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Vidéo de la leçon : Représentations Graphiques des Fonctions Rationnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des fonctions rationnelles dont les dénominateurs sont linéaires, déterminer les types de leurs asymptotes et décrire leurs comportements finaux.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des fonctions rationnelles dont les dénominateurs sont linéaires, déterminer les types de leurs asymptotes et décrire leurs comportements finaux.

Une fonction rationnelle est une fraction algébrique dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Par exemple, 𝑓 de 𝑥 égal à cinq 𝑥 plus sept sur deux 𝑥 moins un est une fonction rationnelle. Il est important de noter qu’une fonction polynôme normale, par exemple, 𝑔 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins cinq, est également une fonction rationnelle. On peut réécrire trois 𝑥 moins cinq comme trois 𝑥 moins cinq sur un, et un est un polynôme de degré zéro.

Cependant, les fonctions polynômes normales telles que 𝑔 de 𝑥 sont légèrement différentes des autres fonctions rationnelles. En effet, toute valeur de 𝑥 est valide dans le domaine de 𝑔, alors qu’une fonction rationnelle avec un polynôme de degré un sur son dénominateur, comme celle-ci, aura une valeur de 𝑥 pour laquelle le polynôme est égal à zéro. Et par conséquent, la fonction 𝑓 de 𝑥 est indéfinie. Dans ce cas, si deux 𝑥 moins un est égal à zéro, alors 𝑥 est égal à un demi. Par conséquent, la valeur un demi doit être exclue du domaine de 𝑓 car la fonction est indéfinie pour cette valeur.

La fonction rationnelle la plus simple avec un polynôme de degré non-nul sur son dénominateur est la fonction inverse 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. La courbe de la fonction 𝑦 égale un sur 𝑥 a la forme d’une hyperbole, qui ressemble à ceci. L’hyperbole est symétrique par rapport aux droites 𝑦 égale 𝑥 et 𝑦 égale moins 𝑥. Dans le premier quadrant, la courbe se rapproche de la droite 𝑦 est égal à zéro lorsque 𝑥 tend vers ∞ sans jamais la toucher. On appelle la droite 𝑦 est égal à zéro ou l’axe des 𝑥 une asymptote. La courbe se rapproche également de la droite 𝑦 égale zéro dans le troisième quadrant, cette fois de dessous lorsque 𝑥 tend vers moins ∞. De même, la courbe se rapproche de ∞ lorsque 𝑥 tend vers zéro du côté positif et moins ∞ lorsque 𝑥 tend vers zéro du côté négatif. La courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥 a donc une asymptote horizontale à 𝑦 égal à zéro et une asymptote verticale à 𝑥 égal à zéro.

On peut utiliser cette fonction plus élémentaire 𝑦 égale un sur 𝑥 et appliquer des transformations de fonctions pour obtenir les courbes de différentes fonctions rationnelles. Dans le premier exemple, nous allons identifier la représentation graphique d’une fonction rationnelle en utilisant une transformation de la courbe de 𝑦 égale un sur 𝑥.

Quel des graphiques ci-dessous représente 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 plus un ?

Commençons par rappeler la courbe de la fonction rationnelle la plus simple 𝑦 est égal à un sur 𝑥. Cette courbe a une asymptote horizontale à 𝑦 égale zéro et une asymptote verticale à 𝑥 égale zéro. On peut obtenir la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 plus un en appliquant une transformation sur 𝑦 égale un sur 𝑥. Pour transformer la fonction un sur 𝑥 en un sur 𝑥 plus un, on associe juste 𝑥 à 𝑥 plus un. Maintenant, rappelons qu’une transformation de fonction de 𝑥 en 𝑥 plus 𝑎 correspond à un décalage horizontal vers la gauche de 𝑎 unités. Par conséquent, la courbe de 𝑦 égale un sur 𝑥 plus un est la même que celle de 𝑦 égale un sur 𝑥 décalée vers la gauche d’une unité.

En regardant les choix de réponses, on peut voir que le graphique (c) est la courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥 décalé vers la gauche d’une unité. Son asymptote verticale 𝑥 égale zéro a été décalée vers la gauche à 𝑥 égale moins un. Et son asymptote horizontale à 𝑦 égale zéro est inchangée.

