Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un losange de côté 24 centimètres et d’angle intérieur 79 degrés. Calculez, au centième près, l’aire du losange.
Commençons par dessiner 𝐴𝐵𝐶𝐷. Il s’agit d’un losange, donc ses quatre côtés sont de même longueur. On nous dit dans la question que leur longueur est de 24 centimètres. On nous dit également que l’un des angles intérieurs du losange est de 79 degrés. Donc, cela ressemble à ceci. On nous demande de trouver l’aire de ce losange. Maintenant, un losange est juste un cas particulier de parallélogramme. Nous pourrions donc calculer son aire en utilisant la formule de la base multipliée par la hauteur perpendiculaire. Nous connaissons la longueur de la base de ce losange, mais nous ne connaissons pas sa hauteur perpendiculaire. Nous pourrions calculer cela en utilisant la trigonométrie, mais il existe une méthode plus efficace que nous pouvons utiliser.
Nous pouvons rappeler que les diagonales d’un losange divisent le losange en deux triangles congruents. Nous pouvons le prouver en utilisant la condition de congruence côté-côté-côté. Dans les deux triangles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐶𝐵𝐷, le côté 𝐵𝐷 est partagé entre les deux triangles. 𝐴𝐵 fait la même longueur que 𝐶𝐵, car ils sont de chaque côté du losange d’origine. Pour la même raison, 𝐴𝐷 fait la même longueur que 𝐶𝐷. Ainsi, en utilisant la condition de congruence côté-côté-côté, nous avons prouvé que les triangles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐶𝐵𝐷 sont congruents. Les aires sont donc les mêmes et elles représentent chacune la moitié de l’aire du losange 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Voyons alors comment nous pourrions trouver l’aire de l’un de ces triangles. Nous rappelons la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle. Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, où les lettres majuscules 𝐴, 𝐵 et 𝐶 représentent les mesures des trois angles du triangle et les lettres minuscules 𝑎, 𝑏 et 𝑐 représentent les longueurs de leurs côtés opposés, la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle est un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶. Nous n’avons pas besoin d’être trop préoccupés par les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Seulement, nous devons nous rappeler que les lettres 𝑎 et 𝑏 dans la formule représentent les longueurs de deux côtés quelconques et que 𝐶 majuscule est la mesure de leur angle inclus. Il s’agit de l’angle entre ces deux côtés.
En revenant au losange, dans le triangle 𝐵𝐶𝐷, nous voyons que nous avons les longueurs des côtés 𝐵𝐶 et 𝐶𝐷 et nous connaissons la mesure de leur angle inclus. Ainsi, en appliquant la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle, nous avons que l’aire du triangle 𝐵𝐶𝐷 est égale à un demi multiplié par 24 multiplié par 24 multiplié par sinus de 79 degrés. Nous avons déjà expliqué pourquoi l’aire du losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 est le double de l’aire de chaque triangle. Nous avons donc que l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 est deux multiplié par un demi multiplié par 24 multiplié par 24 multiplié par le sinus de 79 degrés.
Maintenant, bien sûr, le facteur deux et le facteur demi s’annulent mutuellement pour laisser 24 multiplié par 24 multiplié par sinus de 79 degrés. Nous pouvons maintenant évaluer cela avec une calculatrice, en nous assurant que notre calculatrice est en mode degré. Cela donne 565.4172 etc. La question nous demande de donner notre réponse au centième près. Nous devons donc arrondir à deux décimales près, ce qui donne 565.42. Ainsi, en rappelant que les diagonales d’un losange le divisent en deux triangles superposables, puis en appliquant la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle, nous avons constaté que l’aire de ce losange au centième près est de 565.42 centimètres carrés.
