Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les positions de points, droites et cercles par rapport à d’autres cercles.
On rappelle qu’un cercle est mathématiquement défini comme l’ensemble des points dans un plan qui sont à une distance fixe d’un point au centre.
Un segment allant du centre à un point sur le cercle est appelé un rayon. On désigne généralement la longueur du rayon par .
Pour commencer, étudions comment des points peuvent être positionnés par rapport à un cercle. Considérons le schéma ci-dessous.
Les points du plan peuvent être situés à trois endroits par rapport au cercle :
- à l’intérieur du cercle (par exemple, le point ) ;
- sur le cercle (par exemple, le point ) ;
- à l’extérieur du cercle (par exemple, le point ).
Ces positions dépendent de la distance entre les points et le centre du cercle par rapport au rayon. Considérons par exemple les trois points ci-dessous appartenant à la même droite.
On peut voir que , tandis que et que . On peut généraliser cela à tout point du plan avec la règle suivante.
Règle : Distance entre un point et le centre d’un cercle
Pour un cercle de centre et de rayon , et un point quelconque ,
- si , alors est à l’intérieur du cercle ;
- si , alors est sur le cercle ;
- si , alors est à l’extérieur du cercle.
Voyons une application de cette règle dans l’exemple suivant.
Exemple 1: Utiliser la position d’un point par rapport à un cercle pour trouver une inconnue
Un cercle a un rayon de 90 cm. Un point se situe sur le cercle à une distance cm du centre. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
Réponse
On rappelle que si un point se situe sur un cercle, alors sa distance au centre est égale au rayon. Cela nous donne l’équation linéaire suivante :
Bien que ce ne soit pas strictement nécessaire, illustrons-cela par un schéma. Soient le centre du cercle et le point de la question. Leur représentation est donc la suivante.
On peut maintenant résoudre l’équation ci-dessus en isolant . On obtient
La solution est donc B : .
Maintenant que nous avons vu les positions possibles entre un point et un cercle dans le plan, une autre question se pose naturellement : comment une droite peut-elle être positionnée par rapport à un cercle ? Considérons le schéma ci-dessous.
Comme précédemment, une droite du plan peut interagir de trois manières avec un cercle. Elle peut être :
- sécante au cercle si elle le coupe deux fois (par exemple, aux points et ) ;
- tangente au cercle si elle le coupe une seule fois (par exemple, au point ) ;
- extérieure au cercle si elle ne coupe jamais le cercle (par exemple, ).
Tout comme avec un seul point, il est possible de déterminer la position d’une droite en considérant sa distance au centre du cercle. Comment définit-on cependant la distance entre un point et une droite ? Rappelons la définition suivante.
Définition : Distance entre un point et une droite
La distance d’un point à une droite est la distance la plus courte possible de à tout point . Elle est égale à la longueur du segment perpendiculaire à la droite qui relie au point le plus proche sur la droite.
En utilisant cette définition, calculons la distance entre les droites , et et le centre du cercle dans l’exemple ci-dessus.
Par rapport au rayon du cercle , on observe que , et . Comme pour les points, nous pouvons généraliser cela par une règle permettant de définir si une droite quelconque est sécante, tangente ou extérieure au cercle.
Règle : Distance entre une droite et le centre d’un cercle
Pour un cercle de centre et de rayon , et une droite où est le point le plus proche de ,
- si , alors est sécante au cercle ;
- si , alors est tangente au cercle ;
- si , alors est à l’extérieur du cercle.
Étudions un exemple d’application de la règle ci-dessus.
Exemple 2: Déterminer si une droite est sécante, tangente ou extérieure au cercle
Le cercle de centre a un rayon de 65. Le point appartient à la droite et est perpendiculaire à . Sachant que , que peut-on dire de la position de par rapport au cercle ?
- La droite est sécante au cercle de centre .
- La droite est tangente au cercle de centre .
- La droite est extérieure au cercle de centre .
Réponse
On rappelle qu’en comparant la distance entre le centre du cercle et la droite avec le rayon du cercle, on peut déterminer si est sécante, tangente ou extérieure au cercle.