Maintenant, regardons un autre exemple dans lequel on a un graphique et on doit déterminer sa fonction.

Quelle fonction est représentée sur la figure ci-dessous ?

Pour commencer, notez que le graphique donné ressemble à la courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥. Nous pouvons obtenir cette courbe à partir de la courbe de la fonction initiale 𝑦 égale un sur 𝑥 en appliquant quelques transformations de fonction. La courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥 a une asymptote horizontale à 𝑦 égale zéro et une asymptote verticale à 𝑥 égale zéro. La courbe donnée a également une asymptote verticale à 𝑥 égale zéro, mais son asymptote horizontale est à 𝑦 égale moins trois. Cela signifie qu’un déplacement vers le bas de trois unités est l’une des transformations de fonction utilisées pour obtenir la courbe donnée à partir de la courbe de la fonction initiale. Avant d’appliquer ce décalage vertical, nous devons d’abord vérifier s’il y a d’autres transformations de fonctions, car l’ordre des transformations de fonctions est très important.

Il y a trois types de transformations à considérer : la translation, la dilatation et la réflexion. Nous avons déjà vu qu’il y a une translation de trois unités vers le bas. Lorsqu’on regarde ces deux points indiqués sur le graphique donné, si on translate ces deux points vers le haut de trois unités, alors on obtient les points moins un, un et un, moins un. Ces deux points ne sont clairement pas sur la courbe de la fonction initiale 𝑦 égale un sur 𝑥. Par conséquent, il doit y avoir au moins une autre transformation impliquée. Ils ressemblent aux points moins un, moins un et un, un. Les deux points sont à la même distance et ont les mêmes valeurs absolues pour leurs coordonnées 𝑥 et 𝑦. Par conséquent, il ne semble pas y avoir eu de dilatation, ce qui augmenterait ou diminuerait la distance entre les points.

La courbe donnée semble être à l’envers par rapport à la fonction initiale. Plus spécifiquement, la valeur de 𝑦 tend vers plus ∞ quand 𝑥 tend vers zéro à partir du sens négatif. Et elle se rapproche de moins ∞ quand 𝑥 tend vers zéro à partir du sens positif. C’est exactement le comportement inverse de la courbe de la fonction initiale, ce qui implique qu’il y a une réflexion impliquée. En raison de la symétrie de la courbe de la fonction initiale 𝑦 égal à un sur 𝑥, une réflexion sur l’axe des 𝑥 est pareille qu’une réflexion sur l’axe des 𝑦. Donc, par défaut, nous dirons que c’est une réflexion sur l’axe des 𝑥.

Lorsqu’on combine des transformations, les dilatations et réflexions doivent être effectuées avant les translations. Une réflexion sur l’axe des 𝑥 signifie qu’on a échangé le signe de la valeur 𝑦 de tous les points sur la courbe. Donc, 𝑓 de 𝑥 devient moins 𝑓 de 𝑥. Cela implique qu’on multiplie la fonction initiale par moins un. Donc, jusqu’ici, nous avons multiplié la fonction initiale un sur 𝑥 par moins un et avons obtenu moins un sur 𝑥. Créons un peu d’espace, et examinons la courbe que nous avons jusqu’ici : 𝑦 est égal à moins un sur 𝑥. La courbe a été réfléchie sur l’axe des 𝑥. Et le point moins un, moins un est devenu moins un, un, et le point un, un est devenu un, moins un. Voici les deux points que nous avons obtenus sur la courbe donnée en la décalant de trois unités.

Donc, maintenant, tout ce que nous devons faire c’est appliquer la translation de trois unités vers le bas. Une translation verticale de 𝑐 unités signifie ajouter 𝑐 aux valeurs 𝑦 de tous les points de la courbe. Donc, 𝑓 de 𝑥 devient 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Et le signe de 𝑐 indiquera la direction dans laquelle la courbe se déplace. Si 𝑐 est positif, elle se déplacera vers le haut, et si 𝑐 est négatif, elle se déplacera vers le bas. Par conséquent, pour translater cette courbe de trois unités vers le bas, on soustrait trois de 𝑓 de 𝑥. Ainsi, moins un sur 𝑥 devient moins un sur 𝑥 moins trois. Par conséquent, la courbe donnée représente la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins un sur 𝑥 moins trois. Et nous pouvons substituer les deux points initiaux moins un, moins deux et un, moins quatre pour montrer qu’ils satisfont cette équation.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer les paramètres manquants dans une fonction rationnelle à partir du graphique donné.

