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On considère la courbe définie par les équations paramétriques 𝑥 est égal au cos au cube de 𝜃 et 𝑦 est égal au sin au cube de 𝜃. Déterminez si cette courbe est convexe, concave, ou ni l’un ni l’autre en 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.
La question nous donne une courbe définie par une paire d’équations paramétriques. On nous donne 𝑥 en fonction de 𝜃 et 𝑦 en fonction de 𝜃. Nous devons déterminer la concavité de cette courbe au point où 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.
Nous allons commencer, par rappeler ce que l’on entend par la concavité d’une courbe. La concavité nous indique si les droites tangentes à une courbe se trouvent au-dessus ou en dessous de cette courbe. Et en particulier, nous pouvons le savoir en utilisant notre dérivée seconde. Nous savons que si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est supérieur à zéro en un point, alors notre courbe est convexe en ce point. Et nous savons également que si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est inférieur à zéro en un point, alors notre courbe est concave en ce point.
Ainsi, nous pouvons déterminer la concavité de notre courbe en regardant d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Cependant dans ce cas, nous ne pouvons pas calculer directement la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 car notre courbe nous est donnée sous la forme d’une courbe paramétrique. On ne nous donne pas 𝑦 en fonction de 𝑥. On nous donne 𝑦 en fonction de 𝜃 et 𝑥 en fonction de 𝜃. Nous allons donc, devoir utiliser nos règles de dérivation des courbes paramétriques.
La première chose que nous allons rappeler est une application de la règle de dérivation en chaine. Si 𝑦 est une fonction de 𝜃 et que 𝑥 est une fonction de 𝜃, alors nous pouvons trouver en utilisant la règle de dérivation en chaine que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Et ceci, n’est bien sûr, valable que lorsque notre dénominateur d𝑥 sur d𝜃 n’est pas égal à zéro.
Nous devons trouver, bien entendu, une expression pour la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée de d𝑦 par d𝑥 par rapport à 𝑥. Et encore une fois, nous pouvons la déterminer en utilisant la règle de dérivation en chaine. Nous obtenons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Et comme précédemment, ceci n’est pas valide si notre dénominateur d𝑥 sur d𝜃 est égal à zéro. Donc, pour trouver notre expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, nous devons trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Mais pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥, nous devons dériver 𝑦 par rapport à 𝜃 et 𝑥 par rapport à 𝜃. Et on nous donne 𝑦 et 𝑥 comme des fonctions de 𝜃 . Nous pouvons donc le faire.
Commençons par trouver une expression pour d𝑥 sur d𝜃. Nous savons que 𝑥 est le cosinus au cube de 𝜃, nous devons donc dériver le cosinus au cube de 𝜃 par rapport à 𝜃. Il y a maintenant plusieurs façons de calculer cette dérivée. Nous pourrions par exemple, utiliser la règle de dérivation en chaine. Cependant, dans ce cas, nous pouvons utiliser la règle générale de dérivation d’une puissance. Rappelons que, la règle générale de dérivation d’une puissance nous indique que pour tout nombre réel 𝑛 et toute fonction dérivable 𝑓 de 𝜃, la dérivée de 𝑓 de 𝜃 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝜃 est égale à 𝑛 fois 𝑓 prime de 𝜃 multiplié par 𝑓 de 𝜃 à la puissance 𝑛 moins un.
Dans notre cas, nous voulons calculer la dérivée de cosinus au cube de 𝜃. Nous allons donc, poser 𝑓 de 𝜃 comme égale au cosinus de 𝜃 et 𝑛 comme égal à trois. Ainsi, pour utiliser la règle générale de dérivation d’une puissance, nous devons trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝜃. Bien sûr, il s’agit d’un résultat classique des dérivées des fonctions trigonométriques. La dérivée de cosinus de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins sinus de 𝜃. Nous pouvons à présent, appliquer la règle générale de dérivation d’une puissance. Nous obtenons que d𝑥 sur d𝜃 est égal à trois fois moins sinus de 𝜃 multiplié par le cosinus de 𝜃 élevé à la puissance trois moins un.
Et, bien sûr, nous pouvons simplifier ceci pour nous donner moins trois sinus de 𝜃 fois le cosinus au carré de 𝜃. Maintenant, nous allons effacer notre travail et faire quelque chose de très similaire pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝜃. Cette fois, nous devons calculer la dérivée de sinus au cube de 𝜃 par rapport à 𝜃. Encore une fois, nous pourrions le faire en utilisant la règle de dérivation en chaine, mais nous utiliserons la règle générale de dérivation d’une puissance.