De plus, la distance de à est définie comme la longueur du segment perpendiculaire qui relie à . Comme est perpendiculaire à , sa longueur est donc égale à la distance de à .
La longueur vérifie l’équation
On peut résoudre ce problème pour trouver en réarrangeant l’équation :
On compare enfin au rayon. Comme le rayon est de 65 et que , on a
Illustrons cela ci-dessous.
Comme , on peut conclure que par définition, la réponse est : est sécante au cercle de centre .
Une dernière chose est à noter ici : comme une tangente coupe toujours un cercle en un seul point et que ce point est le point de la tangente le plus proche du centre, le segment perpendiculaire entre une tangente et le centre est toujours un rayon du cercle. Il s’agit d’une propriété importante que nous énonçons ci-dessous.
Propriété : Tangente à un cercle et rayon
Pour un cercle de centre ayant une tangente au point , est perpendiculaire à la tangente () et est un rayon du cercle.
Remarquez que cette propriété fonctionne dans les deux sens : si une droite est perpendiculaire à un rayon du cercle et coupe ce rayon en un point du cercle, alors il s’agit d’une tangente au cercle.
Dans l’exemple ci-dessous, nous allons utiliser ce que nous venons d’apprendre pour calculer un angle entre une droite et un cercle.
Exemple 3: Déterminer la mesure d’un angle en utilisant la relation entre les tangentes, les rayons et les angles dans un cercle
Sachant que est tangente au cercle de centre et que , déterminez .
Réponse
Commençons par indiquer les informations que nous connaissons sur le schéma.
On désigne l’angle par car c’est l’angle que nous recherchons.
On identifie d’abord que est un segment et que la mesure d’un angle plat est égale à , donc
On remarque également que et sont des rayons du cercle (ainsi que mais nous n’en avons pas besoin ici). Tous les rayons d’un cercle sont de même longueur, donc, . Ajoutons ces informations au schéma.
Nous considérons maintenant le triangle . Comme deux côtés de sont de même longueur, il s’agit d’un triangle isocèle. Cela nous indique que les deux angles restants sont égaux. Supposons que . On sait de plus que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à . Donc,
Indiquons cela sur le schéma une fois de plus.
Enfin, pour calculer , on utilise la propriété des tangentes au cercle et des rayons. Comme est tangente au cercle et que est un rayon du cercle, l’angle est un angle droit. On a donc
Par conséquent, la réponse est .
Jusqu’à présent, nous avons vu comment des points ou des droites peuvent interagir avec des cercles. Qu’en est-il des cercles avec d’autres cercles ? À première vue, deux cercles distincts peuvent avoir deux points, un point ou aucun point d’intersection. Des scénarios supplémentaires apparaissent cependant lorsqu’un cercle est à l’intérieur de l’autre. Étudions-les un par un.
Soient deux cercles distincts : un de centre et de rayon , et un autre de centre et de rayon . Soit la distance entre leurs deux centres. Les cas suivants sont alors possibles.
Cas 1 : cercles séparés l’un de l’autre
Si , alors les cercles sont séparés l’un de l’autre. Ils ne se coupent pas et un cercle n’est pas à l’intérieur de l’autre.
Cas 2 : cercles se touchant par l’extérieur
Si , alors les cercles se touchent par l’extérieur en un point . Remarquez que les deux cercles partagent une tangente en .
Cas 3 : cercles se coupant en deux points
On suppose que (si , on peut renommer les cercles). Si , alors les deux cercles se coupent en deux points et .
Remarquez que cela inclut également le cas où le centre est à l’intérieur du cercle de centre , ce qui se produit lorsque . Nous illustrons cela ci-dessous.
Cas 4 : cercles se touchant par l’intérieur
Si et , alors les cercles se touchent en un point , à l’intérieur du cercle de centre . Comme dans le cas 2, les deux cercles partagent une tangente au point . Notez que l’on ne peut pas supposer que dans ce cas car les cercles se chevaucheraient et ne seraient pas distincts.
Cas 5 : un cercle à l’intérieur de l’autre
Dans ce dernier cas, si et , alors un cercle est à l’intérieur de l’autre et les cercles ne se coupent pas.
