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Déterminez l’expression générale d’une primitive de trois cosinus de six 𝑥 par rapport à 𝑥.
Donc, la première chose que nous allons faire, c’est d’intégrer cette fonction. Plaçons notre constante, qui est trois, à l’extérieur du signe d’intégration car cela n’affectera pas notre intégration. Et ensuite, pour nous permettre d’intégrer cette fonction, nous allons procéder à une intégration par changement de variable. Nous allons donc remplacer 𝑢 par six 𝑥.
Avant tout chose et avant de pouvoir le faire, nous devons déterminer ce que d𝑥 vaut en fonction de d𝑢. Et pour ce faire, on va dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. Donc, si nous dérivons six 𝑥, nous allons obtenir six. On peut donc dire que d𝑢 sur d𝑥 est égal à six. Par conséquent, d𝑥 est égal à un sur six d𝑢. Ce que nous avons alors est trois multiplié par l’intégrale indéfinie d’un sixième de cosinus 𝑢.
Donc, encore une fois, ce que nous pouvons faire à ce stade, c’est sortir notre constante, qui est un sixième, car encore une fois, elle ne va pas affecter notre intégrale indéfinie. Nous allons donc obtenir un demi multiplié par l’intégrale indéfinie de cosinus 𝑢. Et nous avons obtenu un demi parce que nous avions trois multiplié par un sixième ce qui est égal à trois sixièmes soit un demi.
Alors maintenant, si nous intégrons cosinus 𝑢, cela va être simple car nous savons que c’est l’une de nos primitives classiques parce qu’une primitive de cosinus 𝑥 est sinus 𝑥. Nous allons donc obtenir un demi de sinus 𝑢 plus 𝑐, où 𝑐 est notre constante d’intégration. Alors maintenant, ce que nous devons faire c’est de remplacer 𝑢 par six 𝑥.
Ainsi, lorsque nous faisons cela, nous pouvons dire que la primitive de trois cosinus de six 𝑥 est égale à un demi de sinus de six 𝑥 plus 𝑐 où 𝑐 est une constante.
