Fiche explicative de la leçon: Représentations graphiques des fonctions rationnelles

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions rationnelles dont le dénominateur est du premier degré, à déterminer le type de leurs asymptotes, et à décrire leurs comportements à l'infini.

Une fonction rationnelle est une fonction définie par une fraction algébrique où le numérateur et le dénominateur du quotient sont tous deux des polynômes. En effet, un polynôme est une fonction rationnelle quand on considère le dénominateur égal à 1, qui est un polynôme de degré zéro. Cependant, comme la fonction constante 1 n’a pas de racines, les polynômes sont différents des autres fonctions rationnelles qui ont un polynôme de plus haut degré comme dénominateur. En particulier, l’ensemble de définition de la fonction rationnelle dont le dénominateur est une fonction linéaire doit exclure le nombre qui correspond à la racine de la fonction linéaire, tandis que l’ensemble de définition de tout polynôme est tous les nombres réels.

Voyons comment cette différence affecte les courbes représentatives de ces fonctions en prenant un exemple. Nous savons que la courbe d’un polynôme non constant est continue et tend vers l’infini positif ou négatif aux deux extrémités de la courbe. Nous verrons que ce n’est pas toujours le cas pour les fonctions rationnelles en étudiant la fonction rationnelle la plus simple qui n’est pas un polynôme, .

Dans notre premier exemple, nous allons observer quelques caractéristiques importantes de la représentation graphique de cette fonction qui sont différentes des caractéristiques des polynômes.

Exemple 1: Évaluation du comportement à l'infini des fonctions rationnelles

On considère la représentation graphique de la fonction .

En observant le graphique et en substituant quelques valeurs successivement plus grandes de dans la fonction, quel est le comportement à l’infini du graphique lorsque augmente le long de l’axe des positifs ?
1. La valeur de tend vers zéro lorsque la valeur de augmente.
2. La valeur de tend vers l’infini lorsque augmente.
3. La valeur de tend vers l’infini négatif lorsque augmente.
De même, quel est le comportement à l’infini du graphique lorsque diminue ?
1. La valeur de tend vers .
2. La valeur de tend vers .
3. La valeur de tend vers zéro.
Enfin, en interprétant le graphique, que se passe-t-il avec la fonction lorsque la valeur de tend vers zéro ?
1. La valeur de tend vers l’infini positif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif ou à partir du sens positif.
2. La valeur de tend vers l’infini positif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif et tend vers l’infini négatif lorsque tend vers zéro à partir du sens positif.
3. La valeur de tend vers l’infini négatif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif ou à partir du sens positif.
4. La valeur de tend vers l’infini négatif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif et tend vers l’infini positif lorsque tend vers zéro à partir du sens positif.

Réponse

Partie 1

On note les valeurs correspondant à sur le graphique.

À partir de ces points, nous pouvons observer que la valeur de tend vers zéro lorsque la valeur de augmente. C’est le choix A.

Partie 2

De même, on note les valeurs correspondant à sur le graphique.

À partir de ces points, nous pouvons observer que la valeur de tend vers zéro lorsque la valeur de diminue. C’est le choix C.

Partie 3

On note plusieurs points sur le graphique près de .

À partir de ces points, nous pouvons observer que la valeur de tend vers l’infini négatif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif et tend vers l’infini positif lorsque tend vers zéro à partir du sens positif. C’est le choix D.

Dans l’exemple précédent, nous avons observé les caractéristiques du graphique de . Nous pouvons décrire ces caractéristiques par les asymptotes. Rappelons qu’une asymptote est une droite vers laquelle tend une courbe (dans ce cas le graphique de ). Nous avons constaté que les valeurs des points sur le graphique tendent vers zéro lorsque tend vers et . Cela nous indique que la courbe, ou le graphique, tend vers la droite horizontale décrite par l’équation .

Nous avons également noté que comme les valeurs tendent vers zéro, les valeurs correspondant à sur le graphique tendent vers l’infini positif ou négatif. Cela signifie que le graphique tend vers la droite verticale décrite par l’équation . Nous pouvons résumer ces résultats.

Propriété : Représentation graphique de la fonction réciproque

La représentation graphique de a une asymptote horizontale en et une asymptote verticale en .

On note que ces caractéristiques de la représentation graphique de la fonction rationnelle diffèrent des caractéristiques générales attendues d’un polynôme non constant. Un polynôme non constant n’a ni asymptote verticale ni asymptote horizontale. Cela ne signifie pas que toutes les fonctions rationnelles autres que les polynômes ont des asymptotes verticales et horizontales, ce qui n’est pas vrai. Cependant, cela illustre une distinction importante entre les représentations graphiques de fonctions rationnelles et les représentations graphiques de polynômes.