Le graphique représente 𝑦 est égal à 𝑘 sur 𝑥 moins 𝑎 plus 𝑏. Un seul point est marqué sur le graphique. Quelles sont les valeurs des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑘 ?

On remarque d’entrée que cette courbe ressemble à la courbe de 𝑦 est égal à un sur 𝑥. On peut obtenir la courbe donnée à partir de la courbe de la fonction initiale 𝑦 égale un sur 𝑥 en appliquant certaines transformations de fonction. La courbe de la fonction initiale 𝑦 est égal à un sur 𝑥 a une asymptote horizontale à 𝑦 égale zéro et une asymptote verticale à 𝑥 égale zéro. La courbe donnée a une asymptote horizontale à 𝑦 égale moins deux et une asymptote verticale à 𝑥 égale trois. Cela signifie qu’un décalage vers le bas de deux unités et un décalage vers la droite de trois unités est l’une des transformations de fonction utilisées pour obtenir cette courbe à partir de la courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥.

Avant d’appliquer cette translation, cependant, nous devons d’abord vérifier si d’autres transformations sont impliquées, puisque l’ordre des transformations est très important. Il y a trois types de transformations à considérer : la translation, la dilatation et la réflexion. La courbe donnée a la même orientation que la fonction initiale, on peut donc exclure une réflexion. La dilatation est une possibilité, mais c’est difficile de juger à l’œil. Étant donné qu’on a le point six, moins un sur la courbe, on peut utiliser ce point pour déterminer le facteur de dilatation, s’il y en a une. Retenez que lorsqu’on combine des transformations, les dilatations et réflexions doivent être effectuées avant les translations.

Rappelons qu’une dilatation horizontale par un facteur d’échelle de 𝑑 un signifie qu’on associe 𝑥 à 𝑥 sur 𝑑 un. En d’autres termes, les valeurs 𝑥 de tous les points de la courbe sont réduites d’un facteur 𝑑 un. Une dilatation verticale par un facteur d’échelle de 𝑑 deux signifie associer 𝑓 de 𝑥 à 𝑑 deux fois 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, on multiplie toutes les valeurs de 𝑦 sur la courbe par un facteur de 𝑑 deux. En commençant par la fonction initiale 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥, si on effectue une dilatation horizontale, on obtient un sur 𝑥 sur 𝑑 un.

Ensuite, si on effectue une dilatation verticale, on multiplie ce nouveau 𝑓 de 𝑥 par 𝑑 deux, ce qui donne 𝑑 deux sur 𝑥 sur 𝑑 un. On peut simplifier cela et avoir 𝑑 un 𝑑 deux sur 𝑥. 𝑑 un fois 𝑑 deux est une autre constante. On peut donc appeler cette constante 𝑘. Nous ne connaissons pas encore la valeur de 𝑘. Nous devons d’abord passer aux translations. Les positions des asymptotes ne sont pas affectées par les dilatations. Par conséquent, celles-ci n’auraient pu être déplacées que par la translation de deux unités vers le bas et de trois unités vers la droite. Une translation verticale de 𝑐 unités signifie associer 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Donc, on change toutes les valeurs 𝑦 des points sur la courbe de 𝑦 à 𝑦 plus 𝑐. Un 𝑐 positif signifie que la courbe se déplace vers le haut et négatif signifie qu’elle se déplace vers le bas.

