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Vidéo de la leçon: Positions des points, des droites et des cercles par rapport aux cercles v2 Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les positions de points, droites et cercles par rapport à d’autres cercles.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les positions de points, droites et cercles par rapport à d’autres cercles. Nous commençons par rappeler que nous définissons un cercle comme étant un ensemble de points dans un plan qui sont à une distance constante d’un point au centre. Le segment allant du centre à un point de la circonférence s’appelle le rayon, qui est généralement désigné par une lettre minuscule 𝑟.

Nous commencerons par examiner comment les points peuvent être positionnés par rapport à un cercle. Dans la figure dessinée, nous pouvons voir qu’il existe trois possibilités distinctes en ce qui concerne les points pouvant exister sur un plan par rapport au cercle : premièrement, à l’intérieur du cercle comme au point 𝐴 ; deuxièmement, sur le cercle comme au point 𝐵 ; ou troisièmement, en dehors du cercle comme au point 𝐶. Ces distinctions importent en fonction de la distance que les points peuvent avoir du centre du cercle par rapport au rayon.

Imaginons que les trois points se trouvent sur la même droite que celle illustrée. Nous pouvons voir que la distance du centre 𝑀 au point 𝐴 est inférieure au rayon 𝑟. La distance du centre au point 𝐵 est égale à la longueur du rayon. Et la distance 𝑀𝐶 est supérieure au rayon 𝑟. Cela peut être généralisé comme suit. Pour un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟 et de point général 𝑃, si 𝑀𝑃 est inférieur à 𝑟, alors 𝑃 est à l’intérieur du cercle. Si 𝑀𝑃 est égal à 𝑟, alors 𝑃 se trouve sur le cercle. Si 𝑀𝑃 est supérieur à 𝑟, alors 𝑃 est en dehors du cercle. Nous allons maintenant considérer une application de cette règle dans un exemple.

Un cercle a un rayon de 90 centimètres. Un point se trouve sur le cercle à une distance de trois 𝑥 moins trois centimètres du centre. Lequel des énoncés suivants est vrai ? (A) 𝑥 est inférieur à 31, (B) 𝑥 est égal à 31 ou (C) 𝑥 est supérieur à 31.

Commençons par esquisser le cercle. On nous dit qu’il a un rayon de 90 centimètres. On nous dit aussi qu’un point, que nous appellerons 𝑃, se trouve sur le cercle. Soit 𝑀 le centre du cercle et le rayon 𝑟, nous rappelons que si un point se trouve sur un cercle, alors sa distance du centre est égale au rayon. Donc 𝑀𝑃 est égal à 𝑟. Nous savons que la distance 𝑀𝑃 est égale à trois 𝑥 moins trois centimètres. Ainsi, trois 𝑥 moins trois doit être égal à 90. En ajoutant trois aux deux membres de notre équation, nous avons trois 𝑥 égale 93. Nous pouvons alors diviser par trois de telle sorte que 𝑥 soit égal à 31.

Donc, la bonne réponse est l’option (B). Si un cercle a un rayon de 90 centimètres et qu’un point 𝑃 se trouve sur le cercle à une distance de trois 𝑥 moins trois centimètres du centre, alors 𝑥 est égal à 31. Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous notons que si 𝑥 est inférieur à 31, le point se trouverait à l’intérieur du cercle. Et si 𝑥 est supérieur à 31, alors le point se trouve en dehors du cercle. Après avoir vu les relations possibles entre les points et les cercles, nous allons maintenant voir comment les droites se rapportent aux cercles.

Comme précédemment, nous commencerons par considérer un cercle de centre 𝑀. Encore une fois, il existe trois possibilités distinctes en ce qui concerne la manière dont une droite peut couper un cercle. Tout d’abord, une sécante d’un cercle coupe deux fois le cercle, dans cet exemple aux points 𝐴 et 𝐵. Deuxièmement, nous avons une tangente qui coupe ou touche le cercle une fois. Enfin, nous avons la situation où une droite est complètement en dehors du cercle et ne coupe donc pas le cercle.

Tout comme avec un seul point, il est possible de déterminer à quelle classification appartient une droite en considérant sa distance par rapport au centre du cercle. Pour ce faire, nous devons rappeler la définition suivante. La distance d’un point 𝐴 à une droite 𝐿 est la distance la plus courte possible de 𝐴 à n’importe quel point 𝐵 qui se trouve sur 𝐿. Celle-ci est égale à la longueur du segment perpendiculaire qui relie 𝐴 au point le plus proche sur la droite. En utilisant cette définition, trouvons la distance entre les droites 𝐿 un, 𝐿 deux, 𝐿 trois et le centre du cercle 𝑀 dans le diagramme. Nous observons que par rapport au rayon du cercle 𝑟, 𝑀𝑋 est inférieur à 𝑟, 𝑀𝑌 est égal à 𝑟 et 𝑀𝑍 est supérieur à 𝑟.