La courbe sur la représentation graphique de est une hyperbole. Nous pouvons appliquer différentes transformations de fonctions (translation, symétrie et dilatation) à cette fonction pour obtenir différentes hyperboles sous forme de représentations graphiques d’autres fonctions rationnelles. Dans l’exemple suivant, nous identifierons la représentation graphique d’une fonction rationnelle en utilisant une transformation de fonction.

Exemple 2: Faire correspondre la règle d’une fonction rationnelle avec sa représentation graphique

Laquelle des représentations graphiques suivantes représente ?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons identifier la représentation graphique de à partir de la liste donnée des représentations graphiques. On peut obtenir ce graphique à partir de la représentation graphique de la fonction d’origine en appliquant la transformation de fonction . Commençons par rappeler la représentation graphique de la fonction d’origine .

En particulier, nous notons que ce graphique a une asymptote horizontale et une asymptote verticale .

Rappelons que la transformation par rapport à la variable donc représente graphiquement un décalage horizontal vers la gauche de unités. Étant donné que nous appliquons la transformation pour obtenir le graphique de notre fonction à partir de la fonction d’origine, nous devons appliquer un décalage du graphique ci-dessus vers la gauche de 1 unité.

Lorsque nous déplaçons la représentation graphique donnée vers la gauche de 1 unité, cela déplacera l’asymptote verticale de la fonction d’origine à la nouvelle asymptote verticale . L’asymptote horizontale de la fonction d’origine ne se déplacera pas à la suite de cette transformation. On voit que seuls les choix c et d remplissent ces conditions. Cependant, la courbe dans le choix d est également transformée sur l’axe des , qui ne fait pas partie de la transformation de la fonction pour obtenir notre fonction .

Par conséquent, la représentation graphique correcte de notre fonction est le choix c.

Dans l’exemple suivant, nous identifierons une fonction rationnelle à partir de son graphique.

Exemple 3: Déterminer la règle d’une fonction rationnelle à partir de son graphique

Quelle fonction est représentée sur la figure ci-dessous ?

Réponse

Nous commençons par noter que le graphique donné ressemble au graphique de . On peut obtenir ce graphique à partir du graphique de la fonction d’origine en appliquant quelques transformations de fonctions. Rappelons le graphique de la fonction d’origine .

En particulier, nous notons que ce graphique a une asymptote horizontale et une asymptote verticale . D’autre part, le graphique donné dans cet exemple a une asymptote horizontale et une asymptote verticale . Cela signifie qu’un décalage vers le bas de 3 unités est l’une des transformations de la fonction utilisée pour obtenir ce graphique à partir du graphique de la fonction d’origine.

Avant d’appliquer le décalage vertical, nous devrions examiner si d’autres transformations sont impliquées, car l’ordre des transformations peut affecter le résultat. Il y a trois types de transformations à prendre en compte : la translation, la dilatation et la symétrie. Nous avons déjà observé la translation, et il ne semble y avoir aucun signe d’étirement ou de compression à partir du graphique de la fonction d’origine. Par conséquent, nous pouvons exclure la dilatation.

Nous pouvons remarquer que le graphique donné semble être à l’envers par rapport au graphique de la fonction d’origine. Plus précisément, la valeur de tend vers l’infini positif lorsque tend vers zéro à partir du sens négatif et tend vers l’infini négatif lorsque tend vers zéro à partir du sens positif. C’est exactement le comportement opposé de la fonction d’origine. Cela implique qu’une symétrie soit une autre transformation utilisée pour obtenir notre graphique. En raison de la symétrie du graphique de la fonction d’origine, se transformant sur l’axe des , cela conduit au même résultat que la symétrie sur l’axe des . Nous dirons que ceci est une symétrie sur l’axe des .

Lorsque nous combinons des transformations, nous nous souvenons que les symétries et les dilatations doivent être effectuées avant les translations. Rappelons que la symétrie sur l’axe des est donnée par la transformation de fonction , ce qui signifie que nous multiplions la fonction par . Ainsi, le graphique transformé de notre fonction est donné par la transformation .

Ensuite, nous considérons la translation. Rappelons qu’un décalage vertical vers le bas de unités est donné par la transformation de fonction . Comme nous devons déplacer le graphique ci-dessus vers le bas de 3 unités, nous devons appliquer la transformation , ce qui conduit au graphique de .

