la composante dans la direction 𝐣 vaut un.

Maintenant que nous avons les composantes en 𝑥 et 𝑦 de 𝐢 et 𝐣, nous pouvons calculer 𝐢 vectoriel 𝐣. Le produit vectoriel est égal à la composante en 𝑥 du premier vecteur, c’est 𝐢. Et cette composante en 𝑥 est un multipliée par la composante en 𝑦 du second vecteur. Ce second vecteur est 𝐣, et sa composante en 𝑦 est également un. Puis, à ce produit, nous soustrayons la composante en 𝑦 du premier vecteur. C’est le vecteur 𝐢. Et nous voyons que la composante en 𝑦 est nulle. Nous la multiplions par la composante en 𝑥 du second vecteur. Ce second vecteur est 𝐣. Et sa composante en 𝑥 est égale à zéro également.

Calculons maintenant le résultat, nous avons une fois un, un, moins zéro fois zéro, ce qui fait zéro. Toute cette expression se simplifie et nous trouvons que 𝐢 vectoriel 𝐣 est égal au vecteur unitaire 𝐤. Et nous pouvons écrire cette équation en vert parce que cela est vrai de manière générale. Et si nous voulions faire l’inverse et calculer le produit vectoriel de 𝐣 et 𝐢 ?

Pour cela, nous pourrions refaire le calcul. Mais rappelons-nous les relations du produit vectoriel que nous avons établies, en particulier celle-ci, qui dit que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à l’opposé du produit vectoriel de 𝐁 et 𝐀. Cela nous permet d’aller plus vite pour le calcul. Sachant que 𝐢 vectoriel 𝐣 est égal à 𝐤, nous savons que 𝐣 vectoriel 𝐢 est égal à l’opposé de cette valeur Donc, aussi étrange que cela puisse paraître, nous pouvons en effet calculer le produit vectoriel de vecteurs unitaires, et le résultat est un vecteur orthogonal à la fois à 𝐢 et à 𝐣.

Il reste un dernier point à souligner à propos du produit vectoriel. Et cela concerne la norme du produit vectoriel. Revenons à notre graphique des vecteurs 𝐀 et 𝐁 et, pour l’instant, sans considérer la dimension 𝑧. Donc, ces deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 appartiennent plan 𝑥𝑦. Et disons que nous voulons calculer la norme de leur produit vectoriel. Il est possible de le faire connaissant trois informations. Premièrement, il faut connaître la norme du vecteur 𝐀. Deuxièmement, il faut connaître la norme du vecteur 𝐁. Et troisièmement, il faut connaître l’angle entre ces deux vecteurs. Et nous appellerons cet angle 𝜃.

Alors, voilà comment cela fonctionne. La norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égale à la norme du vecteur 𝐀, fois la norme du vecteur 𝐁, fois le sinus de l’angle entre ces deux vecteurs. Cette relation peut être très utile lorsque l’on connaît les normes des deux vecteurs mais que l’on ne connaît pas leurs composantes. Il n’est pas nécessaire de connaître les composantes des vecteurs pour calculer le produit vectoriel, du moment que nous connaissons également l’angle entre les deux vecteurs. Essayons de mieux comprendre cette équation, en considérant le facteur sinus 𝜃 ici.

Nous savons que si l’angle 𝜃 est nul, alors cela veut dire que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires donc comme sinus zéro égal zéro, le produit vectoriel de ces vecteurs sera nul. Autrement dit, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Mais, si au lieu de prendre un angle nul, nous prenions un angle 𝜃 valant 90 degrés ? Eh bien, nous savons que le sinus de 90 degrés est égal à un. Et nous aurions la valeur maximale pour cette expression, norme de 𝐀 fois norme de 𝐁 fois le sinus de l’angle entre les deux vecteurs.

On voit donc que si l’on connaît la norme de deux vecteurs, la norme de leur produit vectoriel sera maximale dans le cas où ces deux vecteurs sont orthogonaux. Juste en appliquant quelques propriétés de sinus 𝜃, nous pouvons donc mieux comprendre cette formule. Maintenant que nous savons ce qu’est un produit vectoriel, essayons un exercice d’application.

Considérons deux vecteurs, 𝐑 égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣 et 𝐒 égal à cinq 𝐢 plus huit 𝐣. Calculez 𝐑 vectoriel 𝐒.

