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Dans la figure ci-dessous, 𝐴𝐵 égale 10, 𝐵𝐶 égale 𝑥 plus un, 𝐶𝐷 égale 20, 𝐸𝐹 égale 10 et 𝐹𝐺 égale 10. Déterminez la valeur de 𝑥 et la longueur du segment 𝐺𝐻.
Commençons cette question en complétant par les mesures données des longueurs. On ne nous donne aucune unité de mesure, mais ce sont toutes des unités de longueur. On nous demande d’abord de trouver la valeur de 𝑥 qui apparait comme faisant partie de la longueur du segment 𝐵𝐶. Afin de déterminer la valeur de 𝑥 et même la longueur du segment 𝐺𝐻, nous devrons utiliser ces quatre droites parallèles. Les droites 𝐴𝐸, 𝐵𝐹, 𝐶𝐺 et 𝐷𝐻 qui nous sont données sont toutes parallèles. Nous remarquons également que les deux autres droites 𝐴𝐷 et 𝐸𝐻 sont toutes deux transversales. Une transversale est une droite qui coupe deux droites ou plus dans un même plan en des points distincts.
Savoir que nous avons ces quatre droites parallèles et deux transversales signifie que nous pourrions appliquer le théorème de Thalès ou le théorème de proportionnalité. Ce théorème énonce que si trois droites parallèles ou plus coupent deux transversales, alors elles les coupent proportionnellement. Nous pouvons donc dire que le rapport entre la longueur du segment 𝐴𝐵 et celle de 𝐵𝐶 doit être égal au rapport entre la longueur du segment 𝐸𝐹 et celle du segment 𝐹𝐺. Et nous pourrions donc écrire que 𝐴𝐵 sur 𝐵𝐶 est égal à 𝐸𝐹 sur 𝐹𝐺.
Nous pouvons ainsi remplacer par les mesures données des longueurs et voir si nous pouvons déterminer 𝑥. Ceci nous donne que 10 sur 𝑥 plus un est égal à 10 sur 10. Nous pouvons alors simplifier le membre de droite, puisque 10 sur 10 est simplement égal à un. Nous pouvons ensuite, multiplier les deux membres par 𝑥 plus un. Nous avons donc que 10 est égal à un fois 𝑥 plus un. Et, bien sûr, un fois 𝑥 plus un est simplement égal à 𝑥 plus un. En soustrayant un des deux membres, nous avons que neuf est égal à 𝑥. Nous avons donc répondu à la première partie de la question. Nous avons trouvé que 𝑥 est égal à neuf.
Pour la deuxième partie de la question, nous devons calculer la longueur du segment 𝐺𝐻, qui se trouve ici dans la partie supérieure de la figure. Pour résoudre ce problème, nous appliquerons une fois de plus le théorème de Thalès. Maintenant nous savons que la longueur du segment 𝐶𝐷 sera proportionnelle à celle du segment 𝐺𝐻. Nous pouvons écrire une relation de proportionnalité impliquant ces deux segments ainsi que 𝐵𝐶 et 𝐹𝐺 ou 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹. Utilisons les segments 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹. Nous pourrions donc écrire la relation de proportionnalité selon laquelle 𝐴𝐵 sur 𝐶𝐷 est égal à 𝐸𝐹 sur 𝐺𝐻. Lorsque nous remplaçons par les longueurs données, nous avons que 10 sur 20 est égal à 10 sur 𝐺𝐻.
Nous pourrions alors utiliser la règle de trois et calculer la longueur de 𝐺𝐻. Cependant, nous pourrions également remarquer que les numérateurs des deux membres de l’équation sont identiques. Ils sont tous deux égaux à 10. Et donc pour être égaux, les dénominateurs doivent être eux-mêmes égaux. Nous pourrions donc immédiatement conclure que 𝐺𝐻 doit être égal à 20.
Il convient de souligner que dans cette question nous avons un certain nombre de paires de segments de même longueur, mais que ce ne sera pas toujours le cas. Le théorème de proportionnalité nous dit simplement que ces segments doivent être proportionnels. Dans cette question, ils étaient également de même longueur. Mais nous pouvons maintenant donner les deux réponses : 𝑥 est égal à neuf et 𝐺𝐻 est égal à 20 unités de longueur.