Ceci conduit au graphique ci-dessous. Par conséquent, la figure donnée représente la fonction

Dans l’exemple précédent, nous avons obtenu l’expression d’une fonction rationnelle à partir du graphique donné en utilisant une translation et une symétrie. Nous avons noté, en particulier, que la symétrie sur l’axe des et sur l’axe des conduit au même résultat pour la fonction d’origine . Cela n’est pas vrai pour les fonctions générales, mais c’est vrai ici en raison de la symétrie de la fonction . Nous aborderons une propriété utile due à cette symétrie après l’exemple suivant.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons les paramètres manquants dans une fonction rationnelle à partir du graphique donné.

Exemple 4: Déterminer les paramètres des fonctions à partir de leurs courbes

Le graphique montre . Un seul point est indiqué sur le graphique. Quelles sont les valeurs des constantes , et ?

Réponse

En particulier, nous notons que ce graphique a une asymptote horizontale et une asymptote verticale . D’un autre côté, le graphique donné dans cet exemple a une asymptote horizontale et une asymptote verticale . Cela signifie qu’un décalage de 2 unités vers le bas et de 3 unités vers la droite est l’une des transformations utilisées pour obtenir ce graphique à partir du graphique de la fonction d’origine.

Avant d’appliquer le décalage vertical, nous devrions examiner si d’autres transformations sont impliquées, car l’ordre des transformations peut affecter le résultat. Il y a trois types de transformations à prendre en compte : la translation, la dilatation et la symétrie. Le graphique donné semble avoir la même orientation que la fonction d’origine ; par conséquent, nous pouvons exclure une symétrie.

La dilatation est une possibilité, mais elle est difficile à détecter visuellement. Étant donné que le point se situe sur ce graphique, nous pouvons utiliser cette information pour déterminer le rapport de dilatation à la fin.

Rappelons que lors de la combinaison de transformations, les dilatations et les symétries doivent précéder les translations. Il existe deux types de dilatation : la dilatation horizontale et la dilatation verticale. La dilatation horizontale d’un rapport correspond à la transformation de fonction , alors que la dilatation verticale d’un rapport est donnée par .

Commençant par une fonction d’origine , si on effectue une dilatation horizontale de rapport et une dilatation verticale de rapport , on peut obtenir

Comme nous ne connaissons pas le rapport, la fonction dilatée peut être représentée par pour une constante .

Ensuite, considérons les translations. Rappelons qu’un décalage vers le bas de unités est donné par la transformation de fonction , et qu’un décalage vers la droite de unités est donné par la transformation de fonction . Ainsi, en appliquant un décalage vers le bas de 2 unités puis un décalage vers la droite de 3 unités vers la fonction , cela conduit à

Par conséquent, le graphique donné représente la fonction pour une certaine valeur . Cela nous donne deux des paramètres et . Pour identifier le paramètre restant , on peut utiliser le fait que le graphique de cette fonction passe par le point , ce qui signifie que . Remplaçant dans la fonction

Par conséquent,

Par conséquent, nous avons obtenu , et .

Dans l’exemple précédent, nous avons identifié les valeurs de paramètre manquantes d’une fonction rationnelle représentant les translations et les dilatations de la fonction d’origine . Nous avons noté qu’une dilatation est difficile à déterminer visuellement ; par conséquent, nous avons utilisé un rapport inconnu que nous avons pu identifier à la fin en utilisant un point sur le graphique. En examinant cette démarche de plus près, on peut voir que le fait que la dilatation soit verticale ou horizontale n’affecte pas le résultat de la fonction d’origine . Ce n’est pas toujours le cas pour les fonctions générales, mais c’est le cas ici en raison de la symétrie de la fonction . En outre, nous avons observé précédemment que la symétrie de cette fonction conduit au même résultat pour les symétries sur l’axe des ou l’axe des .

Ainsi, en commençant par la fonction d’origine , on peut supposer que la dilatation est toujours faite dans la direction verticale, , et la symétrie est toujours sur l’axe des , . En d’autres termes, pour une constante non nulle , la transformation peut adresser toutes les symétries et dilatations dans les transformations de fonctions.

Cela ne laisse que des translations, qui peuvent être identifiées par des asymptotes verticales et horizontales dans le graphique comme illustré dans les exemples précédents. Comme la fonction d’origine a une asymptote verticale et une asymptote horizontale , une fonction réciproque translatée avec asymptote verticale et asymptote horizontale est obtenue en se déplaçant horizontalement de unités et se déplaçant verticalement de unités. Ces translations sont données par les transformations de fonction et respectivement. En appliquant ces transformations à la fonction réciproque transformée et dilatée , on obtient

Cette propriété est résumée comme suit.

