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Fiche explicative de la leçon : Dérivées secondes des équations paramétriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées secondes et les dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques en appliquant la règle de dérivation en chaîne.

Les équations paramétriques nous permettent d’exprimer les variables d’une équation en fonction d’un autre paramètre. Par exemple, si l’on a une équation exprimée en fonction des variables 𝑥 et 𝑦 alors, on peut écrire des équations paramétriques exprimées en fonction d’un paramètre 𝑡 pour chacune de ces deux variables:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Note

Les équations paramétriques peuvent être utilisées avec n’importe quel système de coordonnées et ne sont pas réservées au système de coordonnées cartésiennes. Par exemple, si l’on souhaitait paramétrer des coordonnées polaires, on exprimerait 𝑟 et 𝜃 en fonction d’un paramètre.

Pour trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 lorsque les deux variables sont données sous forme paramétrique, on utilise la définition donnée ci-dessous.

Définition : Dérivée d’une équation paramétrique

Soient deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔 telles que 𝑥 et 𝑦 forment un couple d’équations paramétriques:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Alors, on peut définir la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 par dd𝑦𝑥=ddddquand dd𝑥𝑡0.

La dérivée première d’une équation peut être un outil très utile pour trouver les équations des tangentes et des droites normales à la courbe, ou pour calculer des gradients le long de la courbe. La dérivée seconde, ou dd𝑦𝑥, peut nous renseigner sur la convexité de la courbe.

On pourrait penser que l’on peut trouver la dérivée seconde de façon similaire à la dérivée première, c’est-à-dire, en trouvant les dérivées secondes par rapport à 𝑡 des équations paramétriques, puis en divisant dd𝑦𝑡 par dd𝑥𝑡. Cependant, nous allons voir que cela ne fonctionne pas ainsi.

On trouve la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 en dérivant la dérivée première par rapport à 𝑥:dddddd𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥.

Il n’est pas évident de trouver la dérivée seconde en fonction des équations paramétriques, car l’équation de la dérivée première est exprimée en fonction de notre paramètre, 𝑡. Pour dériver par rapport à 𝑥, nous devrons donc utiliser la règle de dérivation en chaîne. On rappelle la définition de la règle de dérivation en chaîne ci-dessous.

Définition : Règle de dérivation en chaîne

Soit une fonction dérivable en 𝑥 et une fonction 𝑔 dérivable en (𝑥);alors, la fonction composée 𝑓=𝑔, qui est définie par 𝑓(𝑥)=𝑔((𝑥)), est dérivable en 𝑥 et sa dérivée 𝑓 est donnée par 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)).

Nous pouvons trouver dd𝑦𝑥 en fonction de 𝑡 sans problème, car nous savons calculer la dérivée première d’une équation paramétrique. Cependant, pour trouver la dérivée seconde, nous devons dériver cette expression par rapport à 𝑥. Pour cela, nous devrons utiliser une forme différente de la règle de dérivation en chaîne:dddddd𝑥(𝑦)=𝑢(𝑦)×𝑢𝑥.

On l’applique à notre équation de la dérivée seconde et on obtient dddddddddddd𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥=𝑡𝑦𝑥×𝑡𝑥.

On a maintenant dddd𝑡𝑦𝑥, exprimée en fonction de 𝑡;cependant, dd𝑡𝑥 est exprimée en fonction de 𝑥. Ici, on peut utiliser le théorème d’inversion locale;pour les dérivées non nulles, on a, d’après le théorème d’inversion locale, dd𝑡𝑥=1.dd

En utilisant ce résultat dans notre équation, on obtient la formule suivante de la dérivée seconde d’équations paramétriques:dd𝑦𝑥=.dddddd

Définition : Dérivée seconde d’une équation paramétrique

Soit deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔 telles que 𝑥 et 𝑦 forment un couple d’équations paramétriques:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).Alors, on peut définir la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 par dd𝑦𝑥=ddddddquand dd𝑥𝑡0.

Passons maintenant à un exemple dans lequel nous verrons comment trouver la dérivée seconde d’une équation paramétrique.

Exemple 1: Trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques

Soit les équations paramétriques 𝑥=3𝑡+1 et 𝑦=3𝑡+5𝑡;trouvez dd𝑦𝑥.

