Video Transcript
Déterminez l'expression générale d’une primitive de la fonction définie par moins sept fois cosinus trois 𝑥 fois tangente trois 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans un tel problème, la première chose à faire est de voir si notre intégrale est sous une forme standard que nous pouvons intégrer directement. Nous voyons que notre fonction dans notre intégrale est la fonction cosinus multipliée par la fonction tangente, ce qui n'est pas une forme standard que nous savons intégrer. Il faut donc modifier cette expression afin de pouvoir l'intégrer.
Nous pouvons essayer plusieurs stratégies à ce stade. Nous pouvons essayer d'utiliser les formules d'angles multipliés par un réel ou utiliser les formules trigonométriques pour réécrire la fonction tangente trois 𝑥. Une définition trigonométrique dit que tangente 𝜃 égale sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Puisque cette formule est vraie pour toutes les valeurs de 𝜃, nous pouvons remplacer 𝜃 par trois 𝑥, ce qui donne tangente trois 𝑥 égale sinus trois 𝑥 sur cosinus trois 𝑥.
Nous pouvons alors remplacer tangente trois 𝑥 dans notre intégrale par sinus trois 𝑥 sur cosinus trois 𝑥. Nous pouvons alors simplifier par cosinus trois 𝑥, ce qui donne l'intégrale de moins sept fois sinus trois 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous savons que pour toute constante 𝑘, l'intégrale de 𝑘 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois l'intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Par conséquent, nous pouvons utiliser ceci pour placer la constante moins 7 hors de notre intégrale. Nous pouvons alors utiliser le fait que l'intégrale de sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 égale moins cosinus 𝑎𝑥 sur 𝑎 plus une constante d'intégration. Nous obtenons moins sept fois moins cosinus trois 𝑥 sur trois plus une constante d'intégration 𝐶 un. Nous pouvons simplifier cette expression pour obtenir sept fois cosinus trois 𝑥 sur trois moins sept fois 𝐶 un.
Enfin, nous remarquons que la valeur moins sept fois 𝐶 un est une constante, nous pouvons donc la remplacer par une nouvelle constante, que nous appellerons 𝐶. L'intégrale de moins sept fois cosinus trois 𝑥 fois tangente trois 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sept fois cosinus trois 𝑥 sur trois plus une constante d'intégration 𝐶.