Propriété : Transformation de fonction de la fonction réciproque

Une hyperbole avec asymptote verticale et asymptote horizontale est le graphique d’une fonction rationnelle

Cette propriété simplifie le travail nécessaire pour obtenir l’expression d’une fonction rationnelle à partir de la fonction d’origine .

Dans notre prochain exemple, nous identifierons l’étendue des valeurs pour un paramètre inconnu à partir du graphique donné d’une fonction rationnelle.

Exemple 5: Déterminer les paramètres des fonctions à partir de leurs courbes

Le graphique montre . On peut voir que l’intersection de ses asymptotes est en et que les points et sont respectivement au-dessous et au-dessus du graphique. Déterminer l’intervalle dans lequel se situe.

Réponse

On rappelle qu’une hyperbole avec asymptote verticale et asymptote horizontale est le graphique d’une fonction rationnelle

Comme le graphique donné est une hyperbole d’asymptote verticale et d’asymptote horizontale , on peut obtenir l’expression donnée de la fonction en substituant et .

Pour déterminer l’intervalle de valeurs de , nous devons utiliser les informations données sur les deux points et . Si l’un de ces points figurait sur le graphique, nous pourrions utiliser les coordonnées pour déterminer la valeur exacte de . Mais on nous dit seulement qu’elles sont au-dessus ou au-dessous du graphique.

Commençons par le premier point, . En , on sait que la coordonnée du point situé sur le graphique est donnée par . Puisque le point est au-dessous du graphique, cela signifie que la coordonnée de ce point, , est plus petite que la coordonnée du point sur le graphique, . En d’autres termes, . Nous avons

En substituant cette expression à l’inéquation et en la simplifiant, on obtient

On peut multiplier les deux membres de l’inéquation par , qui inversera la direction de l’inéquation : ce qui conduit à

Ensuite, considérons le point . Ce point se situe au-dessus du graphique, donc, en utilisant la même logique que précédemment, nous pouvons conclure que . Nous avons

Par conséquent,

En utilisant les deux conditions, les valeurs possibles de sont

Dans cette fiche explicative, nous avons discuté des fonctions rationnelles sous la forme

Après la simplification algébrique, cette fonction peut être mise sous la forme

Par exemple, considérons la fonction qui peut être simplifiée comme suit :

Voyons comment nous pouvons déterminer les asymptotes verticales et horizontales d’une fonction rationnelle sous cette forme.

On note que la fonction n’est pas définie en en raison du dénominateur , alors que le numérateur n’est pas égal à zéro en . Cela indique que le graphique de cette fonction a une asymptote verticale . On remarque que si est également un zéro du numérateur, alors le sommet et le bas de la fraction contiendraient un facteur de , ce qui s’annulerait. Dans ce cas, il n’y aurait pas d’asymptote verticale. Ainsi, lorsque nous trouvons la racine du dénominateur, il est important de vérifier si cette racine rend également le numérateur égal à zéro.

Déterminer l’asymptote horizontale nécessite un peu d’algèbre. Lorsque l’on divise le haut et le bas de la fraction par , on peut écrire

On voit l’expression dans le numérateur et le dénominateur de l’expression résultante. On sait que la valeur de la fonction tend vers zéro lorsque tend vers l’infini positif ou négatif. Ainsi, la valeur de cette fraction tendra vers

Cela nous indique que cette fonction rationnelle a une asymptote horizontale . On peut répéter cette démarche pour les fonctions rationnelles générales de la forme pour obtenir les résultats suivants.

Propriété : Asymptotes de la fonction réciproque

Pour le graphique d’une fonction rationnelle sous la forme avec ,

l’asymptote verticale du graphique de cette fonction est à la racine du dénominateur , qui est , tant que le numérateur ne partage pas la même racine,
l’asymptote horizontale du graphique de cette fonction est .

Alternativement, avec une fonction rationnelle sous la forme , on peut convertir ceci en la forme pour identifier les asymptotes comme discuté plus tôt. Montrons cette démarche en utilisant l’exemple précédent, . En commençant par cette forme, nous devons créer un facteur sur le numérateur. Nous pouvons le faire en réécrivant le numérateur comme

Cela conduit à

Sous cette forme, nous pouvons voir clairement que cette fonction rationnelle est obtenue à partir de la fonction d’origine en appliquant des transformations de fonctions et , qui décalent le graphique vers la droite de 2 unités et vers le haut de 3 unités, respectivement, ainsi que la symétrie et la dilatation représentées par la constante au numérateur. Cela implique que le graphique de cette fonction a une asymptote verticale et une asymptote horizontale , ce qui est conforme à nos conclusions précédentes.

