تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الصورة الأُسِّية للعدد المركَّب الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحوِّل عددًا مركبًا من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية (صيغة أويلر)، والعكس.

الصورة الأُسِّية لعدد مركب

يمكن كتابة عدد مركب 𞸏 على الصورة: 𞸏=𞸋𞸤،𞸕𝜃 حيث 𞸋 هو المقياس، و𝜃 هي السعة المعبَّر عنها بالراديان.

إذا قارنَّا الصورة الأُسِّية بالصورة القطبية، نجد أن: 𞸋𞸤=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)𞸕𝜃 بحذف 𞸋، نصل إلى: 𞸤=𝜃+𞸕𝜃.𞸕𝜃

استَنتَج عالِم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر هذه الصيغة، وتُسمَّى صيغة أويلر، أو علاقة أويلر. بعِدَّة طُرق، تُعَدُّ صيغة بارزة تربط بين الدالة الأُسِّية 𞸤، والجيب، وجيب التمام، و𝜋، والوحدة التخيُّلية 𞸕. يُمكننا تصوير صيغة أويلر على شكل أرجاند عن طريق رسم دائرة وحدة مركزها عند نقطة الأصل.

طريقة أخرى لتصويرها عن طريق رسم ثلاثي الأبعاد؛ حيث قيمة 𝜃 تكون على أحد المحاور والمستوى العمودي على محور 𝜃 هو المحور المركب.

هذا التصوير الثلاثي الأبعاد يرتبط مباشرة بالمفهوم الكهروديناميكي للاستقطاب الدائري للموجات.

بالرجوع إلى صيغة أويلر، إذا جعلنا 𝜃=𝜋، نحصل على: 𞸤=١.𞸕𝜋

بإضافة واحد إلى كلٍّ من الطرفين، نحصل على متطابقة أويلر الشهيرة: 𞸤+١=٠.𞸕𝜋

يَعتبِر الكثير هذه المعادلة مثالًا على جمال الرياضيات؛ لأنه باستخدام ثلاث من أكثر العمليات الأساسية في الرياضيات (أي الجمع، والضرب، والأُسُس) مرة واحدة، ترتبط الثوابت الأساسية الخمسة للرياضيات: ٠، ١، 𞸤، 𝜋، 𞸕.

سنبدأ بالتفكير في طريقة للحصول على علاقة أويلر باستخدام متسلسلات القُوى. نبدأ بمفكوك متسلسلة ماكلورين لـ 𞸤𞸎: 𞸤=١+𞸎+𞸎٢+𞸎٣+𞸎٤+𞸎٥+𞸎!٦+𞸎٧+.𞸎٢٣٤٥٦٧

بالتعويض بالقيمة 𞸎=𞸕𝜃 في هذه المعادلة نحصل على: 𞸤=١+𞸕𝜃+𞸕𝜃٢+𞸕𝜃٣+𞸕𝜃٤+𞸕𝜃٥+𞸕𝜃٦+𞸕𝜃٧+.𞸕𝜃٢٢٣٣٤٤٥٥٦٦٧٧

تذكَّر أن القُوى الصحيحة لـ 𞸕 تُكوِّن دورة لكل عدد صحيح 𞸍، كالآتي: 𞸕=١،𞸕=𞸕،𞸕=١،𞸕=𞸕.٤𞸍٤𞸍+١٤𞸍+٢٤𞸍+٣

من ثَمَّ، لدينا: 𞸤=١+𞸕𝜃𝜃٢𞸕𝜃٣+𝜃٤+𞸕𝜃٥𝜃٦𞸕𝜃٧+.𞸕𝜃٢٣٤٥٦٧

بتجميع الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية على حِدة، يكون لدينا: 𞸤=󰃭١𝜃٢+𝜃٤𝜃٦+󰃬+𞸕󰃭𝜃𝜃٣+𝜃٥𝜃٧+󰃬.𞸕𝜃٢٤٦٣٥٧

متسلسلات ماكلورين للجيب وجيب التمام هي: 𝜃=𝜃𝜃٣+𝜃٥𝜃٧+،𝜃=١𝜃٢+𝜃٤𝜃٦+.٣٥٧٢٤٦

من ثَمَّ، يمكن أن نرى: 𞸤=𝜃+𞸕𝜃.𞸕𝜃

لتحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية، نستخدم أسلوبًا مشابهًا جدًّا للأسلوب المُستخدَم للتحويل بين الصيغتين الجبرية والمثلثية. في المربع الآتي ملخَّص لكيفية فعل هذا.