Tout comme nous le faisions auparavant pour les points, nous pouvons généraliser cela à une règle pour toute droite et sa classification en sécante, tangente ou droite se trouvant en dehors du cercle. Pour un cercle de centre 𝑀 et de rayon 𝑟 et une droite 𝐿, où 𝐴 est le point le plus proche de 𝑀 qui se trouve sur 𝐿, si 𝑀𝐴 est inférieur à 𝑟, 𝐿 est une sécante au cercle. Si 𝑀𝐴 est égal à 𝑟, 𝐿 est une tangente au cercle. Si 𝑀𝐴 est supérieur à 𝑟, 𝐿 est en dehors du cercle.

Prenons un exemple d’application de la règle ci-dessus.

Le cercle 𝑀 a un rayon de 65. Supposons que 𝐴 soit sur une droite 𝐿 et que le segment 𝑀𝐴 soit perpendiculaire à 𝐿. Si deux 𝑀𝐴 moins 56 égale 18, que dire de 𝐿 par rapport au cercle ? Est-ce que (A) 𝐿 est une sécante au cercle 𝑀 ? (B) 𝐿 est une tangente au cercle 𝑀. Ou (C) 𝐿 est en dehors du cercle 𝑀.

Rappelons que si nous comparons la distance du centre du cercle 𝑀 à la droite 𝐿 avec le rayon du cercle, nous pouvons déterminer si 𝐿 est une sécante, une tangente ou si elle est en dehors du cercle. En particulier, la distance de 𝑀 à 𝐿 est définie par la longueur du segment perpendiculaire qui relie 𝑀 à 𝐿. Puisque le segment 𝑀𝐴 est perpendiculaire à 𝐿, il mesure donc la distance de 𝑀 à 𝐿. Maintenant, 𝑀𝐴 satisfait l’équation deux 𝑀𝐴 moins 56 égale 18. Nous pouvons résoudre ce problème pour trouver 𝑀𝐴 en réarrangeant l’équation. En ajoutant 56 aux deux membres, nous avons deux 𝑀𝐴 égale 74. Nous pouvons alors diviser par deux tel que 𝑀𝐴 est égal à 37.

Nous sommes maintenant en mesure de comparer la longueur de 𝑀𝐴 à la longueur du rayon. Puisque le rayon est de 65 et 𝑀𝐴 est égal à 37, nous avons 𝑀𝐴 est inférieur à 𝑟. Cela peut être illustré comme indiqué. Puisque 𝑀𝐴 est inférieur à 𝑟, nous pouvons conclure que, par définition, la bonne réponse est l’option (A). Autrement dit, 𝐿 est une sécante au cercle. Notez que si la longueur 𝑀𝐴 était égale à la longueur du rayon, alors la droite 𝐿 serait une tangente au cercle. Et si 𝑀𝐴 était supérieur à 𝑟, alors la droite serait en dehors du cercle.

Il y a une dernière chose à noter lorsqu’il s’agit de droites et de cercles. Comme une tangente coupe toujours un cercle en un seul point de sa circonférence et que ce point est le point le plus proche de la tangente au centre, le segment perpendiculaire entre une tangente et le centre est toujours un rayon du cercle. Cela peut être formellement formulé comme suit. Pour un cercle de centre 𝑀 de tangente 𝐿 au cercle en un point 𝐴, le segment 𝑀𝐴 est perpendiculaire à la tangente et est un rayon du cercle. Nous notons que cette propriété va dans les deux sens. Si une droite est perpendiculaire à un rayon du cercle et coupe ce rayon en un point de la circonférence, elle doit être tangente au cercle.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment les points peuvent interagir avec les cercles et comment les droites peuvent interagir avec les cercles. Mais qu’en est-il des cercles avec d’autres cercles ? Essentiellement, deux cercles distincts peuvent se couper en deux points, en un point ou pas du tout. Cependant, il existe d’autres situations qui se produisent lorsqu’un cercle est contenu dans l’autre cercle. Laissez-nous enquêter sur celles-ci une par une.

Dans toutes les cinq situations, nous supposons que nous avons deux cercles distincts, l’un avec le centre 𝑀 un et le rayon 𝑟 un et l’autre avec le centre 𝑀 deux et le rayon 𝑟 deux. Nous allons poser 𝑀 un 𝑀 deux la distance entre les deux centres. Si 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à 𝑟 un plus 𝑟 deux, alors les cercles sont séparés les uns des autres. Ils ne se croisent pas et aucun n’est à l’intérieur de l’autre. Si 𝑀 un 𝑀 deux est égal à 𝑟 un plus 𝑟 deux, alors les cercles se coupent en un point, 𝐴, à l’extérieur des deux cercles. Nous notons qu’il y a une tangente aux deux cercles en 𝐴.

