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Fiche explicative de la leçon : Représentations graphiques des fonctions rationnelles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions rationnelles dont le dénominateur est du premier degré, à déterminer le type de son asymptote, et à décrire son comportement à l'infini.

Les fonctions rationnelles sont les fonctions du type 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑, 𝑎;𝑏;𝑐, et 𝑑 sont des constantes.

Afin que 𝑓(𝑥) représente une fonction rationnelle on doit avoir 𝑐0. L’exemple le plus simple de fonction rationnelle est la fonction inverse, donnée par 𝑓(𝑥)=1𝑥, c’est-à-dire avec 𝑎=𝑑=0 et 𝑏=𝑐=1. La figure suivante représente la courbe d’équation 𝑦=1𝑥.

Géométriquement, il s’agit d’une hyperbole. On remarque les deux asymptotes:

  1. l’asymptote horizontale: la droite d’équation 𝑦=0 de laquelle la courbe se rapproche lorsque 𝑥 tend vers + et ;
  2. l’asymptote verticale: la droite d’équation 𝑥=0 qui représente la valeur 0, qui n’appartient pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓, et de laquelle la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) se rapproche lorsque 𝑥 tend vers 0, soit par valeur positive, soit par valeur négative.

Considérons la courbe d’équation

𝑦=35𝑥2(1)

qui est la même que la courbe d’équation

𝑦=3𝑥11𝑥2.(2)

Nous utiliserons ces deux équations pour déterminer à quoi ressemble la courbe représentative:

  1. le dénominateur est 𝑥2 dans les deux équations, donc la fonction n’est pas définie en 𝑥=2, ceci indique donc l’asymptote verticale;
  2. la forme de l’équation (1), nous montre que lorsque 𝑥 est très grande (positivement ou négativement), le terme 5𝑥2 est très petit et donc 𝑦3, ceci détermine l’asymptote horizontale comme étant la droite d’équation 𝑦=3.

La figure suivante représente la courbe de 𝑦=3𝑥11𝑥2 et ses deux asymptotes.

Remarquons que cette courbe est une hyperbole, qui ressemble beaucoup à 𝑦=1𝑥. Si l’on écrit l’équation (1) sous la forme 𝑦=3+5𝑥2 plutôt que 𝑦=35𝑥2, alors, cela ressemble beaucoup plus à l’équation 𝑦=5𝑥, ou mieux encore, à 𝑦=5𝑥. Ici, la multiplication par un nombre négatif implique que la courbe se situe dans le deuxième et quatrième quadrant du plan.

Une façon, peut-être la plus simple pour décider, est de se poser la question suivante: « Lorsque 𝑥 tend vers l’infini, est-ce que la courbe est au-dessus ou en-dessous de l’asymptote horizontale? » On peut y répondre par un petit calcul, en utilisant l’équation (2): 𝑦=3𝑥11𝑥2=𝑥)=31.(endivisantpar

De là, on remarque ce qui suit.

  1. Si la valeur de 𝑥 est très grande et positive (pensez de l’ordre de 𝑥=10000), alors 12𝑥1 et est positif, alors que, 311𝑥 est également positif et proche de 3. Par conséquent, 𝑦 tend vers 3 lorsque 𝑥 tend vers l’infini, et donc l’asymptote horizontale a pour équation 𝑦=3.
  2. Comment la valeur de 𝑦 au point 𝑥=10000 se compare-t-elle à 3? Est-elle supérieure ou inférieure à 3? Puisque 311𝑥<3, il s’ensuit que 31<313𝑥.pourdegrandesvaleurspositivesde
    La courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) se situe donc en-dessous de son asymptote.

En résumé, supposons que nous devions identifier la courbe 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑.