Réponse

Pour trouver la dérivée seconde de ces équations paramétriques, la première étape est de trouver la dérivée première. Pour cela, on peut utiliser la formule dd𝑦𝑥=.dddd

On peut commencer par dériver 𝑦 par rapport à 𝑡. Étant donné que 𝑦 est un polynôme exprimé en fonction de 𝑡, on peut utiliser les règles de dérivation des polynômes. On multiplie d’abord chaque terme par sa puissance de 𝑡, puis on diminue de un la puissance de 𝑡. On obtient dd𝑦𝑡=6𝑡+5.

On peut dériver 𝑥 par rapport à 𝑡 de la même manière. On obtient dd𝑥𝑡=6𝑡.

On remplace ces deux résultats dans notre formule de la dérivée première et on obtient dd𝑦𝑥=6𝑡+56𝑡=1+56𝑡.

Nous sommes maintenant en mesure d’utiliser la formule de la dérivée seconde, dd𝑦𝑥=.dddddd

On a déjà trouvé dd𝑥𝑡, donc il ne nous reste plus qu’à trouver la dérivée de dd𝑦𝑥 par rapport à 𝑡. On dérive et on obtient dddd𝑡𝑦𝑥=56𝑡.

Nous avons maintenant déterminé toutes les parties de notre équation de la dérivée seconde;il ne nous reste donc plus qu’à les y remplacer pour obtenir:dd𝑦𝑥=6𝑡=536𝑡.

Comme nous le verrons dans le prochain exemple, on peut aussi évaluer la dérivée seconde d’équations paramétriques en un point donné.

Exemple 2: Évaluer la dérivée seconde d’équations paramétriques en un point donné

Soit les équations paramétriques 𝑦=5𝑥7 et 𝑧=3𝑥+16;trouvez la valeur de dd𝑧𝑦 en 𝑥=1.

Réponse

On doit trouver la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦, 𝑦 et 𝑧 sont sous forme paramétrique;pour cela on utilise la formule suivante:dd𝑧𝑦=.dddddd

On peut commencer par dériver 𝑦 et 𝑧 par rapport à 𝑥. Pour cela, on utilise les règles de dérivation des polynômes et on obtient dd𝑦𝑥=15𝑥et dd𝑧𝑥=6𝑥.

Ces deux résultats nous permettent de calculer dd𝑧𝑦=6𝑥15𝑥=25𝑥.

On doit ensuite dériver dd𝑧𝑦 par rapport à 𝑥. On obtient dddd𝑥𝑧𝑦=25𝑥.

Nous sommes maintenant en mesure de calculer dd𝑧𝑦. On remplace nos résultats dans la formule et on obtient dd𝑧𝑦=15𝑥=275𝑥.

Il ne nous reste plus qu’à évaluer notre dérivée seconde en la valeur donnée dans l’énoncé, 𝑥=1. On obtient alors notre solution:dd𝑧𝑦|||=275.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques en utilisant la dérivation implicite.

Exemple 3: Trouver la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques en utilisant la dérivation implicite

Soit les équations paramétriques 𝑥=25𝑧sec et 3𝑦=5𝑧tan;trouvez dd𝑦𝑥.

Réponse

On observe que la seconde équation paramétrique qui nous est donnée est 3𝑦=5𝑧tan. Pour dériver cette équation, on peut soit élever au carré chaque membre avant de dériver, soit utiliser la dérivation implicite. Nous montrerons comment résoudre le problème par les deux méthodes.

Pour trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques, on doit utiliser la formule suivante:dd𝑦𝑥=.dddddd

On a donc besoin de la dérivée première que l’on peut trouver en utilisant la formule:dd𝑦𝑥=.dddd

On peut commencer par dériver 𝑥 par rapport à 𝑧:ddtansec𝑥𝑧=105𝑧5𝑧.

On doit ensuite dériver 𝑦 par rapport à 𝑧. Comme nous l’avons déjà dit, cela peut se faire de deux façons différentes. Nous commencerons par la dérivation implicite puis traiterons ensuite l’autre méthode.

Méthode 1

On remarque que l’équation 3𝑦=5𝑧tan serait plus facile à dériver réécrite sous la forme (3𝑦)=5𝑧tan. Ainsi réécrite, on peut la dériver implicitement par rapport à 𝑧;on obtient alors 32𝑦𝑧(3𝑦)=55𝑧.ddsec

On peut ensuite réarranger l’équation pour isoler dd𝑦𝑧:ddsec𝑦𝑧=103(3𝑦)5𝑧.

