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Lequel des choix suivants représente une fonction 𝑔 de 𝑥 dont les asymptotes sont les mêmes que celles de la fonction 𝑓 de 𝑥 représentée ci-dessous ? Est-ce la proposition (A), 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 moins deux moins trois ? Est-ce la proposition (B), 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 plus deux plus trois ? Est-ce la proposition (C), 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 moins deux plus trois ? Est-ce la proposition (D), 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 moins trois plus deux ? Est-ce la proposition (E), 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 plus trois plus deux ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer laquelle des cinq fonctions données définit correctement une fonction 𝑔 de 𝑥. Pour nous aider à la déterminer, on nous donne le graphique d’une fonction 𝑓 de 𝑥. On nous dit que les asymptotes des courbes de 𝑓 de 𝑥 et de 𝑔 de 𝑥 sont les mêmes. Nous devons donc utiliser le graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 pour déterminer ses asymptotes. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par les asymptotes de la courbe d’une fonction. Les asymptotes de la courbe d’une fonction sont les droites vers lesquelles cette courbe va tendre. En particulier, les asymptotes horizontales sont des droites horizontales vers lesquelles la courbe de la fonction tend et les asymptotes verticales sont des droites verticales vers lesquelles la courbe de la fonction tend.
Ainsi, en regardant la courbe donnée de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir qu’elle admet deux asymptotes. Nous pouvons voir tout d’abord qu’elle admet une asymptote horizontale comme indiqué. En effet, lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers plus ∞, nous pouvons voir que la courbe de la fonction tend vers cette droite horizontale. Nous pouvons voir également qu’il en est de même lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers moins ∞. La courbe tend vers cette droite horizontale. Il s’agit de la seule droite horizontale pour laquelle ceci est vrai. Nous pouvons conclure que la courbe admet cette droite comme asymptote horizontale et nous pouvons voir qu’elle se situe entre 𝑦 est égal à deux et 𝑦 est égal à quatre. Puisqu’elle est exactement à mi-chemin entre ces deux valeurs, il s’agit donc la droite horizontale 𝑦 est égal à trois.
Nous pouvons suivre un raisonnement très similaire pour montrer que la droite verticale 𝑥 est égal à deux est une asymptote verticale à la courbe de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Une façon de le voir est de noter que lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers deux par valeurs supérieures, alors les valeurs de la fonction décroissent sans limite. De même, lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers deux par valeurs inférieures, nous pouvons voir que les valeurs de la fonction, soit les valeurs des coordonnées 𝑦 des points de la courbe, croissent sans limite. La courbe tend de plus en plus vers la droite 𝑥 est égal à deux.
Ainsi, la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 admet deux asymptotes : l’asymptote horizontale 𝑦 est égal à trois et l’asymptote verticale 𝑥 est égal à deux. Seulement, rappelez-vous, on nous dit que la courbe de notre fonction 𝑔 de 𝑥 admet les mêmes asymptotes. Ainsi, la courbe de 𝑔 de 𝑥 doit aussi admettre ces deux droites comme asymptotes. Voyons maintenant quelle proposition parmi celles données définit une fonction dont la courbe admet ces deux droites comme asymptotes.
Il y a plusieurs façons de procéder. Une façon est de rappeler que nous savons que la courbe 𝑦 est égal à un divisé par 𝑥 moins 𝑎 plus 𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 des constantes, aura deux asymptotes, 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑦 est égal à 𝑏. En effet, à mesure que les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎, la valeur de 𝑥 moins 𝑎 va devenir de plus en plus petite. Puis, diviser un par un terme dont la valeur devient de plus en plus petite va croître sans limite. Ainsi, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, les valeurs de cette fonction tendront soit vers plus ∞, soit vers moins ∞. 𝑥 est égal à 𝑎 est donc une asymptote verticale à cette courbe. De même, lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers plus ∞ ou moins ∞, le premier terme va tendre vers zéro, ce qui signifie que nous aurons une asymptote horizontale d’équation 𝑦 est égal à 𝑏.
Par conséquent, nous pouvons trouver une fonction dont la courbe a les mêmes asymptotes que 𝑓 de 𝑥 si 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à trois. Il est important de noter que nous soustrayons 𝑎 dans le dénominateur. Nous savons donc qu’il s’agit de la fonction qui est égale à un divisé par 𝑥 moins deux plus trois. Nous pouvons voir que ceci correspond à la proposition (C). Nous savons que sa courbe admet 𝑥 est égal à deux comme asymptote verticale et 𝑦 est égal à trois comme asymptote horizontale.
Il convient de remarquer que nous pouvons démontrer qu’il s’agit de la seule proposition valide. Par exemple, la courbe de la fonction donnée dans la proposition (A) aura 𝑦 est égal à moins trois comme asymptote horizontale. La courbe de la fonction de la proposition (B) aura 𝑥 est égal à moins deux comme asymptote verticale. Les courbes des fonctions des propositions (D) et (E) admettent toutes deux 𝑦 est égal à deux comme asymptote horizontale. Nous pouvons également voir que les courbes des cinq fonctions données n’auront que deux asymptotes.
Par conséquent, parmi les cinq propositions données, seule la proposition (C) 𝑔 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 moins deux plus trois a une courbe admettant les mêmes asymptotes que celles de la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥.
