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Vidéo de la leçon : Dérivées secondes des équations paramétriques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées secondes et les dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques en appliquant la règle de dérivation en chaîne.

22:09

Transcription de vidéo

Dérivées secondes des équations paramétriques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées secondes d’équations paramétriques en appliquant la règle de dérivation en chaîne. Pour cela, on commence par considérer le couple d’équations paramétriques suivant: 𝑥 est égal à la fonction 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à la fonction 𝑔 de 𝑡. On souhaite déterminer une expression de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. On ne peut pas la calculer directement, car 𝑦 n’est pas donné en tant que fonction de 𝑥. Si c’était le cas, il suffirait de dériver 𝑦 par rapport à 𝑥 à deux reprises. Mais étant donné qu’ici, 𝑦 et 𝑥 sont des fonctions de 𝑡, on peut appliquer la règle de dérivation en chaîne pour déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥.

On rappelle que si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions dérivables de 𝑡, alors en appliquant la règle de dérivation en chaîne et le théorème de dérivation des fonctions réciproques, on peut montrer que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡, si d𝑥 sur d𝑡 est non nul. On veut utiliser cette formule pour déterminer une expression de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. N’oublions pas que l’on peut calculer cette dérivée seconde en dérivant d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Mais cela pose à nouveau le même problème. En effet, d𝑦 sur d𝑥 est une fonction de 𝑡, car d𝑦 sur d𝑡 est une fonction de 𝑡 (à savoir, 𝑔 prime de 𝑡) et d𝑥 sur d𝑡 est aussi une fonction de 𝑡 (𝑓 prime de 𝑡). Donc, on ne peut pas dériver d𝑦 sur d𝑥 directement par rapport à 𝑥. On va à nouveau devoir utiliser la règle de dérivation en chaîne.

Pour l’appliquer à cet exemple, commençons par rappeler que d’après la règle de dérivation en chaîne, si grand 𝐹 est une fonction de 𝑡 et si 𝑡 est une fonction de 𝑥, alors la dérivée de grand 𝐹 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de grand 𝐹 par rapport à 𝑡 multipliée par la dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑥. Pour appliquer cela à notre problème, on pose que la fonction grand 𝐹 est égale à d𝑦 sur d𝑥. Il s’agit d’une fonction de 𝑡. Et on la dérive par rapport à 𝑥. En appliquant la règle de dérivation en chaîne, on obtient la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 multipliée par d𝑡 sur d𝑥.

On remarque qu’on avance dans la bonne direction. d𝑦 sur d𝑥 est une fonction de 𝑡, qu’on dérive maintenant par rapport à 𝑡. On pourra donc essayer de calculer cette dérivée directement. Cependant, on remarque qu’on doit aussi dériver 𝑡 par rapport à 𝑥, alors que 𝑡 n’est pas une fonction de 𝑥. À la place, on a 𝑥 qui est une fonction de 𝑡. Mais on a déjà vu comment contourner ce problème lorsqu’on a essayé de déterminer d𝑦 sur d𝑥 avec la règle de dérivation en chaîne et le théorème de dérivation des fonctions réciproques. En appliquant le théorème de dérivation des fonctions réciproques à d𝑡 sur d𝑥, on peut montrer que c’est égal à un divisé par d𝑥 sur d𝑡, à condition que le dénominateur ne soit pas nul.

On peut maintenant remplacer d𝑡 sur d𝑥 par cette expression dans notre formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. On obtient que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 divisée par d𝑥 sur d𝑡, à condition que d𝑥 sur d𝑡 soit différent de zéro. Cette formule est très utile. Si 𝑦 et 𝑥 forment un couple d’équations paramétriques, alors on peut déterminer une expression de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré en dérivant d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 et en divisant ce résultat par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Notons que pour utiliser cette formule, il faut d’abord déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥. Pour cela, on peut utiliser notre autre formule. Voyons maintenant quelques exemples dans lesquels nous appliquerons cette méthode pour déterminer les dérivées secondes d’équations paramétriques.