Supposons que 𝑟 un soit supérieur ou égal à 𝑟 deux. Ensuite, si 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à 𝑟 un moins 𝑟 deux et inférieur à 𝑟 un plus 𝑟 deux, les deux cercles se coupent en deux points, 𝐴 et 𝐵. Si 𝑟 un est supérieur à 𝑟 deux et 𝑀 un 𝑀 deux est égal à 𝑟 un moins 𝑟 deux, alors les cercles se croisent en un point, 𝐴, à l’intérieur du cercle centré en 𝑀 un. Notez que 𝑟 un ne peut pas être égal à 𝑟 deux dans ce cas, car les cercles se chevaucheraient et ne seraient pas distincts. Dans la dernière situation, si 𝑟 un est supérieur à 𝑟 deux et 𝑀 un 𝑀 deux est inférieur à 𝑟 un moins 𝑟 deux, alors un cercle est à l’intérieur de l’autre et les cercles ne se coupent pas.

Dans toutes les cinq situations, l’important est de comparer la distance 𝑀 un 𝑀 deux des centres des cercles l’un à l’autre à leurs rayons. Cela peut être résumé comme indiqué.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons rappeler ces propriétés.

Supposons que nous ayons deux cercles, un de centre 𝑀 un et de rayon 𝑟 un égal à sept et un autre de centre 𝑀 deux et de rayon 𝑟 deux égal à quatre. Étant donné que les cercles se croisent en deux points distincts, laquelle des valeurs suivantes correspond à la plage de valeurs correctes pour la longueur 𝑀 un 𝑀 deux ? (A) 𝑀 un 𝑀 deux est inférieur à trois. (B) 𝑀 un 𝑀 deux est inférieur à 11. (C) Trois est inférieur à 𝑀 un 𝑀 deux. (D) 𝑀 un 𝑀 deux est plus grand que trois et inférieur à 11. Ou (E) 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à quatre et inférieur à sept.

On nous dit dans cette question que deux cercles se coupent en deux points distincts. Le plus grand cercle a le centre 𝑀 un et un rayon de sept, alors que le plus petit cercle a le centre 𝑀 deux et le rayon est égal à quatre. On nous demande de trouver l’intervalle pour la longueur 𝑀 un 𝑀 deux, qui est la distance entre les deux centres. Nous rappelons que lorsque deux cercles se coupent en deux points distincts, alors 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à 𝑟 un moins 𝑟 deux et inférieur à 𝑟 un plus 𝑟 deux. En substituant les valeurs dans cette question, nous avons 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à sept moins quatre et inférieur à sept plus quatre. Cela se simplifie en 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à trois et inférieur à 11. Donc, la bonne réponse est l’option (D).

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés.

Nous avons commencé par considérer la relation entre un point et un cercle. Dans ce cas, il y avait trois situations possibles. Si la distance entre le centre 𝑀 et un point général 𝑃 est inférieure au rayon, alors le point se trouve à l’intérieur du cercle. Si la longueur 𝑀𝑃 est égale à 𝑟, le point se trouve sur le cercle. Et si 𝑀𝑃 est supérieur à 𝑟, alors le point est en dehors du cercle. Ensuite, nous avons examiné la relation entre une droite et un cercle. Encore une fois, il y avait trois possibilités. Si 𝑀𝐴 est inférieur à 𝑟, alors 𝐿 est une sécante du cercle. Si 𝑀𝐴 est égal à 𝑟, alors 𝐿 est une tangente au cercle. Et si 𝑀𝐴 est supérieur à 𝑟, alors 𝐿 est en dehors du cercle, où 𝐴 est le point sur 𝐿 qui est le plus proche du centre du cercle 𝑀.

Enfin, pour deux cercles de centres 𝑀 un et 𝑀 deux et rayons 𝑟 un et 𝑟 deux, nous avons vu ce qui suit. Si 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à 𝑟 un plus 𝑟 deux, les cercles sont séparés. Si 𝑀 un 𝑀 deux est égal à 𝑟 un plus 𝑟 deux, les cercles se touchent à l’extérieur. Si 𝑀 un 𝑀 deux est supérieur à 𝑟 un moins 𝑟 deux et inférieur à 𝑟 un plus 𝑟 deux, les cercles se coupent deux fois. Si 𝑀 un 𝑀 deux est égal à 𝑟 un moins 𝑟 deux, les cercles se touchent à l’intérieur. Et enfin, si 𝑀 un 𝑀 deux est inférieur à 𝑟 un moins 𝑟 deux, un cercle est à l’intérieur de l’autre, où 𝑟 un est supérieur ou égal à 𝑟 deux.

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