Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs en utilisant à la fois les composantes vectorielles et l’intensité des deux vecteurs ainsi que l'angle entre eux.
Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur.
Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet.
Prenons l'exemple d'une roue de voiture qui peut tourner librement autour de son axe. Une force est appliquée à la roue en un point situé sur le bord de la roue. Le vecteur du centre de la roue au point où la force agit est . La force agit le long d’une tangente à la roue. Ceci est illustré par la figure ci-dessous.
Si l’intensité de la force est et l’intensité du vecteur allant du centre de la roue au point où la force agit, qui correspond au rayon, est , alors le couple sur la roue, , est juste égal à multiplié par ,
Que se passe-t-il si la force n'agit pas sur une tangente à la roue ? La figure ci-dessous montre le même scénario mais avec la force agissant selon un angle , par rapport à la tangente.
Dans ce cas de figure, on ne peut pas utiliser pour calculer le couple sur la roue. Au lieu de cela, nous pouvons utiliser le produit vectoriel de et pour déterminer le couple.
Le produit vectoriel est noté avec un signe multiplicateur entre les deux vecteurs,
Pour cette raison, le produit vectoriel est aussi appelé produit croisé.
Notez que comme le résultat du produit vectoriel est un autre vecteur, alors le couple est une quantité vectorielle. Lorsque nous utilisons , comme dans le cas précédent, nous calculons uniquement l’intensité du couple, mais il a aussi un sens.
Afin de comprendre comment fonctionne le produit vectoriel, regardons d'abord ce qu’on obtient à partir du produit vectoriel de vecteurs unitaires.
Rappelons qu’un vecteur unitaire est un vecteur dont l’intensité est égale à 1. Nous pouvons représenter tout vecteur comme une somme de vecteurs unitaires le long des axes cardinaux, qui, lorsque nous travaillons en deux dimensions, sont les axes et . Par convention, est un vecteur unitaire qui pointe le long de l'axe et est un vecteur unitaire qui pointe le long de l'axe .
Cependant, travailler avec le produit vectoriel nous amène dans trois dimensions, donc nous avons aussi besoin d’un vecteur unitaire qui pointe le long de l'axe . Par convention, ce vecteur unitaire est représenté par le symbole .
La figure ci-dessous montre les axes , , et ainsi que les vecteurs unitaires correspondants : , , et .
Il est important de noter que, contrairement à la multiplication de nombres simples, avec le produit vectoriel, l'ordre des deux vecteurs dans le produit modifie le résultat. Par exemple, le résultat de n’est pas égal au résultat de :
Le produit vectoriel est défini de telle sorte qu’un produit vectoriel mettant en jeu à la fois et pointera vers ou . Les vecteurs unitaires et se trouvent tous deux dans le plan et le résultat du produit vectoriel est toujours normal au plan formé par les deux vecteurs auxquels le produit vectoriel est appliqué.
Dans le cas de , le résultat est simplement :
Dans le cas de , le résultat est :
Notez que . En changeant l'ordre des vecteurs unitaires dans l’expression du produit, on obtient un résultat avec une même intensité mais un sens opposé. Ceci est généralement vrai pour n’importe quel produit vectoriel de deux vecteurs.
Règle : Échange de l'ordre des opérandes dans le produit vectoriel
En changeant l'ordre des opérandes dans le produit vectoriel, on obtient un résultat qui a la même intensité mais qui pointe dans le sens opposé.
Pour deux vecteurs quelconques et ,
De plus, le produit vectoriel de ou avec lui-même est égal à 0 :
Sachant tout cela, nous pouvons maintenant établir une formule pour le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques qui se trouvent dans le plan . Considérons un vecteur , qui a des composants et , et un vecteur , qui a des composants et :
Le produit vectoriel de et est
Comme avec la multiplication ordinaire, nous pouvons développer les parenthèses, ce qui nous donne
Pour l'instant, c'est une expression assez longue et complexe. Cependant, il est possible de la simplifier radicalement en utilisant les règles concernant les produits vectoriels de vecteurs unitaires que nous avons définies plus tôt. Rappelons que et sont égales à 0. Cela signifie que ce qui se simplifie par :
Rappelons également que et , alors
Nous avons maintenant une formule simple pour calculer le produit vectoriel. Notez que cette formule ne fonctionnera que pour deux vecteurs qui se trouvent dans le plan ce qui signifie que leur composante doit être 0. La formule pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques au sens stricte est plus complexe ; cependant, dans cette leçon nous n’appliquerons le produit vectoriel qu’à deux vecteurs appartenant au plan .
Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs appartenant au plan 𝑥𝑦
Si deux vecteurs et tous deux dans le plan , leur produit vectoriel est donné par où et sont les composantes de et et sont les composantes de .
Essayons maintenant d'utiliser cette formule dans un exemple de question.
Exemple 1: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs qui appartiennent au plan 𝑥𝑦 en fonction de leur composantes
Considérez les deux vecteurs et . Calculez .
Réponse
On peut utiliser la formule pour calculer le produit vectoriel de et . En remplaçant par les valeurs, on obtient
Le résultat de est . Notez que les deux vecteurs et se situent dans le plan , alors que leur produit vectoriel pointe le long de l'axe , normal au plan .
Exemple 2: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs appartenant au plan 𝑥𝑦 en fonction de leurs composantes
Considérez les deux vecteurs et .
- Calculez .
- Calculez .
Réponse
Partie 1
On peut utiliser la formule pour calculer le produit vectoriel de et . En remplaçant par les valeurs, on obtient
Le résultat de est .
Partie 2
Dans la première partie de la question, on nous a demandé de calculer , et on nous demande ensuite de calculer le produit vectoriel en inversant les deux vecteurs considérés.
Le résultat du produit ne sera pas le même que dans la première partie parce que l'ordre des opérandes dans le calcul du produit vectoriel affecte le résultat. Cependant, nous n’avons pas besoin de refaire un calcul, car nous pouvons simplement utiliser le fait que, pour deux vecteurs quelconques et ,
En inversant l'ordre des vecteurs, on obtient le même résultat mais multiplié par .
Donc, si , alors .
Exemple 3: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs représentés sur une grille
La figure réprésente deux vecteurs, et . Chacun des carrés de la grille a un côté d'une longueur de 1. Calculez .
Réponse
Dans cette question, on nous représente deux vecteurs sur une grille et on nous demande de trouver leur produit vectoriel.
Nous pouvons déterminer les composantes des vecteurs en étudiant la grille. Le vecteur a une longueur horizontale de 4 carrés et une longueur verticale de 1 carré. Par conséquent,
Le vecteur a une longueur horizontale de 3 carrés et une longueur verticale de 5 carrés. Par consequent,
On peut alors utiliser la formule pour calculer le produit vectoriel de et . En remplaçant par les valeurs, on obtient
Le résultat de est .
Jusqu’à présent, nous avons déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs en utilisant la manipulation algébrique des composantes des vecteurs. Cependant, il existe aussi un moyen de définir géométriquement le produit vectoriel.
Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs
Considérez deux vecteurs et . L’angle entre les deux vecteurs est . Ceci est illustré par la figure ci-dessous.
Le produit vectoriel de et est égale à l’intensité de multipliée par l’intensité de , multiplié par le sinus de l’angle entre eux, , multiplié par un vecteur unitaire , qui s’oriente selon la normale au plan formé par et ,
Si on dit que l’intensité de est et l’intensité de est , alors nous pouvons écrire
On ne dirait pas à première vue, mais cette formule donne en réalité le même résultat que la formule du produit vectoriel que nous avons utilisée précédemment. L’équivalence de ces deux formules peut être prouvée algébriquement, mais ce n’est pas le but de cette fiche explicative.
Voir le produit vectoriel ainsi défini nous permet d’en repérer quelques propriétés utiles.
Tout d’abord, rappelons la forme d’une courbe sinusoïdale. Ceci est illustré par le graphique ci-dessous.
Quand , . Cela signifie que lorsque l’angle entre deux vecteurs est , donc lorsqu’ils sont parallèles, leur produit vectoriel est 0.
De même, lorsque , . Cela signifie que lorsque l’angle entre deux vecteurs est , donc lorsqu’ils sont antiparallèles, leur produit vectoriel est 0.
Règle : Le produit vectoriel des vecteurs parallèles ou antiparallèles
Si deux vecteurs pointent dans le même sens ou dans des sens opposés, leur produit vectoriel est nul.
Cela signifie en outre que le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même est égal à 0, car tout vecteur est parallèle à lui-même.