كيفية تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية

لتحويل عدد مركب في الصورة الجبرية، 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، إلى الصورة الأُسِّية:

  1. أوجد المقياس، |𞸏|، للعدد المركب.
  2. أوجد السعة، 𞸏، للعدد المركب.
  3. اكتب العدد في الصورة الأُسِّية: 𞸏=𞸋𞸤،𞸕𝜃 حيث 𞸋=|𞸏|، 𝜃=𞸏.

مثال ١: تحويل الأعداد المركبة من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية

ضع العدد 𞸏=٥󰋴٢٢٥󰋴٦٢𞸕 في الصورة الأُسِّية.

الحل

نبدأ بإيجاد مقياس 𞸏. بالتعويض بالجزأين الحقيقي والتخيُّلي في الصيغة، يصبح لدينا: |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭٥󰋴٢٢󰃬+󰃭٥󰋴٦٢󰃬.٢٢٢٢

بالتبسيط، نحصل على: |𞸏|=󰋺٥٢٢+٥٧٢=󰋴٠٥=٥󰋴٢.

الآن، نُوجد سعة 𞸏. لاحظ أنه بما أن الجزء الحقيقي موجب والجزء التخيُّلي سالب، فإن 𞸏 تقع في الربع الرابع؛ لذلك، يُمكننا إيجاد السعة عن طريق إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل كالآتي: (𞸏)=󰂔𞸁󰏡󰂓=١١٥󰋴٦٢٥󰋴٢٢

تبسيط هذا الكسر يُعطينا: (𞸏)=󰃭󰋴٦󰋴٢󰃬=󰂔󰋴٣󰂓=𝜋٣.١١

من ثَمَّ، يُمكننا كتابة 𞸏 في الصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏=٥󰋴٢𞸤.𞸕𝜋٣

إذا كانت السعة تساوي ٢𝜋 دوريًّا، يُمكننا إضافة ٢𝜋 بالتساوي إلى السعة، وكتابة 𞸏 في الصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏=٥󰋴٢𞸤.𞸕٥𝜋٣

للتحويل من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية، سنُعيد كتابة العدد في الصورة القطبية، بعد ذلك، يُمكننا التحويل من هذه الصورة إلى الصورة الجبرية. في المثال الآتي، سنُوضِّح هذه العملية.

التحويل من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية

لتحويل عدد مركب 𞸏=𞸋𞸤𞸕𝜃 إلى الصورة الجبرية، نحوِّله أولًا إلى الصورة القطبية: 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃).

بفكِّ القوس وإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام، نصل إلى عدد مركب في الصورة الجبرية:

باستخدام خواص المقياس والسعة، يُمكننا استنتاج قواعد الضرب والقسمة للأعداد المركبة في الصورة القطبية. تذكَّر أنه لكلِّ عددين مركبين، 𞸏=𞸋𞸤١١𞸕𝜃١، 𞸏=𞸋𞸤٢٢𞸕𝜃٢، يمكن كتابة حاصل ضربهما بالصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏𞸏=𞸋𞸤١٢𞸕𝜃؛ حيث 𞸋 هو المقياس و𝜃 هي السعة. باستخدام خصائص المقياس والسعة للضرب: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒+󰁓𞸏󰁒،١٢١٢١٢١٢ يُمكننا رؤية أن 𞸋=𞸋𞸋١٢، 𝜃=𝜃+𝜃١٢. من ثَمَّ، فإن: 󰁓𞸋𞸤󰁒󰁓𞸋𞸤󰁒=𞸋𞸋𞸤.١𞸕𝜃٢𞸕𝜃١٢𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒١٢١٢

أيضًا، باستخدام خصائص المقياس والسعة للقسمة: 󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰃁𞸏𞸏󰃀=󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒،١٢١٢١٢١٢ يُمكننا ملاحظة أن: 𞸋𞸤𞸋𞸤=𞸋𞸋𞸤.١𞸕𝜃٢𞸕𝜃١٢𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒١٢١٢