Sachant que 𝑥 est égal à trois 𝑡 au carré plus un et 𝑦 à trois 𝑡 au carré plus cinq 𝑡, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et on remarque quelque chose d’intéressant. La variable 𝑦 n’est pas donnée sous la forme d’une fonction de 𝑥. À la place, on a un couple d’équations paramétriques exprimées en fonction de la variable 𝑡. Donc, pour calculer cette dérivée, on va devoir utiliser la dérivation des fonctions paramétriques.

Avant de rappeler notre formule pour déterminer la dérivée seconde d’équations paramétriques, notons que 𝑥 et 𝑦 sont deux fonctions dérivables de 𝑡, car ce sont des polynômes. C’est pourquoi on peut utiliser cette formule pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, qui est donc égale à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 divisée par d𝑥 sur d𝑡. À condition, bien sûr, que d𝑥 sur d𝑡 soit différent de zéro.

Pour appliquer cette formule de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, on doit d’abord déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥. On rappelle que si 𝑥 et 𝑦 constituent un couple d’équations paramétriques exprimées en fonction d’une variable 𝑡, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 divisée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. À condition, ici aussi, que 𝑦 et 𝑥 soient des fonctions dérivables de 𝑡 et que d𝑥 sur d𝑡 soit différent de zéro.

On peut maintenant commencer les calculs pour déterminer d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. On remarque qu’on doit d’abord déterminer des expressions de d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡. Commençons par d𝑦 sur d𝑡. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑡 de trois 𝑡 au carré plus cinq 𝑡. Comme il s’agit d’un polynôme, on peut dériver chaque terme individuellement avec la règle de dérivation d’une puissance. Pour chaque terme, on multiplie par la puissance de 𝑡 et on la diminue de un. On obtient six 𝑡 plus cinq. On peut procéder de la même façon pour déterminer d𝑥 sur d𝑡. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑡 de trois 𝑡 au carré plus un. À nouveau, on applique la règle de dérivation d’une puissance à chacun des termes. Cela nous donne six 𝑡.

On peut maintenant remplacer ces expressions dans notre formule de d𝑦 sur d𝑥. On obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑡 plus cinq, le tout divisé par six 𝑡. On pourrait laisser cette expression telle quelle. Cependant, on sait que notre formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré implique de dériver cette expression par rapport à 𝑡. On pourrait la dériver à l’aide de la règle du quotient, mais on peut aussi diviser les deux termes du numérateur par six 𝑡 pour dériver plus facilement. Et puisque six 𝑡 divisé par six 𝑡 est égal à un et que cinq divisé par six 𝑡 est égal à cinq sur six fois 𝑡 puissance moins un, on a montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un plus cinq sur six fois 𝑡 puissance moins un.

On peut ensuite dériver cette expression en utilisant simplement la règle de dérivation d’une puissance. L’expression est donc plus facile à dériver sous cette forme: il suffit de lui appliquer la règle de dérivation d’une puissance. On pourrait maintenant remplacer nos expressions dans cette formule. Mais pour plus de facilité, on commence par évaluer séparément le numérateur de la fraction du membre de droite. On veut déterminer la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑡 de cinq sur six fois 𝑡 puissance moins un. On peut évaluer chaque terme individuellement avec la règle de dérivation d’une puissance. On obtient moins cinq sur six fois 𝑡 puissance moins deux.

On peut simplifier un peu cette expression à l’aide des propriétés des puissances. Multiplier par 𝑡 puissance moins deux revient à diviser par 𝑡 puissance deux. Donc, cette expression peut s’écrire moins cinq sur six 𝑡 au carré. On est maintenant prêt à remplacer cette expression et celle de d𝑥 sur d𝑡 dans la formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. On obtient que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à moins cinq sur six 𝑡 au carré, le tout divisé par six 𝑡. On peut simplifier cette expression. Diviser par six 𝑡 revient à multiplier par un sur six 𝑡. Faisons le calcul. Six 𝑡 au carré fois six 𝑡 est égal à 36 𝑡 au cube. Donc, notre réponse finale est moins cinq sur 36 𝑡 au cube.

