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Sur la figure ci-dessous, la demi-droite 𝐴𝐵 est tangente au cercle de centre 𝑀 au point 𝐵, le segment 𝐶𝐷 est un diamètre, la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 est égale à 𝑥 et la mesure de l’angle 𝑀𝐷𝐵 est égale à deux 𝑥 moins 55. Déterminez la valeur de 𝑥 en degrés.
On nous dit dans la question que la demi-droite 𝐴𝐵 est tangente au cercle au point 𝐵. Nous savons qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝑀 est de 90 degrés. Tous les rayons d’un cercle sont de même longueur, donc les segments 𝑀𝐷 et 𝑀𝐵 ont la même longueur. Nous en déduisons que le triangle 𝑀𝐷𝐵 est isocèle. Par conséquent, les angles 𝑀𝐷𝐵 et 𝑀𝐵𝐷 sont égaux. Leur mesure est égale à l’expression deux 𝑥 moins 55. On nous dit également dans la question que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 est égale à 𝑥.
Nous allons maintenant considérer le triangle 𝐴𝐵𝐷 et nous allons utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Ainsi, la somme des angles 𝐴𝐷𝐵, 𝐴𝐵𝐷 et 𝐵𝐴𝐷 est égale à 180 degrés. L’angle 𝐴𝐷𝐵 est égal à deux 𝑥 moins 55, l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égal à deux 𝑥 moins 55 plus 90 et l’angle 𝐵𝐴𝐷 est égal à 𝑥.
Nous avons donc l’équation suivante. Deux 𝑥 moins 55 plus deux 𝑥 moins 55 plus 90 plus 𝑥 égale 180. En simplifiant le côté gauche de l’équation, nous obtenons cinq 𝑥 moins 20 égale 180. Nous pouvons ensuite additionner 20 des deux côtés. Puis, nous divisons par cinq des deux côtés pour obtenir 𝑥 égale 40. Ainsi, la valeur de 𝑥 en degrés est de 40 degrés.