لاحظ أنه إذا كتبنا السعة في صورة أُسِّية، يُمكننا كتابة: 𞸋𞸤=𞸤𞸤=𞸤.𞸕𝜃(𞸋)𞸕𝜃𞸋+𞸕𝜃𞸤𞸤

بالرغم من أن الاستنتاجات السابقة يُمكن أن تعطي انطباعًا بأن جميع قواعد الأُسُس تنطبق على الأعداد المركبة عمومًا، لكن هذا، للأسف، غير صحيح. على سبيل المثال، انظر إلى القاعدة: 󰏡𞸁=(󰏡𞸁)𞸎𞸎𞸎، التي تنطبق على 󰏡،𞸁>٠. إذا افترضنا أن 󰏡، 𞸁 سالبان، فعندئذٍ، لن يُمكننا عامة تطبيق هذه القاعدة بعد الآن، على سبيل المثال: ١=𞸕=(١)(١)󰁓(١)(١)󰁒=١=١.٢+١١٢١٢١٢١٢

هذا يوضِّح تمامًا أننا يجب أن نكون حَذِرين عند التعامل مع الأُسُس و الأساسات المركبة.

سننظر الآن إلى بعض الأمثلة التي نستخدم فيها خصائص الضرب والقسمة.

مثال ٢: ضرب الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية

إذا كان 𞸏=٥𞸤١𝜋𞸕٢، 𞸏=٦𞸤٢𝜋𞸕٣، فاكتب 𞸏𞸏١٢ على الصورة: 󰏡+𞸁𞸕.

الحل

باستخدام خصائص الضرب للصورة الأُسِّية لعدد مركب: 󰁓𞸋𞸤󰁒󰁓𞸋𞸤󰁒=𞸋𞸋𞸤،١𞸕𝜃٢𞸕𝜃١٢𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒١٢١٢، يُمكننا كتابة: 𞸏𞸏=󰂔٥𞸤󰂓󰂔٦𞸤󰂓=٥×٦𞸤=٠٣𞸤.١٢+𝜋𞸕٢𝜋𞸕٣𝜋𞸕٢𝜋𞸕٣𝜋𞸕٦

لتحويل هذا إلى الصورة الجبرية، نحتاج أولًا كتابته في الصورة القطبية كالآتي: 𞸏𞸏=٠٣󰂔󰂔𝜋٦󰂓+𞸕󰂔𝜋٦󰂓󰂓.١٢

بفكِّ الأقواس وإيجاد قيمتي الجيب وجيب التمام، يصبح لدينا: 𞸏𞸏=٥١󰋴٣٥١𞸕.١٢

مثال ٣: قسمة الأعداد المركبة

إذا كان 𞸏=𞸕󰋴٢١𞸕، فأوجد 𞸏 في الصورة الأُسِّية.

الحل

عندما نتعرَّض لسؤال كهذا، يكون أمامنا أحد الخيارين: يمكننا تحويل كل عدد إلى الصورة الأُسِّية، ثم نستخدم خصائصها لإجراء القسمة، أو يمكننا إجراء القسمة بالأعداد المركبة في صورتها الحالية، ثم نحوِّل الناتج. بما أنه يتعيَّن علينا إيجاد قيمة خارج القسمة، عادة يكون من الأسهل القيام بذلك باستخدام الأعداد المركبة في الصورة القطبية. من ثَمَّ، سنبدأ بتحويل كل عدد إلى الصورة الأُسِّية. أولًا، البسط هو 𞸕󰋴٢. هذا عدد تخيُّلي بحت؛ لذلك، ستكون سعته 𝜋٢. أيضًا، سيكون مقياسه 󰋴٢؛ لذلك، يُمكننا التعبير عنه في الصورة الأُسِّية كالآتي: 󰋴٢𞸤𝜋𞸕٢. بالنسبة إلى المقام، مقياسه هو 󰋴١+(١)=󰋴٢٢٢، وبما أنه يقع في الربع الرابع، فيمكن حساب سعته عن طريق إيجاد قيمة ١󰂔١١󰂓=𝜋٤. من ثَمَّ، يُمكننا التعبير عن هذا في الصورة الأُسِّية كالآتي 󰋴٢𞸤𝜋𞸕٤. وعليه، فإن: 𞸏=𞸕󰋴٢١𞸕=󰋴٢𞸤󰋴٢𞸤.𝜋𞸕٢𝜋𞸕٤