On constate que notre équation comporte encore un terme en 𝑦, mais cela ne pose pas de problème car il est égal au membre de gauche de notre équation d’origine. Par conséquent, on doit simplement remplacer (3𝑦)=5𝑧tan pour obtenir ddtansec𝑦𝑧=1035𝑧5𝑧.

Voyons maintenant comment dériver cette équation paramétrique avec la seconde méthode.

Méthode 2

On commence par élever au carré les deux membres de l’équation paramétrique, puis on divise par 3 pour isoler 𝑦:𝑦=135𝑧.tan

On dérive ensuite par rapport à 𝑧 pour obtenir ddtansec𝑦𝑧=1035𝑧5𝑧.

On constate que les deux méthodes nous ont donné le même résultat. On peut maintenant passer à l’étape suivante de la résolution du problème. Celle-ci consiste à diviser dd𝑦𝑧 par dd𝑥𝑧 pour obtenir ddtansectansecsec𝑦𝑥=5𝑧5𝑧105𝑧5𝑧=135𝑧.

On doit ensuite dériver dd𝑦𝑥 par rapport à 𝑧. On obtient ddddtansec𝑧𝑦𝑥=535𝑧5𝑧.

On a maintenant trouvé toutes les parties de notre formule de la dérivée seconde. Il ne nous reste donc plus qu’à remplacer par nos résultats et simplifier pour obtenir notre solution:ddtansectansec𝑦𝑥=5𝑧5𝑧105𝑧5𝑧=16.

Nous verrons dans le dernier exemple comment trouver une fonction si celle-ci implique la dérivée seconde d’équations paramétriques.

Exemple 4: Trouver la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques

Soit les équations paramétriques 𝑦=(𝑥+4)4𝑥1 et 𝑧=(𝑥5)(𝑥+4);trouvez (2𝑥1)𝑦𝑧dd.

Réponse

Pour résoudre cette question, on doit d’abord trouver dd𝑦𝑧. Pour cela, on peut utiliser la formule dd𝑦𝑧=.dddddd

Pour trouver dd𝑦𝑧, on doit trouver dd𝑦𝑥 et dd𝑧𝑥. On peut développer les expressions de 𝑦 et 𝑧 pour obtenir 𝑦=4𝑥16𝑥𝑥4,𝑧=𝑥𝑥20.

On dérive ensuite nos deux expressions par rapport à 𝑥 pour obtenir dddd𝑦𝑥=12𝑥32𝑥1,𝑧𝑥=2𝑥1.

Donc, d’après ces deux résultats, dd𝑦𝑧=12𝑥32𝑥12𝑥1.

Pour trouver la dérivée seconde, on doit dériver dd𝑦𝑧 par rapport à 𝑥. Pour cela, nous aurons besoin de la règle de dérivation du quotient. D’après cette règle, on peut calculer la dérivée d’une fonction de la forme 𝑢𝑣 en utilisant la formule 𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑢𝑣𝑣.

Dans notre cas, 𝑢=12𝑥32𝑥1 et 𝑣=2𝑥1. Par conséquent, 𝑢=24𝑥32 et 𝑣=2. On remplace ces valeurs dans notre formule et on obtient dddd𝑥𝑦𝑧=(2𝑥1)(24𝑥32)12𝑥32𝑥1×2(2𝑥1).

En développant le numérateur on obtient dddd𝑥𝑦𝑧=24𝑥+24𝑥+34(2𝑥1).

Nous sommes maintenant en mesure de calculer dd𝑦𝑧. On remplace dans la formule et on obtient dd()𝑦𝑧=(2𝑥1)=24𝑥+24𝑥+34(2𝑥1).

Pour obtenir la solution du problème, il ne nous reste plus qu’à multiplier dd𝑦𝑧 par (2𝑥1). On trouve alors que (2𝑥1)𝑦𝑧=24𝑥+24𝑥+34.dd

Dans cette fiche explicative, nous avons vu comment trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques. Récapitulons quelques points importants.

Points clés

  • On peut trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques en utilisant la formule dd𝑦𝑥=,dddddddd𝑦𝑥=dddd quand dd𝑥𝑡0.

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