Eh bien, nous voyons que dans cet exercice, il nous est demandé de calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐑 et 𝐒. On nous donne ces vecteurs avec leurs décompositions en composantes. Et nous voyons que chacun a une composante en 𝐢, composante le long de l’axe des 𝑥, ainsi qu’une composante en 𝐣, composante le long de l’axe des 𝑦. Ces deux vecteurs, 𝐑 et 𝐒, se trouvent donc dans le plan 𝑥𝑦. En fait, si nous dessinons les axes 𝑥 et 𝑦, alors nous pouvons représenter les vecteurs 𝐑 et 𝐒 sur ce graphique.

Le vecteur 𝐑 est composé de trois unités selon 𝑥 dans le sens positif et de deux unités selon 𝑦 dans le sens positif, ce qui nous donne ce vecteur. De même, le vecteur 𝐒 est composé de cinq unités selon 𝑥 dans le sens positif et de huit unités selon 𝑦 dans le sens positif. Et ce vecteur ressemble à cela. Maintenant, pour calculer le produit vectoriel, 𝐑 vectoriel 𝐒, rappelons-nous la formule mathématique du produit vectoriel de deux vecteurs situés dans le plan 𝑥𝑦, comme c’est le cas pour 𝐑 et 𝐒.

Si nous prenons deux vecteurs quelconques, 𝐀 et 𝐁, situés dans le plan 𝑥𝑦. Le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁, aussi appelé 𝐀 vectoriel 𝐁, est égal à la composante en 𝑥 de 𝐀 fois la composante en 𝑦 de 𝐁 moins la composante en 𝑦 de 𝐀 fois la composante en 𝑥 de 𝐁. Notez que le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. C’est-à-dire qu’il possède à la fois une norme et une direction. Et puisque les vecteurs 𝐀 et 𝐁 se trouvent tous les deux dans le plan 𝑥𝑦, leur produit vectoriel sera orthogonal à ce plan, dans la direction 𝐤.

Utilisons maintenant la décomposition de 𝐑 et 𝐒 en composantes, pour calculer 𝐑 vectoriel 𝐒. Ce produit vectoriel est égal à la composante en 𝑥 de 𝐑 fois la composante en 𝑦 de 𝐒 moins la composante en 𝑦 de 𝐑 fois la composante en 𝑥 de 𝐒. Et ce vecteur sera orienté dans la direction 𝐤, dans le sens positif ou négatif. Regardons maintenant les termes entre parenthèses, nous pouvons voir que la composante en 𝑥 de 𝐑 est trois, que la composante en 𝑦 de 𝐒 est huit, que la composante en 𝑦 de 𝐑 est deux et que la composante en 𝑥 de 𝐒 est cinq.

Remplaçons ces valeurs et calculons ensuite le résultat. Trois fois huit, 24, et deux fois cinq, 10. Puis, 24 moins 10 est égal à 14. Ainsi, notre produit vectoriel mesure 14 unités, orienté selon la direction 𝐤 dans le sens positif. Donc, si nous ajoutons un axe 𝑧 sur notre graphique, avec cet axe dirigé vers l’écran, alors le produit vectoriel sera orienté vers nous et sa longueur sera de 14 unités dans cette direction. Voici le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐒.

Résumons maintenant ce que nous avons appris sur le produit vectoriel de deux vecteurs. Dans cette leçon, nous avons appris que le produit vectoriel de deux vecteurs est un autre vecteur. Nous avons également vu que si deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont situés dans le plan 𝑥𝑦. Alors le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à la composante en 𝑥 de 𝐀 fois la composante en 𝑦 de 𝐁 moins la composante en 𝑦 de 𝐀 fois la composante en 𝑥 de 𝐁. Et que ce produit vectoriel est orienté dans la direction du vecteur unitaire 𝐤.

Nous avons également appris que l’ordre dans lequel deux vecteurs apparaissent dans un produit vectoriel a son importance. Le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁, également appelé 𝐀 vectoriel 𝐁, est égal à l’opposé du produit vectoriel de 𝐁 et 𝐀. De plus, nous avons établi des relations entre les vecteurs unitaires eux-mêmes. Nous avons vu que le produit vectoriel de 𝐢 et 𝐣 est égal au vecteur unitaire 𝐤, alors que le produit vectoriel de 𝐣 et 𝐢 est égal à l’opposé de ce vecteur.

Et enfin, nous avons vu que pour deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 situés dans le plan 𝑥𝑦 et séparés par un angle 𝜃, la norme de leur produit vectoriel est égale au produit des normes des vecteurs multiplié par le sinus de 𝜃.

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