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Déterminez la valeur de neuf moins 𝜔 au carré plus neuf 𝜔 puissance quatre le tout au carré plus six plus six 𝜔 au carré plus six 𝜔 puissance quatre le tout au carré, où 𝜔 est une racine cubique non triviale de l'unité.
On nous demande dans cette question d'évaluer une expression impliquant 𝜔, dont on nous dit qu'elle est une racine cubique non triviale de l'unité.
Pour répondre à cette question, nous pouvons d'abord noter que puisque 𝜔 est une racine cubique de l'unité, le cube de 𝜔 doit être égal à un. Nous pouvons multiplier cette équation par 𝜔 pour voir que 𝜔 puissance quatre égale 𝜔. Nous pouvons utiliser cela pour réécrire l'expression donnée. Il faut remplacer chaque 𝜔 puissance quatre par 𝜔. Cela nous donne l'expression suivante. Nous pouvons simplifier davantage l'expression en rappelant que la somme des puissances d'une racine non triviale de l'unité est nulle. Ainsi, un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré égale zéro.
Nous pouvons factoriser par le facteur commun six dans le deuxième terme pour obtenir l'expression suivante. Nous pouvons alors noter que un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré est nul. Par conséquent, ce terme est nul, il ne nous reste donc que le premier terme. Nous pouvons simplifier encore plus en remarquant que nous pouvons factoriser par neuf. Nous pouvons alors réécrire ce facteur en fonction de 𝜔 au carré en notant que un plus 𝜔 doit être égal à moins 𝜔 au carré. Nous pouvons substituer cela dans l'expression pour obtenir neuf fois moins 𝜔 au carré moins 𝜔 au carré le tout au carré. Nous pouvons alors simplifier l'expression à l'intérieur des parenthèses pour obtenir moins 10𝜔 au carré le tout au carré.
Nous appliquons maintenant les règles des puissances pour prendre la puissance de chaque facteur séparément. Nous avons donc moins 10 au carré fois 𝜔 au carré au carré, ce qui correspond à 𝜔 puissance quatre. Pour terminer, nous pouvons utiliser le fait que 𝜔 puissance quatre est égal à 𝜔 ce qui donne une réponse finale de 100𝜔.