On a donc montré que si 𝑥 est égal à trois 𝑡 au carré plus un et 𝑦 à trois 𝑡 au carré plus cinq 𝑡, alors la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à moins cinq divisé par 36 𝑡 au cube.

Voyons maintenant un exemple dans lequel nous devrons évaluer la dérivée seconde d’un couple d’équations paramétriques en un point donné.

Sachant que 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au cube moins sept et que 𝑧 est égal à trois 𝑥 au carré plus 16, déterminez la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 au point 𝑥 égale un.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦. Plus précisément, on nous demande de l’évaluer en 𝑥 égale un, car 𝑧 n’est pas donné en tant que fonction de 𝑦. À la place, on nous donne 𝑧 et 𝑦 sous la forme d’un couple d’équations paramétriques. Donc, on va devoir utiliser la dérivation des fonctions paramétriques. Tout d’abord, on note que 𝑦 et 𝑧 sont des polynômes et on en déduit que ce sont deux fonctions dérivables de 𝑥. On rappelle ensuite que si 𝑧 et 𝑦 sont deux fonctions dérivables de 𝑥, alors la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 est égale à la dérivée de d𝑧 sur d𝑦 par rapport à 𝑥 divisée par d𝑦 sur d𝑥.

Mais, dans notre cas, on ne peut pas utiliser cette formule directement, car on ne peut pas dériver 𝑧 par rapport à 𝑦 directement. Pour résoudre ce problème, on va utiliser la règle de dérivation en chaîne et le théorème de dérivation des fonctions réciproques, qui lorsqu’on les combine, nous permettent d’écrire que d𝑧 sur d𝑦 est égal à d𝑧 sur d𝑥 divisé par d𝑦 sur d𝑥. Cela nous permettra de répondre à la question. On doit déterminer des expressions de d𝑦 sur d𝑥 et d𝑧 sur d𝑥. Commençons par d𝑦 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 de moins cinq 𝑥 au cube moins sept. C’est un polynôme en 𝑥, donc on peut dériver chaque terme individuellement avec la règle de dérivation d’une puissance. Pour chaque terme, on multiplie par la puissance de 𝑥 et on la diminue de un. On obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 15 𝑥 au carré.

On procéde de la même façon pour d𝑧 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 de trois 𝑥 au carré plus 16. En appliquant la règle de dérivation d’une puissance à chaque terme, on obtient six 𝑥. On peut maintenant remplacer nos expressions de d𝑧 sur d𝑥 et d𝑦 sur d𝑥 dans notre formule de d𝑧 sur d𝑦. On obtient que d𝑧 sur d𝑦 est égal à six 𝑥 sur moins 15 𝑥 au carré et on peut simplifier cette expression. Tout d’abord, on peut simplifier par le facteur commun 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Ensuite, on peut simplifier par trois au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne moins deux sur cinq 𝑥.

On pourrait à présent remplacer ces expressions dans notre formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. Cependant, il est plus pratique de calculer séparément le numérateur et le dénominateur du membre de droite de l’équation. Ainsi, on obtient que la dérivée de d𝑧 sur d𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée par rapport à 𝑥 de moins deux sur cinq 𝑥. Pour calculer cette dérivée, on peut réécrire moins deux sur cinq 𝑥 en moins deux sur cinq fois 𝑥 puissance moins un. Il suffit ensuite d’utiliser la règle de dérivation d’une puissance. On multiplie par la puissance de 𝑥 et on la diminue de un. On obtient deux sur cinq fois 𝑥 puissance moins deux, que l’on réécrit sous la forme deux sur cinq 𝑥 au carré.

On peut maintenant remplacer nos expressions dans la formule de d deux 𝑧 sur d𝑦 carré. On obtient que la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 est égale à deux sur cinq 𝑥 au carré, le tout divisé par moins 15 𝑥 au carré. On peut simplifier cette expression. Diviser par moins 15 𝑥 au carré revient à multiplier par un sur moins 15 𝑥 au carré. Et comme cinq 𝑥 au carré fois 15 𝑥 au carré est égal à 75 𝑥 puissance quatre, cela nous donne moins deux sur 75 𝑥 puissance quatre.

