Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées secondes et les dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques en appliquant la règle de dérivation en chaîne.
Les équations paramétriques nous permettent d’exprimer les variables d’une équation en fonction d’un autre paramètre. Par exemple, si l’on a une équation exprimée en fonction des variables et alors, on peut écrire des équations paramétriques exprimées en fonction d’un paramètre pour chacune de ces deux variables :
Note
Les équations paramétriques peuvent être utilisées avec n’importe quel système de coordonnées et ne sont pas réservées au système de coordonnées cartésiennes. Par exemple, si l’on souhaitait paramétrer des coordonnées polaires, on exprimerait et en fonction d’un paramètre.
Pour trouver la dérivée de par rapport à lorsque les deux variables sont données sous forme paramétrique, on utilise la définition donnée ci-dessous.
Définition : Dérivée d’une équation paramétrique
Soient deux fonctions dérivables et telles que et forment un couple d’équations paramétriques :
Alors, on peut définir la dérivée de par rapport à par quand .
La dérivée première d’une équation peut être un outil très utile pour trouver les équations des tangentes et des droites normales à la courbe, ou pour calculer des gradients le long de la courbe. La dérivée seconde, ou , peut nous renseigner sur la convexité de la courbe.
On pourrait penser que l’on peut trouver la dérivée seconde de façon similaire à la dérivée première, c’est-à-dire, en trouvant les dérivées secondes par rapport à des équations paramétriques, puis en divisant par . Cependant, nous allons voir que cela ne fonctionne pas ainsi.
On trouve la dérivée seconde de par rapport à en dérivant la dérivée première par rapport à :
Il n’est pas évident de trouver la dérivée seconde en fonction des équations paramétriques, car l’équation de la dérivée première est exprimée en fonction de notre paramètre, . Pour dériver par rapport à , nous devrons donc utiliser la règle de dérivation en chaîne. On rappelle la définition de la règle de dérivation en chaîne ci-dessous.
Définition : Règle de dérivation en chaîne
Soit une fonction dérivable en et une fonction dérivable en ; alors, la fonction composée , qui est définie par , est dérivable en et sa dérivée est donnée par
Nous pouvons trouver en fonction de sans problème, car nous savons calculer la dérivée première d’une équation paramétrique. Cependant, pour trouver la dérivée seconde, nous devons dériver cette expression par rapport à . Pour cela, nous devrons utiliser une forme différente de la règle de dérivation en chaîne :
On l’applique à notre équation de la dérivée seconde et on obtient
On a maintenant , exprimée en fonction de ; cependant, est exprimée en fonction de . Ici, on peut utiliser le théorème d’inversion locale ; pour les dérivées non nulles, on a, d’après le théorème d’inversion locale,
En utilisant ce résultat dans notre équation, on obtient la formule suivante de la dérivée seconde d’équations paramétriques :
Définition : Dérivée seconde d’une équation paramétrique
Soit deux fonctions dérivables et telles que et forment un couple d’équations paramétriques : Alors, on peut définir la dérivée seconde de par rapport à par quand .
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous verrons comment trouver la dérivée seconde d’une équation paramétrique.
Exemple 1: Trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques
Soit les équations paramétriques et ; trouvez .
Réponse
Pour trouver la dérivée seconde de ces équations paramétriques, la première étape est de trouver la dérivée première. Pour cela, on peut utiliser la formule
On peut commencer par dériver par rapport à . Étant donné que est un polynôme exprimé en fonction de , on peut utiliser les règles de dérivation des polynômes. On multiplie d’abord chaque terme par sa puissance de , puis on diminue de un la puissance de . On obtient
On peut dériver par rapport à de la même manière. On obtient
On remplace ces deux résultats dans notre formule de la dérivée première et on obtient
Nous sommes maintenant en mesure d’utiliser la formule de la dérivée seconde,
On a déjà trouvé , donc il ne nous reste plus qu’à trouver la dérivée de par rapport à . On dérive et on obtient
Nous avons maintenant déterminé toutes les parties de notre équation de la dérivée seconde ; il ne nous reste donc plus qu’à les y remplacer pour obtenir :
Comme nous le verrons dans le prochain exemple, on peut aussi évaluer la dérivée seconde d’équations paramétriques en un point donné.