Notez que si (c’est-à-dire si les cercles ont le même centre), alors les deux cercles sont concentriques. C’est un cas particulier d’un cercle à l’intérieur d’un autre cercle que nous illustrons ci-dessous.
Dans les cinq cas, l’important est de comparer la distance entre les centres des cercles à leurs rayons.
Résumons les informations ci-dessus par une règle générale.
Règle : Distance entre deux cercles
Soient deux cercles, le premier de centre et de rayon , et le second de centre et de rayon . On suppose que . Alors,
| Condition | Résultat |
|---|---|
| Les cercles sont séparés. | |
| Les cercles se touchent par l’extérieur. | |
| Les cercles se coupent en deux points. | |
| Les cercles se touchent par l’intérieur. | |
| Un cercle est à l’intérieur de l’autre. |
Étudions un exemple concret de la règle ci-dessus dans le problème suivant.
Exemple 4: Déterminer la distance entre deux cercles à partir de leurs rayons et de leur position
Soient deux cercles, le premier de centre et de rayon , et le second de centre et de rayon . Sachant que les cercles se coupent en deux points distincts, quel intervalle suivant correspond à la plage de valeurs possible pour la longueur ?
Réponse
Il peut être utile de commencer par dessiner un schéma représentant approximativement la situation. Nous traçons le schéma suivant sachant que les rayons des cercles sont et , que est la distance entre eux et qu’ils se coupent en deux points différents (par exemple et ).
On peut voir que les valeurs possibles de la distance dépendent des rayons. D’un côté, les cercles ne doivent pas être trop éloignés car sinon ils ne se couperaient qu’une fois ou pas du tout. Plus précisément, on doit avoir
D’un autre côté, les cercles ne doivent pas non plus être trop proches, sinon l’un serait complètement à l’intérieur de l’autre. Cela signifie que
Par conséquent, pour que les deux cercles se coupent deux fois, on combine les deux conditions ci-dessus et on trouve que doit être comprise entre les valeurs suivantes :
Pour notre dernier exemple, considérons un cas où nous avons deux cercles en interaction et nous devons déterminer une longueur manquante.
Exemple 5: Déterminer la longueur d’un segment tangent à deux cercles à partir de leurs rayons
Sachant que et que , calculez la longueur de .
Réponse
Commençons par indiquer les informations que nous connaissons ou que nous pouvons facilement déterminer sur le schéma. On sait que et sont deux rayons du cercle de centre , et que et sont deux rayons du cercle de centre , on peut donc indiquer qu’ils mesurent respectivement 16 cm et 13 cm. De plus, est tangente aux deux cercles et elle forme donc des angles droits avec les rayons aux points et . On obtient ainsi le schéma ci-dessous.
On définit la distance par , car il s’agit de la distance que l’on recherche. Une façon de calculer est à présent de former un rectangle en ajoutant le point à , tel que est un rectangle. Cela forme un triangle rectangle au-dessus du rectangle que nous pourrons utiliser pour déterminer la valeur de en utilisant le théorème de Pythagore. Cette méthode est illustrée ci-dessous.
On a construit ici un rectangle de longueur et de hauteur 13 cm et un triangle rectangle de côté et d’hypoténuse . On peut alors utiliser le théorème de Pythagore pour calculer :
On peut enfin utiliser la propriété des racines carrées pour simplifier la réponse :
Nous concluons donc que .
Récapitulons certains des points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Pour un cercle de centre et de rayon , et un point quelconque ,
- si , alors est à l’intérieur du cercle ;
- si , alors est sur le cercle ;
- si , alors est à l’extérieur du cercle.
- Pour un cercle de centre et de rayon , et une droite , où est le point le plus proche de (donc ),
- si , alors est sécante au cercle ;
- si , alors est tangente au cercle ;
- si , alors est extérieure au cercle.
- Pour un cercle de centre ayant une tangente au point , est perpendiculaire à la tangente () et est un rayon du cercle.
- Pour deux cercles de centres et et de rayons et tels que , les situations suivantes sont possibles.
Condition Résultat Les cercles sont séparés. Les cercles se touchent par l’extérieur. Les cercles se coupent en deux points. Les cercles se touchent par l’intérieur. Un cercle est à l’intérieur de l’autre.