Mais il reste encore une étape. En effet, on nous demandait dans l’énoncé de déterminer la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 en 𝑥 égale un. Pour cela, on remplace 𝑥 par un dans notre expression de d deux 𝑧 sur d𝑦 carré. Cela nous donne moins deux divisé par 75 fois un puissance quatre, ce qui est égal à moins deux sur 75. On a donc montré que si 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au cube moins sept et 𝑧 à trois 𝑥 au carré plus 16, alors la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 au point 𝑥 égale un est moins deux sur 75.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la dérivation de fonctions paramétriques pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Mais l’une de nos équations paramétriques sera définie implicitement.

Sachant que 𝑥 est égal à deux fois la sécante de cinq 𝑧 et que la racine carrée de trois 𝑦 est égale à la tangente de cinq 𝑧, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Mais on remarque que 𝑦 n’est pas donné comme une fonction de 𝑥. À la place, on nous donne 𝑥 comme fonction de 𝑧. Et la variable 𝑦 est définie implicitement en fonction de la variable 𝑧. Par conséquent, nous devrons appliquer deux résultats pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. On va devoir utiliser la dérivation de fonctions paramétriques pour déterminer une expression de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré.

Pour déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑧, il existe deux méthodes différentes. On peut utiliser la dérivation implicite, ou bien élever au carré les deux membres de l’équation et la réarranger pour obtenir 𝑦 en fonction de 𝑧. Ces méthodes fonctionnent toutes les deux. Commençons par rappeler la formule de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. La dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑧 divisée par d𝑥 sur d𝑧, à condition que 𝑥 et 𝑦 forment un couple d’équations paramétriques de 𝑧. Pour appliquer cette formule, on doit donc d’abord exprimer d𝑦 sur d𝑥 en fonction de 𝑧. Pour cela, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne et le théorème de dérivation des fonctions réciproques, qui lorsqu’on les combine, nous permettent d’écrire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑧 divisé par d𝑥 sur d𝑧.

Ainsi, on peut calculer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 en déterminant des expressions de d𝑦 sur d𝑧 et d𝑥 sur d𝑧. Commençons par d𝑥 sur d𝑧. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑧 de deux fois sécante de cinq 𝑧. Pour calculer cette dérivée, on rappelle que pour toute constante réelle 𝑘, la dérivée de sécante de 𝑘𝜃 est égale à 𝑘 fois sécante de 𝑘𝜃 fois la tangente de 𝑘𝜃. Ainsi, d𝑥 sur d𝑧 est égal à 10 fois sécante de cinq 𝑧 fois tangente de cinq 𝑧.

On doit maintenant déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑧. Comme on l’a déjà mentionné, il existe pour cela deux méthodes. On peut choisir d’utiliser celle que l’on préfère. Ici, on choisit de dériver les deux membres de cette équation par rapport à 𝑧. Pour dériver la racine de trois 𝑦 par rapport à 𝑧, on va devoir utiliser la dérivation implicite. Cela sera plus facile si on écrit que la racine de trois 𝑦 est la racine de trois multipliée par 𝑦 puissance un demi. On peut maintenant dériver cette expression par rapport à 𝑧 en utilisant la règle de dérivation en chaîne.

Tout d’abord, 𝑦 est une fonction de 𝑧, donc on doit dériver 𝑦 par rapport à 𝑧. Puis, on multiplie cela par la dérivée de cette expression par rapport à 𝑦. On peut calculer cette dérivée à l’aide de la règle de dérivation d’une puissance. On multiplie par la puissance de 𝑦, qui est égale à un demi, et on diminue cette puissance de un. Cela nous donne d𝑦 sur d𝑧 fois racine de trois sur deux fois 𝑦 puissance moins un demi. On doit ensuite dériver le côté droit de cette équation par rapport à 𝑧. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑧 de la tangente de cinq 𝑧. On peut calculer cette dérivée directement. Cela nous donne cinq fois la sécante au carré de cinq 𝑧.