Exemple 2: Évaluer la dérivée seconde d’équations paramétriques en un point donné
Soit les équations paramétriques et ; trouvez la valeur de en .
Réponse
On doit trouver la dérivée seconde de par rapport à , où et sont sous forme paramétrique ; pour cela on utilise la formule suivante :
On peut commencer par dériver et par rapport à . Pour cela, on utilise les règles de dérivation des polynômes et on obtient et
Ces deux résultats nous permettent de calculer
On doit ensuite dériver par rapport à . On obtient
Nous sommes maintenant en mesure de calculer . On remplace nos résultats dans la formule et on obtient
Il ne nous reste plus qu’à évaluer notre dérivée seconde en la valeur donnée dans l’énoncé, . On obtient alors notre solution :
Dans le prochain exemple, nous verrons comment trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques en utilisant la dérivation implicite.
Exemple 3: Trouver la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques en utilisant la dérivation implicite
Soit les équations paramétriques et ; trouvez .
Réponse
On observe que la seconde équation paramétrique qui nous est donnée est . Pour dériver cette équation, on peut soit élever au carré chaque membre avant de dériver, soit utiliser la dérivation implicite. Nous montrerons comment résoudre le problème par les deux méthodes.
Pour trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques, on doit utiliser la formule suivante :
On a donc besoin de la dérivée première que l’on peut trouver en utilisant la formule :
On peut commencer par dériver par rapport à :
On doit ensuite dériver par rapport à . Comme nous l’avons déjà dit, cela peut se faire de deux façons différentes. Nous commencerons par la dérivation implicite puis traiterons ensuite l’autre méthode.
Méthode 1
On remarque que l’équation serait plus facile à dériver réécrite sous la forme . Ainsi réécrite, on peut la dériver implicitement par rapport à ; on obtient alors
On peut ensuite réarranger l’équation pour isoler :
On constate que notre équation comporte encore un terme en , mais cela ne pose pas de problème car il est égal au membre de gauche de notre équation d’origine. Par conséquent, on doit simplement remplacer pour obtenir
Voyons maintenant comment dériver cette équation paramétrique avec la seconde méthode.
Méthode 2
On commence par élever au carré les deux membres de l’équation paramétrique, puis on divise par 3 pour isoler :
On dérive ensuite par rapport à pour obtenir
On constate que les deux méthodes nous ont donné le même résultat. On peut maintenant passer à l’étape suivante de la résolution du problème. Celle-ci consiste à diviser par pour obtenir
On doit ensuite dériver par rapport à . On obtient
On a maintenant trouvé toutes les parties de notre formule de la dérivée seconde. Il ne nous reste donc plus qu’à remplacer par nos résultats et simplifier pour obtenir notre solution :
Nous verrons dans le dernier exemple comment trouver une fonction si celle-ci implique la dérivée seconde d’équations paramétriques.
Exemple 4: Trouver la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques
Soit les équations paramétriques et ; trouvez .
Réponse
Pour résoudre cette question, on doit d’abord trouver . Pour cela, on peut utiliser la formule
Pour trouver , on doit trouver et . On peut développer les expressions de et pour obtenir
On dérive ensuite nos deux expressions par rapport à pour obtenir
Donc, d’après ces deux résultats,
Pour trouver la dérivée seconde, on doit dériver par rapport à . Pour cela, nous aurons besoin de la règle de dérivation du quotient. D’après cette règle, on peut calculer la dérivée d’une fonction de la forme en utilisant la formule
Dans notre cas, et . Par conséquent, et . On remplace ces valeurs dans notre formule et on obtient
En développant le numérateur on obtient
Nous sommes maintenant en mesure de calculer . On remplace dans la formule et on obtient
Pour obtenir la solution du problème, il ne nous reste plus qu’à multiplier par . On trouve alors que
Dans cette fiche explicative, nous avons vu comment trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques. Récapitulons quelques points importants.
Points clés
- On peut trouver la dérivée seconde d’équations paramétriques en utilisant la formule où quand .