باستخدام خصائص القسمة للأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية: 𞸋𞸤𞸋𞸤=𞸋𞸋𞸤،١𞸕𝜃٢𞸕𝜃١٢𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒١٢١٢ يُمكننا إعادة كتابة ذلك كالآتي: 𞸏=󰋴٢󰋴٢𞸤=𞸤.𝜋𞸕٢𝜋𞸕٤٣𝜋𞸕٤󰂔󰂓

مثال ٤: تحويل الأعداد المركبة من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية

إذا كان 𞸏=𞸤٢𞸕٥𝜋٤، فأوجد صورة 𞸏 الجبرية.

الحل

نبدأ بفصل الجزأين الحقيقي والتخيُّلي للأُسِّ كالآتي: 𞸏=𞸤=𞸤𞸤.٢𞸕٢𞸕٥𝜋٤٥𝜋٤

يُمكننا الآن تحويل هذا إلى الصورة القطبية كالآتي: 𞸏=𞸤󰂔󰂔٥𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٤𞸕󰂓󰂓٢

بفكِّ الأقواس وإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام نحصل على الصورة الجبرية لـ 𞸏 كالآتي: 𞸏=󰋴٢٢𞸤+󰋴٢٢𞸤𞸕.٢٢

يُمكننا أيضًا استخدام صيغة أويلر للتعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الدالة الأُسِّية، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٥: العلاقة بين الجيب، وجيب التمام، والدالة الأُسِّية

استخدم صيغة أويلر 𞸤=𝜃+𞸕𝜃𞸕𝜃 للتعبير عن 𝜃، 𝜃 بدلالة كلٍّ من 𞸤𞸕𝜃، 𞸤𞸕𝜃.

الحل

نبدأ باستخدام صيغة أويلر للتعبير عن 𞸤𞸕𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام: 𞸤=𞸤=(𝜃)+𞸕(𝜃).𞸕𝜃𞸕(𝜃)

باستخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية للجيب وجيب التمام: (𝜃)=(𝜃)،(𝜃)=(𝜃)، يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي:

𞸤=𝜃𞸕𝜃.𞸕𝜃()

بإضافة هذا إلى صيغة أويلر، يصبح لدينا: 𞸤+𞸤=𝜃+𞸕𝜃+𝜃𞸕𝜃=٢𝜃.𞸕𝜃𞸕𝜃

بالقسمة على ٢، نحصل على: 𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒.𞸕𝜃𞸕𝜃

وبالمثل، يمكننا استنتاج صيغة بدلالة الجيب عن طريق إيجاد قيمة الفرق بين المعادلة (١) وصيغة أويلر كالآتي: 𞸤𞸤=𝜃+𞸕𝜃(𝜃𞸕𝜃)=٢𞸕𝜃.𞸕𝜃𞸕𝜃

بالقسمة على ٢𞸕، نصل إلى: 𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒.𞸕𝜃𝑖𝜃

الآن سننظر إلى عددٍ من الأمثلة؛ حيث يُمكننا استخدام خصائص الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية لحلِّ المسائل.

مثال ٦: حلُّ المعادلات التي تتضمن الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية

إذا كان 󰏡𞸤+𞸁𞸤=(٢𝜃)٥𞸕(٢𝜃)٢𞸕𝜃٢𞸕𝜃؛ حيث 󰏡𞹇، 𞸁𞹇، فأوجد 󰏡، 𞸁.