Mettre en relation la courbe représentative de la fonction rationnelle avec son expression algébrique 𝑎𝑥 + 𝑏 / 𝑐𝑥 + 𝑑 où 𝑥 ≠ 0

  1. En remarquant que 𝑐𝑥+𝑑=𝑐𝑥+𝑑𝑐, on voit que l’asymptote verticale est en 𝑥=𝑑𝑥.
  2. En remarquant que 𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑=𝑎+𝑐+, on voit que l’asymptote horizontale est 𝑦=𝑎𝑐.
  3. En considérant l’expression ci-dessus pour de grandes valeurs positives de 𝑥, on détermine si la courbe est au-dessus ou en dessous de l’asymptote 𝑦=𝑎𝑐 lorsque 𝑥 tend vers +.

Exemple 1: Identifier les représentations graphiques de fonctions rationnelles simples

Lequel des graphiques suivants correspond à la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=1𝑥+1?

Réponse

Puisque le dénominateur vaut 𝑥+1, l’asymptote verticale est la droite d’équation 𝑥=1. Par conséquent, le graphique (d) ne peut être la réponse. On détermine l’asymptote horizontale en divisant le numérateur et le dénominateur par 𝑥1𝑥+1=1+ qui tend vers 01=0 lorsque 𝑥 est grand. Étant donné que ces nombres sont également positifs lorsque la valeur de 𝑥 est grande et positive, la courbe doit se situer au-dessus de l’axe des 𝑥. Le graphique (c) est donc la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=1𝑥+1.

La seule option est (c).

Supposons maintenant que nous voulions plutôt aller dans l’autre sens. On nous donne une représentation graphique d’une fonction, et nous voulons déterminer quelle fonction rationnelle le graphique représente. En supposant que cette représentation graphique « provient » bien de la fonction 𝑓(𝑥)=1𝑥, nous avons deux façons d’identifier la fonction rationnelle associée:

  • en étudiant les transformations de la courbe représentative: translations, dilatations et symétries axiales;
  • en étudiant la forme algébrique 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 et en en déterminant les coefficients.

La deuxième méthode étant applicable dans un cadre plus général, c’est celle que nous emploierons.

  1. Remarquons que nous pouvons toujours écrire 𝑓(𝑥) sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑑 en divisant le numérateur et le dénominateur par 𝑐, qui n’est pas nul car la courbe est une hyperbole et non une droite. On suppose donc que 𝑐=1.
  2. On connait la valeur de 𝑑 parce que le dénominateur est nul lorsque 𝑥=𝑑 et donc c’est en ce point où se situe l’asymptote verticale.
  3. D’après l’expression de la fonction rationnelle ci-dessus, l’asymptote horizontale a pour équation 𝑦=𝑎 puisque, en divisant par 𝑥 au numérateur et au dénominateur, nous obtenons 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑑=𝑎+1+; de sorte que nous pouvons déterminer 𝑎 sur le graphique.
  4. Il nous reste une donnée supplémentaire à déterminer grâce à la représentation graphique: la valeur de 𝑏. Une façon de déterminer cette valeur est de choisir un point fixe (𝑝;𝑞) sur la courbe, que ce soit l’intersection avec un axe ou tout autre point clairement identifiable. C’est parce que à partir de l’équation 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑑 on obtient l’équation 𝑞=𝑎𝑝+𝑏𝑝+𝑑 qui est une équation dont la seule inconnue est 𝑏.Il suffit donc de résoudre cette équation en 𝑏 pour pouvoir conclure.

Exemple 2: Déterminer l’équation d’une fonction à partir de sa représentation graphique

Quelle est la fonction représentée sur la figure ci-dessous?

Réponse

L’asymptote verticale a pour équation 𝑥=0, donc la fonction rationnelle associée est de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥 avec 𝑑=0.

L’asymptote horizontale étant la droite d’équation 𝑦=3, on en déduit que 𝑎=3. À ce stade, la fonction rationnelle a pour expression 3𝑥+𝑏𝑥.

On voit que le point (1;4) appartient à la courbe, il suffit donc de résoudre en 𝑏 l’équation 4=3(1)+𝑏14=3+𝑏1=𝑏.donc

Finalement, la fonction rationnelle représentée graphiquement est donnée par 𝑓(𝑥)=3𝑥1𝑥𝑓(𝑥)=31𝑥.

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