Transcription de la vidéo
Trouvez la limite de la racine carrée de 16𝑥 plus huit sur neuf 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
Réécrivons d’abord la limite que nous devons calculer. La première propriété sur les limites à utiliser est que la limite de la racine carrée d’une fonction est la racine carrée de la limite de la fonction. C’est d’ailleurs vrai de manière plus générale pour les racines 𝑛-ièmes. En appliquant cette propriété des limites, on voit qu’il suffit de trouver la limite de la fonction rationnelle 16𝑥 plus huit sur neuf 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Sachant que la limite recherchée est simplement la racine carrée de cela, comment trouver la limite de la fonction rationnelle en l’infini ? Nous utiliserons un peu plus loin la propriété de la limite d’un quotient, qui indique que la limite d’un quotient de fonctions est le quotient de leurs limites. Mais si on tente d’appliquer cette propriété immédiatement, ça ne marche pas. Voyons pourquoi.
En appliquant cette propriété sous le signe racine, on a la limite de 16𝑥 plus huit lorsque 𝑥 tend vers l’infini sur la limite de neuf 𝑥 plus trois lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Mais quelle est la valeur de la limite au numérateur ? 𝑥 tend vers plus l’infini. Donc, 𝑥 devient de plus en plus grand sans être borné, c’est-à-dire sans plafond qui l’arrête. On s’attend donc à ce que 16𝑥 plus huit devienne lui aussi de plus en plus grand sans être borné. La valeur de cette limite est donc l’infini. Et il se produit exactement la même chose au dénominateur. 𝑥 tend vers l’infini. Donc, 𝑥 croît sans limite. De même pour neuf 𝑥, et donc neuf 𝑥 plus trois, croissent aussi de façon illimitée.
On pourrait ajouter plus de rigueur à ce raisonnement. Mais ce n’est pas la peine de le faire. L’essentiel est de remarquer que sous le signe racine nous avons la forme indéterminée infini sur l’infini. Et la forme indéterminée infini sur infini ne donne aucune idée de la valeur de la limite. On ne peut pas simplifier les infinis au numérateur et au dénominateur et dire que la limite est la racine carrée de un. Ce n’est malheureusement pas si simple.
Si on obtient une forme indéterminée en cherchant la valeur d’une limite, alors la seule chose à faire est de revenir en arrière, d’essayer une autre méthode, et d’espérer ne pas obtenir de forme indéterminée. Or, en fait, ce n’est pas sans espoir, il existe en effet une méthode pour calculer la limite d’une fonction rationnelle de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Il s’agit de réécrire la fonction rationnelle dont on cherche la limite en divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 présente au dénominateur.
Quelle est la plus grande puissance de 𝑥 au dénominateur ? Le dénominateur est le polynôme neuf 𝑥 plus trois. Et la plus grande puissance de 𝑥 présente dans neuf 𝑥 plus trois est simplement 𝑥 puissance un, soit 𝑥. On divise le numérateur et le dénominateur par 𝑥, puis on simplifie. On peut séparer le numérateur, ce qui donne 16𝑥 sur 𝑥 plus huit sur 𝑥. Et 16𝑥 sur 𝑥 égale 16. De la même manière, on simplifie le dénominateur, obtenant neuf plus trois sur 𝑥.
Maintenant, on peut appliquer la propriété de la limite d’un quotient. Et on affirme que cette fois, on n’obtiendra pas une forme indéterminée. On obtient la racine carrée de la limite de 16 plus huit sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini sur la limite de neuf plus trois sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Quelle est à présent la valeur de la limite au numérateur ? Eh bien, lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand, huit sur 𝑥 devient de plus en plus petit et s’approche de plus en plus de zéro. Et donc 16 plus huit sur 𝑥 s’approche de plus en plus de 16.
Pour procéder avec rigueur, on utilise le fait que la limite d’une somme de fonctions est la somme de leurs limites, que la limite d’une fonction constante comme 16 est égale à cette même constante, et que la limite d’un nombre fois une fonction est ce nombre fois la limite de la fonction. Cela nous permet d’écrire cette limite en fonction de la limite de la fonction un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Il s’agit là d’une autre propriété sur les limites : la limite de la fonction un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est égale à zéro. Et donc, notre limite est 16 plus huit fois zéro, c’est-à-dire 16.
Ayant trouvé que la limite du numérateur vaut 16, on peut faire la même chose pour le dénominateur. Lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand sans être borné, trois sur 𝑥 devient de plus en plus petit, il s’approche de zéro. Et donc, neuf plus trois sur 𝑥 s’approche de plus en plus de neuf. La valeur de notre limite est donc la racine carrée de 16 sur neuf. Or, 16 et neuf sont des carrés, 16 égale quatre au carré et neuf égale trois au carré. On peut simplifier et obtenir la réponse finale, quatre tiers.
La stratégie pour répondre à cette question est la même que pour toutes les questions sur les limites des fonctions rationnelles lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. À savoir, avant d’appliquer la propriété de la limite d’un quotient, il faut d’abord diviser le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle par la plus grande puissance de 𝑥 du polynôme qui forme le dénominateur de la fonction rationnelle.
