نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ واحد يساوي نصفًا ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، وﻉ اثنان يساوي اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين ﺕ، فأوجد ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين، في صورة أسية.
سنبدأ بالتعبير عن ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين على صورة نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، الكل على اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين ﺕ. ثم نتذكر أنه لإيجاد خارج قسمة عددين مركبين على الصورة الديكارتية، نضرب كلًا من البسط والمقام في مرافق المقام. يمكن إيجاد مرافق العدد المركب بتغيير الإشارة بين الحدين. في حالة ﺃ زائد ﺏﺕ، يكون المرافق ﺃ ناقص ﺏﺕ.
هذا يعني أن مرافق اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين ﺕ هو اثنان جذر ثلاثة ناقص اثنين ﺕ. إذن، نضرب كلًا من البسط والمقام في اثنين جذر ثلاثة ناقص اثنين ﺕ. دعونا نفعل ذلك على جزأين. سنفك هذين القوسين كالمعتاد. نبدأ بضرب الحد الأول من كل قوس. نصف مضروبًا في اثنين جذر ثلاثة يساوي ببساطة جذر ثلاثة. ثم نضرب الطرفين. نصف مضروبًا في سالب اثنين ﺕ يساوي ببساطة سالب ﺕ. بعد ذلك، نضرب الوسطين، سالب جذر ثلاثة على اثنين ﺕ مضروبًا في اثنين جذر ثلاثة يساوي جذر ثلاثة تربيع ﺕ. وبالطبع، جذر ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. إذن هذا يصبح سالب ثلاثة ﺕ. ثم نضرب الحدين الأخيرين. سالب جذر ثلاثة على اثنين ﺕ مضروبًا في سالب اثنين ﺕ يساوي موجب جذر ثلاثة ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ هو الجذر التربيعي لسالب واحد، فإن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ويصبح هذا سالب جذر ثلاثة.
إذن، يمكننا فك القوسين إلى جذر ثلاثة ناقص ﺕ ناقص ثلاثة ﺕ ناقص جذر ثلاثة. جذر ثلاثة ناقص جذر ثلاثة يساوي صفرًا. ويتبقى لدينا سالب أربعة ﺕ. سنكرر الآن هذه العملية لكي نضرب اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين ﺕ في اثنين جذر ثلاثة ناقص اثنين ﺕ. بضرب الحدين الأولين، نحصل على أربعة جذر ثلاثة تربيع، وبما أن جذر ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة، يصبح هذا أربعة مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٢. اثنان جذر ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين ﺕ يساوي سالب أربعة جذر ثلاثة ﺕ. اثنان ﺕ مضروبًا في اثنين جذر ثلاثة يساوي أربعة جذر ثلاثة ﺕ. وبالطبع، اثنان ﺕ مضروبًا في سالب اثنين ﺕ يساوي سالب أربعة ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، يصبح هذا زائد أربعة. سالب أربعة جذر ثلاثة ﺕ وموجب أربعة جذر ثلاثة ﺕ يلغي كل منهما الآخر ويتبقى لدينا ١٦.
إذن، خارج قسمة ﻉ واحد وﻉ اثنين يساوي سالب أربعة ﺕ على ١٦، ويمكن تبسيطه أكثر من ذلك إلى سالب ﺕ على أربعة. لدينا الآن ﻉ واحد مقسومًا على ﻉ اثنين على الصورة الديكارتية، هيا نوجد طريقة لكتابة ذلك على الصورة الأسية. نكتب العدد المركب على صورة ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب أو يسمى أحيانًا مقداره. ونحصل عليه بإيجاد الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. و𝜃 هي الدالة العكسية للظل لـ ﺏ على ﺃ، ويجب أن تكون بالراديان.
إذا قارنا العدد المركب لدينا بالصورة العامة، نجد أن ﺃ يساوي صفرًا. وﺏ هو معامل ﺕ، وفي هذه الحالة يساوي سالب ربع. إذن، المقياس ﻝ يساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد سالب ربع تربيع، وهو ما يساوي ربعًا. وإذا عوضنا بعد ذلك بالقيم المعلومة لدينا عن العدد المركب في صيغة 𝜃، فسنحصل على الدالة العكسية لـ ظا لسالب ربع على صفر. والآن، نجد أن سالب ربع مقسومًا على صفر غير معرف. علينا هنا تذكر النتيجة العامة بأن ظا 𝜋 على اثنين أو ظا سالب 𝜋 على اثنين غير معرف. فأيهما نختار؟
حسنًا، لنقرر ذلك، نتذكر مخطط أرجاند. يمكننا رؤية أن المحور الأفقي يمثل المركبة الحقيقية للعدد المركب، والمحور الرأسي يمثل المركبة التخيلية له. فالعدد المركب هو صفر زائد سالب ربع ﺕ. إنه يقع هنا. إذن، بما أننا نقيس بدءًا من المحور الأفقي عكس اتجاه حركة عقارب الساعة، يمكننا القول إن قياس هذه الزاوية يساوي سالب 𝜋 على اثنين. أو بدلًا من ذلك، يمكننا القول إنه يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين. فسالب 𝜋 على اثنين هو السعة الأساسية. وهنا، سنختار ثلاثة 𝜋 على اثنين.
إذن، يمكننا القول إن العدد المركب ﻉ واحد على ﻉ اثنين على الصورة الأسية يساوي ربع ﻫ أس ثلاثة 𝜋 على اثنين ﺕ.