Cette fois, nous calculons la dérivée de sinus au cube de 𝜃, nous allons donc définir 𝑓 de 𝜃 comme étant le sinus de 𝜃 et notre valeur de 𝑛 comme égale à trois. Cette fois, nous devons utiliser le fait que la dérivée du sinus de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale au cosinus de 𝜃. Nous trouvons donc, que 𝑓 prime de 𝜃 égale le cosinus de 𝜃. Maintenant, en appliquant la règle générale de dérivation d’une puissance, nous obtenons que d𝑦 sur d𝜃 est égal à trois cosinus de 𝜃 multiplié par le sinus de 𝜃 élevé à la puissance trois moins un. Et, bien sûr, nous pouvons simplifier ceci pour obtenir trois cosinus de 𝜃 sinus au carré de 𝜃.
Maintenant que nous avons trouvé les expressions pour d𝑦 sur d𝜃 et pour d𝑥 sur d𝜃, effaçons notre travail et utilisons-les pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Donc, en utilisant notre formule, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Nous remplaçons ensuite, par nos expressions de d𝑦 sur d𝜃 et de d𝑥 sur d𝜃. Nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois cosinus de 𝜃 sinus carré de 𝜃 le tout divisé par moins trois sinus de 𝜃 cosinus carré de 𝜃.
Et nous pouvons simplifier cette expression. Tout d’abord, nous allons éliminer le facteur trois qui est commun au numérateur et au dénominateur. Ensuite, nous allons éliminer le facteur sinus de 𝜃 commun à notre numérateur et à notre dénominateur. Enfin, nous allons éliminer le facteur cosinus de 𝜃 commun à notre numérateur et à notre dénominateur. Ceci nous laisse avec le sinus de 𝜃 divisé par moins le cosinus de 𝜃. Et nous pouvons réécrire ceci comme moins la tangente de 𝜃.
Nous sommes maintenant prêts à trouver notre expression pour notre dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Commençons par trouver le numérateur de notre expression. Le numérateur de cette expression est la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃. Mais nous avons déjà montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins la tangente de 𝜃. Nous devons donc, calculer la dérivée de moins la tangente de 𝜃 par rapport à 𝜃. Et c’est l’un de nos résultats classiques sur les dérivées des fonctions trigonométriques. La dérivée de tangente de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à sécante au carré de 𝜃.
Donc, en utilisant ceci, nous avons montré que la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃 est égale à moins la sécante au carré de 𝜃. Maintenant, tout ce que nous avons besoin de faire pour trouver une expression pour notre dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est de diviser cette expression par d𝑥 sur d𝜃. Mais nous avons déjà trouvé d𝑥 sur d𝜃. C’est moins trois sinus de 𝜃 fois le cosinus au carré de 𝜃. Donc, en utilisant notre formule et en remplaçant par les expressions que nous avons trouvées pour le numérateur et le dénominateur, nous obtenons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins la sécante au carré de 𝜃 divisé par moins trois sinus de 𝜃 multiplié par le cosinus au carré de 𝜃.
Et nous pouvons simplifier ceci légèrement puisque moins un divisé par moins un est simplement égal à un. Maintenant, nous pourrions commencer à simplifier cette expression davantage. Mais rappelez-vous que, nous ne sommes intéressés que par la concavité de cette courbe en un point. Et pour la trouver, nous ne sommes intéressés que de savoir lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six si la valeur de sortie est positive ou négative. Eh bien, nous savons que la sécante au carré de 𝜃 est un carré ; il sera toujours supérieur ou égal à zéro. De même, le cosinus au carré de 𝜃 est aussi un carré. Il sera supérieur ou égal à zéro pour toute valeur d’entrée de 𝜃.
Donc, en fait, la seule partie de cette expression qui peut être négative est le sinus de 𝜃. Nous pouvons donc, simplement calculer ceci. Le sinus de 𝜋 sur six, nous le savons, est égal à un demi. Et rappelez-vous que, cette formule n’est valable que si d𝑥 sur d𝜃 n’est pas égal à zéro. Nous devrions donc, vérifier que le cosinus de 𝜋 sur six n’est pas égal à zéro. Nous savons, bien sûr, que le cosinus de 𝜋 sur six est égal à la racine carrée de trois divisée par deux. Ce n’est donc pas égal à zéro.
Donc, ce que nous avons montré, c’est que quand 𝜃 est égal à 𝜋 sur six, le numérateur de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif. C’est un nombre non nul au carré. De même, le dénominateur est également positif. C’est le produit de trois nombres positifs non nuls. Ainsi, lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six, d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est le quotient de deux nombres positifs. Par conséquent, il est positif.
Et rappelez-vous que, si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif en un point, alors nous savons que notre courbe est convexe en ce point. Par conséquent, étant donné la courbe paramétrique 𝑥 est égal au cosinus au cube de 𝜃 et 𝑦 est égal au sinus au cube de 𝜃. Nous avons pu montrer que la courbe est convexe au point où 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.
