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Vidéo de question : Évaluer une expression contenant la dérivée d’une fonction à l’aide de la règle du produit Mathématiques

Soient 𝑦 = 𝑥³ + 𝑥² + 8𝑥 et 𝑧 = 𝑥 (𝑥 - 4) (𝑥 - 1), déterminez 𝑑𝑦 / 𝑑𝑥 - 𝑑𝑧 / 𝑑𝑥.

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Transcription de vidéo

Soient 𝑦 est égal à 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré plus huit 𝑥 et 𝑧 est égal à 𝑥 multiplié par 𝑥 moins quatre multiplié par 𝑥 moins un, déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 moins 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥.

Considérons d’abord 𝑦 est égal à 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré plus huit 𝑥. Afin de calculer 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, nous devons dériver cette équation. Dériver 𝑥 au cube nous donne trois 𝑥 au carré, dériver 𝑥 au carré nous donne deux 𝑥 et dériver huit 𝑥 nous donne huit. Par conséquent, 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus huit.

Considérons maintenant notre deuxième équation : 𝑧 est égal à 𝑥 multiplié par 𝑥 moins quatre multiplié par 𝑥 moins un. Avant de dériver cette équation, nous devons développer et simplifier. En développant les deux parenthèses, on obtient 𝑥 au carré moins 𝑥 moins quatre 𝑥 plus quatre.

Nous devons maintenant multiplier tous ces termes par 𝑥. La multiplication de la nouvelle parenthèse par 𝑥 nous donne 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 au carré plus quatre 𝑥. La simplification en regroupant les termes similaires nous donne que 𝑧 est égal à 𝑥 au cube moins cinq 𝑥 au carré plus quatre 𝑥.

En dérivant on obtient que 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus quatre car la dérivée de 𝑥 au cube est trois 𝑥 au carré, la dérivée de moins cinq 𝑥 au carré est moins 10𝑥 et la dérivée de quatre 𝑥 est égale à quatre.

Nous avons maintenant deux expressions 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus huit et 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus quatre. Afin de calculer 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 moins 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥, nous devons soustraire ces deux expressions. Trois 𝑥 au carré moins trois 𝑥 au carré est égal à zéro, plus deux 𝑥 moins moins 10𝑥 est égal à 12𝑥 et plus huit moins plus quatre est égal à quatre.

Cela signifie que trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus huit moins trois 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus quatre est égal à 12𝑥 plus quatre. La valeur de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 moins 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 est égale à 12 𝑥 plus quatre.

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