Dans notre cas, nous devons d’abord effectuer la dilatation. Ainsi, la fonction initiale un sur 𝑥 devient 𝑘 sur 𝑥. Ensuite, pour translater cela de deux unités vers le bas, cela devient 𝑘 sur 𝑥 moins deux. Maintenant, rappelons que pour une translation horizontale de 𝑐 unités, on associe toutes les valeurs de 𝑥 à 𝑥 moins 𝑐. Encore une fois, la valeur de 𝑐 déterminera la direction, avec plus 𝑐 signifiant un décalage vers la droite et moins 𝑐 signifiant un décalage vers la gauche. Mais bien sûr, le signe sera inversé puisqu’on soustrait 𝑐 de 𝑥. Donc, à partir de 𝑘 sur 𝑥 moins deux, pour effectuer un décalage vers la droite de trois unités, on doit changer les valeurs de 𝑥 en 𝑥 moins trois. Donc, cela donne 𝑘 sur 𝑥 moins trois moins deux. Donc, ce graphique représente la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘 sur 𝑥 moins trois moins deux. Ainsi, nous avons trouvé deux des paramètres de la question. 𝑎 est égal à trois et 𝑏 est égal à moins deux.

Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver la valeur de 𝑘. Cette équation contient trois inconnus. On a 𝑓 de 𝑥, 𝑥 et 𝑘. On connait un point sur la courbe : six, moins un. Et cela correspond aux valeurs de 𝑓 de 𝑥 et de 𝑥, respectivement, que nous pouvons ensuite substituer dans l’équation et réorganiser pour trouver 𝑘. Donc, on a 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à six. Si on simplifier et réarrange on obtient 𝑘 est égal à trois. Donc, nous avons maintenant les valeurs des trois constantes. 𝑎 est égal à trois, 𝑏 est égal à moins deux et 𝑘 est égal à trois.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu à quel point la dilatation d’une courbe est difficile à évaluer à l’œil nu. Nous avons donc utilisé un facteur d’échelle inconnu, 𝑘, puis nous avons trouvé ce facteur d’échelle en utilisant un point sur la courbe. Plus précisément, si on commence avec la fonction inverse 𝑦 égale un sur 𝑥 et on effectue une dilatation horizontale par un facteur d’échelle 𝑑 un, on obtient un sur 𝑥 sur 𝑑 un. Et puis lorsqu’on effectue une dilatation verticale par un facteur d’échelle 𝑑 deux on obtient 𝑑 deux sur 𝑥 sur 𝑑 un, ce qui devient 𝑑 un 𝑑 deux sur 𝑥.

Étant donné qu’on multiplie 𝑑 un par 𝑑 deux à la fin, cette transformation ne fait aucune distinction entre les dilatations horizontales et verticales. Par exemple, si le facteur de dilatation horizontale 𝑑 un est égal à un et le facteur de dilatation verticale 𝑑 deux est égal à deux, alors on obtient deux sur 𝑥. Et si le facteur de dilatation horizontale est deux et le facteur de dilatation verticale est un, on obtient exactement le même résultat, deux sur 𝑥. Ceci est une démonstration claire de la symétrie de la fonction inverse, mais elle ne s’arrête pas là.

Si on considère la fonction après avoir effectué une dilatation horizontale et verticale et qu’on la réfléchit sur l’axe des 𝑥, on change le signe de 𝑓 de 𝑥. Donc, cela donne moins 𝑑 un 𝑑 deux sur 𝑥. Si on réfléchit la fonction sur l’axe des 𝑦, on change le signe de 𝑥, ce qui donne 𝑑 un 𝑑 deux sur moins 𝑥. Si on réarrange cela, on obtient exactement le même résultat que la réflexion sur l’axe des 𝑥. De plus, comme dans l’exemple précédent, ce numérateur est toujours une constante qu’on peut appeler 𝑘.

Ainsi, après une dilatation horizontale et une dilatation verticale et une réflexion sur un des axes, on obtient juste 𝑘 sur 𝑥. Ainsi, cette constante scalaire, 𝑘, tient compte de toutes les dilatations horizontales et verticales et de toutes les réflexions. Cela simplifie largement la transformation de la fonction puisqu’on peut prendre en compte toutes les dilatations et réflexions juste en multipliant par une constante 𝑘.