Règle : Le produit vectoriel d'un vecteur quelconque par lui-même
Le produit vectoriel de tout vecteur avec lui-même est égal à zéro :
La fonction sinus a sa valeur maximale de 1 lorsque . Cela signifie que le produit vectoriel de deux vecteurs atteindra sa plus grande valeur lorsque les deux vecteurs sont perpendiculaires l’un à l’autre. C’est l’opposé du produit scalaire, qui a une valeur de 0 lorsque les deux vecteurs sont perpendiculaires.
Par conséquent, nous pouvons considérer le produit vectoriel comme étant une mesure de deux choses : la taille des vecteurs et la proportion dans laquelle ils sont perpendiculaires. Plus l’intensité de l'un ou l'autre des vecteurs est grande, plus l’intensité de leur produit vectoriel est importante. Plus l’angle entre eux, , est proche de , plus l'intensité du produit vectoriel est grande.
Mais comment pouvons-nous déterminer la direction de ? Considérez à nouveau deux vecteurs : et , comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Tout d'abord, il est important de se rappeler que lorsque nous parlons de « l’angle entre deux vecteurs », nous nous référons au plus petit des deux angles formés par les deux flèches du vecteur. Ce terme ne se réfère pas au plus grand angle, appelé sur la figure ci-dessous.
Sur la figure ci-dessus, on rencontrera plus rapidement si on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre en partant de . En d’autres termes, si nous devions faire pivoter le vecteur par , l'angle entre les vecteurs, de sorte qu'il suive la même direction que , il faudrait le faire tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans ce cas, pour , pointe vers l’extérieur de l’écran, le long de l'axe positif , et est égal à .
Sur la figure ci-dessous, l’inverse est vrai et on rencontre en allant dans le sens horaire depuis . En d’autres termes, si nous devions faire pivoter le vecteur par de sorte qu’il suive la même direction que , il faudrait le faire tourner dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans ce cas, pour , pointe dans l’écran, le long de l'axe négatif , et est égal à .
Règle : Le sens du produit vectoriel pour les vecteurs dans le plan 𝑥𝑦
Pour deux vecteurs dans le plan , le sens de est si se trouve dans le sens contraire des aiguilles d’une montre par rapport à et si se trouve dans le sens horaire par rapport à .
Exemple 4: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs en fonction de leur intensité et de l’angle entre eux
La figure montre deux vecteurs, et . Calculez l’intensité du produit vectoriel de et . Donnez votre réponse à l’entier près.
Réponse
On peut utiliser la formule où est l’intensité de et est l’intensité de , pour trouver le produit vectoriel de et .
Dans ce cas, il nous est demandé de déterminer uniquement l’intensité du produit vectoriel. En prenant l’intensité des deux côtés de la formule ci-dessus on obtient :
Le vecteur ne modifie pas l’intensité du produit vectoriel, car c’est un vecteur unitaire donc il a lui-même une intensité de 1.
En remplaçant par les valeurs données dans la question, on obtient :
Arrondi à l’entier le plus proche, cela donne 190.
Exemple 5: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs représentés sur une grille 3D
La figure représente deux vecteurs, et , dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se situent dans le plan . Chacun des carrés de la grille a un côté d'une longueur égale à 1. Calculez .
Réponse
Cette question nous montre un espace 3D, mais les deux vecteurs se trouvent dans le plan .
La clé pour répondre à cette question est de constater que les vecteurs sont antiparallèles l’un à l’autre. D’après la figure, nous pouvons voir que a des composantes et a des composantes ; par conséquent, .
Rappelons que, pour deux vecteurs parallèles ou antiparallèles, le produit vectoriel est 0, donc la réponse est 0.
Points clés
- Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur.
- Le produit vectoriel est aussi appelé produit croisé.
- Le résultat de est .
- Le résultat de est .
- Pour deux vecteurs dans le plan , si nous connaissons les composantes des vecteurs, nous pouvons calculer leur produit vectoriel en utilisant
- Si nous connaissons les intensités des deux vecteurs et l’angle entre eux, nous pouvons calculer leur produit vectoriel en utilisant
- Si deux vecteurs sont parallèles ou antiparallèles, leur produit vectoriel est 0.
- Le produit vectoriel a son intensité maximale lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires l’un à l’autre.