Dans notre dernier exemple, nous identifierons la fonction rationnelle sous la forme à partir d’un graphique donné.

Exemple 6: Déterminer les fonctions rationnelles à partir de leurs courbes

Laquelle des équations suivantes est la fonction représentée graphiquement dont les asymptotes sont et ?

Réponse

Rappelons que pour le graphique d’une fonction rationnelle sous la forme avec ,

l’asymptote verticale du graphique de cette fonction est à la racine du dénominateur , qui est , tant que le numérateur ne partage pas la même racine,
l’asymptote horizontale du graphique de cette fonction est .

Considérons l’asymptote de la fonction rationnelle donnée dans chaque option en utilisant cette approche.

:
Dans cette fonction rationnelle, le dénominateur est . Le rendre égal à zéro conduit à la racine . Puisque le numérateur n’est pas égal à zéro pour cette valeur, cela conduit à l’asymptote verticale du graphique . Cela correspond à l’asymptote verticale donnée, alors vérifions l’asymptote horizontale.
Dans la fonction donnée, on voit que et . Ainsi, l’asymptote horizontale de cette fonction est
Cela conduit à l’asymptote horizontale . Cela ne correspond pas à l’asymptote horizontale donnée ; par conséquent, ce choix n’est pas la bonne réponse.
:
Dans cette fonction rationnelle, le dénominateur est . Le rendre égal à zéro conduit à la racine . Puisque le numérateur n’est pas égal à zéro pour cette valeur, cela conduit à l’asymptote verticale du graphique . Cela ne correspond pas à l’asymptote verticale donnée ; par conséquent, ce choix n’est pas la bonne réponse.
:
Dans cette fonction rationnelle, le dénominateur est . Le rendre égal à zéro conduit à la racine . Puisque le numérateur n’est pas égal à zéro pour cette valeur, cela conduit à l’asymptote verticale du graphique . Cela correspond à l’asymptote verticale donnée, alors vérifions l’asymptote horizontale.
Dans la fonction donnée, on voit que et . Ainsi, l’asymptote horizontale de cette fonction est
Cela conduit à l’asymptote horizontale . Cela correspond également à l’asymptote horizontale donnée ; par conséquent, ce choix est une réponse correcte possible. Voyons s’il y a d’autres réponses possibles parmi les choix restants.
:
Dans cette fonction rationnelle, le dénominateur est . Le rendre égal à zéro conduit à la racine . Puisque le numérateur n’est pas égal à zéro pour cette valeur, cela conduit à l’asymptote verticale du graphique . Cela ne correspond pas à l’asymptote verticale donnée ; par conséquent, ce choix n’est pas la bonne réponse.
:
Dans cette fonction rationnelle, le dénominateur est . Le rendre égal à zéro conduit à la racine . Puisque le numérateur n’est pas égal à zéro pour cette valeur, cela conduit à l’asymptote verticale du graphique . Cela ne correspond pas à l’asymptote verticale donnée ; par conséquent, ce choix n’est pas la bonne réponse.

Nous avons seulement un choix correct possible sur la base des asymptotes données. Nous remarquons ici que ce n’est pas la seule fonction rationnelle qui a les asymptotes données. Par exemple, la seule prise en compte des asymptotes ne tient pas compte des distinctions issues des dilatations ou des symétries du graphique. Pour identifier les dilatations ou les symétries sur le graphique, nous devrons utiliser un point spécifique sur le graphique. Par exemple, on peut voir que ce graphique passe par le point . Par conséquent, la fonction correcte doit vérifier . Vérifions cela avec notre seul choix, :

Ainsi, le graphique de cette fonction passe par le point . Cela confirme que c’est la fonction rationnelle correcte correspondant à ce graphique.

La fonction correcte est donnée par la réponse C.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Contrairement à la courbe d’un polynôme non constant, la courbe d’une fonction rationnelle peut avoir des asymptotes verticales et horizontales.
Le graphique de est une hyperbole d’asymptote horizontale et d’asymptote verticale .
Une hyperbole avec asymptote verticale et asymptote horizontale est le graphique d’une fonction rationnelle :
Pour le graphique d’une fonction rationnelle sous la forme avec ,
- l’asymptote verticale de la courbe de cette fonction est à la racine du dénominateur, , qui est , tant que le numérateur ne partage pas la même racine,
- l’asymptote horizontale du graphique de cette fonction est .