N’oublions pas qu’on cherche à déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑧. Donc, on va réarranger cette équation pour isoler d𝑦 sur d𝑧. On peut multiplier les deux membres de l’équation par racine de 𝑦. Puis on peut multiplier les deux membres de l’équation par deux et les diviser par racine de trois. Cela nous donne d𝑦 sur d𝑧 égale 10 sur racine de trois fois racine de 𝑦 fois sécante au carré de cinq 𝑧. Mais il ne faut pas oublier qu’on va devoir dériver notre expression de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑧. Donc, notre expression de d𝑦 sur d𝑥 ne doit comporter aucun terme en 𝑦. Pour résoudre ce problème, on peut déterminer une expression donnant racine de 𝑦 en fonction de 𝑧. D’après l’énoncé, racine de trois 𝑦 est égale à tangente de cinq 𝑧. Si on divise les deux membres de cette équation par racine de trois, on obtient que racine de 𝑦 est égale à un sur racine de trois fois tangente de cinq 𝑧.

On peut remplacer cette expression de racine de 𝑦 dans notre expression de d𝑦 sur d𝑧. Cela nous donne 10 sur racine de trois fois un sur racine de trois fois tangente de cinq 𝑧 fois sécante carré de cinq 𝑧. On peut simplifier cette expression. Racine de trois fois racine de trois est égal à trois. Donc, d𝑦 sur d𝑧 est égal à dix sur trois fois tangente de cinq 𝑧 fois sécante carré de cinq 𝑧. On peut remplacer cette expression et celle de d𝑥 sur d𝑧 dans notre formule de d𝑦 sur d𝑥. Cela nous donne que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à dix tiers fois tangente cinq 𝑧 fois sécante carré de cinq 𝑧, le tout divisé par 10 fois sécante de cinq 𝑧 fois tangente de cinq 𝑧. On peut simplifier cette expression. On peut simplifier par sécante de cinq 𝑧 au numérateur et au dénominateur. On peut aussi simplifier par tangente de cinq 𝑧 au numérateur et au dénominateur. Et enfin, on peut simplifier par 10 au numérateur et au dénominateur. On obtient finalement un tiers fois sécante de cinq 𝑧.

On a presque tout ce qu’il nous faut pour déterminer une expression de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Commençons par évaluer le numérateur du membre de droite de notre formule. Faisons un peu de place pour nos calculs. On veut dériver notre expression de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑧. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑧 de un tiers fois la sécante de cinq 𝑧. On peut la calculer directement. C’est égal à cinq tiers de la sécante de cinq 𝑧 fois la tangente de cinq 𝑧.

On peut maintenant remplacer cette expression dans notre formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. Cela nous donne que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à cinq tiers de la sécante de cinq 𝑧 fois la tangente de cinq 𝑧, le tout divisé par 10 fois la sécante de cinq 𝑧 fois la tangente de cinq 𝑧. On peut simplifier cette expression. On peut simplifier par sécante de cinq 𝑧 fois tangente de cinq 𝑧 au numérateur et au dénominateur. On peut également éliminer cinq au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne un tiers divisé par deux, ce qui est égal à un sixième, notre réponse finale. On a donc montré que si 𝑥 est égal à deux fois la sécante de cinq 𝑧 et que la racine carrée de trois 𝑦 est égale à la tangente de cinq 𝑧, alors la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à un sixième.

Récapitulons à présent les points clés de cette vidéo. On a montré que si 𝑦 est une fonction dérivable 𝑓 de 𝑡 et 𝑥 une fonction dérivable 𝑔 de 𝑡, alors on peut trouver une expression de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 à l’aide de la règle de dérivation en chaîne et du théorème de dérivation des fonctions réciproques. On a montré que d deux 𝑦 sur d𝑥 carré est égal à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 divisée par d𝑥 sur d𝑡, à condition que d𝑥 sur d𝑡 soit non nul. Et on peut déterminer d𝑦 sur d𝑥 en divisant d𝑦 sur d𝑡 par d𝑥 sur d𝑡.

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