Maintenant, il ne reste que les translations. Nous pouvons effectuer une translation horizontale de 𝑎 unités en associant 𝑥 à 𝑥 moins 𝑎. Et on translate verticalement la courbe par 𝑏 unités en ajoutant 𝑏 aux valeurs 𝑦. Ainsi, une hyperbole avec une asymptote verticale 𝑥 égale 𝑎 et une asymptote horizontale 𝑦 égale 𝑏 est la courbe d’une fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘 sur 𝑥 moins 𝑎 plus 𝑏, pour une valeur de 𝑘 non-nulle.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser cela pour identifier l’intervalle de valeurs potentielles d’un paramètre inconnu sur la courbe d’une fonction rationnelle.

La figure représente 𝑦 est égal à 𝑘 sur 𝑥 moins trois moins deux. On peut voir que l’intersection de ses asymptotes est à trois, moins deux et que les points 0,5, moins 1,5 et 1,5, moins un sont respectivement au-dessous et au-dessus de la courbe. Déterminez l’intervalle dans lequel 𝑘 se situe.

Rappelons d’abord qu’une hyperbole avec une asymptote horizontale à 𝑥 égale 𝑎 et une asymptote verticale 𝑦 égale 𝑏 est la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘 sur 𝑥 moins 𝑎 plus 𝑏, pour 𝑘 pas égal à zéro. Dans ce cas, l’asymptote verticale est à 𝑥 égale trois. Donc, 𝑎 est égal à trois. Et l’asymptote horizontale est à 𝑦 égale moins deux. Donc, 𝑏 est égal à moins deux. Cela correspond à l’équation de la fonction donnée 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘 sur 𝑥 moins trois moins deux.

La valeur de 𝑘 ne peut être déterminée exactement à moins d’avoir l’un des points de la courbe, ce que nous n’avons pas. Au lieu de cela, nous avons un point au-dessus et un point au-dessous de la courbe, que nous pouvons utiliser pour déterminer un intervalle dans lequel 𝑘 doit se situer. Considérez le point au-dessus de la courbe : 1,5, moins un. Étant donné que ce point est au-dessus de la courbe, sa valeur 𝑦 est supérieure à 𝑓 de 𝑥 en ce point. En d’autres termes, 𝑓 de 1,5 est inférieure à la valeur 𝑦 du point, moins un. Par conséquent, 𝑘 sur 1,5 moins trois moins deux est inférieur à moins un. Si on met deux de l’autre côté et on simplifie, on obtient moins 𝑘 sur 1,5 est inférieur à un. Et si on réarrange pour déterminer 𝑘, on a 𝑘 est supérieur à moins 1,5. Nous avons maintenant une limite inférieure pour 𝑘 de moins 1,5.

Maintenant, considérons l’autre point au-dessous de la courbe : 0,5, moins 1,5. Puisque ce point est au-dessous de la courbe, sa valeur 𝑦 est inférieure à la valeur 𝑦 de 𝑓 de 𝑥 en ce point. En d’autres termes, 𝑓 de 0,5 est supérieur à moins 1,5, ce qui signifie que 𝑘 sur 0,5 moins trois moins deux est supérieur à moins 1,5. Si on déplace deux vers le côté droit et on simplifie, on obtient moins 𝑘 sur 2,5 est supérieur à 0,5. Lorsqu’on résout pour déterminer 𝑘 on obtient la limite supérieure de 𝑘. 𝑘 est inférieur à moins 1,25. Cela nous donne notre réponse finale, l’intervalle pour 𝑘. 𝑘 est supérieur à moins 1,5 et inférieur à moins 1,25.

Terminons maintenant cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Contrairement à la courbe d’un polynôme non-constant, la courbe d’une fonction rationnelle peut avoir des asymptotes verticales et horizontales, c’est-à-dire des droites que la courbe peut approcher mais ne jamais toucher. La courbe de 𝑦 égal à un sur 𝑥 est une hyperbole avec une asymptote horizontale 𝑦 égale zéro et une asymptote verticale 𝑥 égale zéro. Et enfin, une hyperbole avec une asymptote verticale 𝑥 égale 𝑎 et une asymptote horizontale 𝑦 égale 𝑏 est la courbe transformée de la fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑘 sur 𝑥 moins 𝑎 plus 𝑏, pour une valeur de 𝑘 non-nulle.

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