الحل

لحلِّ مسألة كهذه، نريد جعل الطرفين الأيسر والأيمن بالصورة نفسها. حاليًّا، لدينا أعداد مركبة في الصورة الأُسِّية على اليمين، وعدد مركب في الصورة الجبرية تتضمن الجيب وجيب التمام على اليسار. لذلك، يجب تحويل العدد المركب من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية. نبدأ بالتعبير عنه في الصورة القطبية: 󰏡𞸤+𞸁𞸤=󰏡(٢𝜃+𞸕٢𝜃)+𞸁󰁓(٢𝜃)+𞸕(٢𝜃)󰁒٢𞸕𝜃٢𞸕𝜃

باستخدام متطابقات الدوال المثلثية الزوجية والدوال الفردية: (𝜃)=(𝜃)،(𝜃)=(𝜃)، يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي: 󰏡𞸤+𞸁𞸤=󰏡(٢𝜃+𞸕٢𝜃)+𞸁(٢𝜃𞸕٢𝜃).٢𞸕𝜃٢𞸕𝜃

بفكِّ الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة، يُمكننا التعبير عن هذا كالآتي: 󰏡𞸤+𞸁𞸤=(󰏡+𞸁)٢𝜃+(󰏡𞸁)𞸕٢𝜃.٢𞸕𝜃٢𞸕𝜃

يُمكننا الآن مساواة هذا بالطرف الأيسر للحصول على: (󰏡+𞸁)٢𝜃+(󰏡𞸁)𞸕٢𝜃=(٢𝜃)٥𞸕(٢𝜃).

بما أننا نعلم أن 󰏡،𞸁𞹇، فيُمكننا مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية للحصول على المعادلتين الآنيتين: 󰏡+𞸁=١،󰏡𞸁=٥.

بجمع هاتين المعادلتين، نحصل على ٢󰏡=٤. وعليه، فإن 󰏡=٢. بالتعويض بهذه القيمة مرة أخرى في إحدى المعادلتين، نحصل على 𞸁=٣.

مثال ٧: خصائص الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية

إذا كان 𞸏=٣󰋴٣٣𞸕١، اءاد󰃁𞸏𞸏󰃀=٠١٢٢، 󰍾𞸏𞸏󰍾=٣󰍸𞸏󰍸١٢٢١، فأوجد جميع قِيَم 𞸏٢ الممكنة، وعبِّر عنها بالصورة الأُسِّية.

الحل

نبدأ باعتبار ما تخبرنا به كل معادلة عن قيمة 𞸏٢. أولًا، انظر إلى المعادلة: 󰍾𞸏𞸏󰍾=٣󰍸𞸏󰍸.١٢٢١

باستخدام خصائص المقياس، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن كالآتي: 󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸.١٢٢١٢٢١٢٢

بجعل هذا يساوي الطرف الأيسر، يصبح لدينا: 󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸=٣󰍸𞸏󰍸.١٢٢١

بقسمة كلا الطرفين على 󰍸𞸏󰍸١، والضرب في 󰍸𞸏󰍸٢، نحصل على: ١=٣󰍸𞸏󰍸.٢٢

من ثِمَّ، فإن: 󰍸𞸏󰍸=١󰋴٣.٢

الآن، سننظر إلى المعادلة: اءاد󰃁𞸏𞸏󰃀=٠.١٢٢

ماذا تخبرنا؟ تخبرنا أن 𞸏𞸏١٢٢ عدد حقيقي؛ ومن ثَمَّ، فإن سعته، التي سنشير إليها بـ 𝜑، هي ٠ (لعدد حقيقي موجب)، أو 𝜋 (لعدد حقيقي سالب)؛ لذلك، يُمكننا كتابة: 𝜑=󰃁𞸏𞸏󰃀.١٢٢

باستخدام خصائص السعة، يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي: 𝜑=󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒٢󰁓𞸏󰁒.١٢٢١٢

بإعادة الترتيب، نحصل على تعبير لسعة 𞸏٢: 󰁓𞸏󰁒=١٢(𝜑󰁓𞸏󰁒).٢١

الآن نُوجد سعة 𞸏١. بما أن 𞸏١ له جزآن حقيقي وتخيُّلي سالبان، فإنه يقع في الربع الثالث. لذلك، فإن سعته: 󰁓𞸏󰁒=󰃭٣٣󰋴٣󰃬𝜋=󰃭١󰋴٣󰃬𝜋=𝜋٦𝜋=٥𝜋٦.١١١

من ثَمَّ، يُمكننا كتابة: 󰁓𞸏󰁒=١٢󰂔𝜑٥𝜋٦󰂓.٢

الآن، ننظر إلى الحالتين: 𝜑=٠، 𝜑=𝜋. عند 𝜑=٠، يكون لدينا: 󰁓𞸏󰁒=١٢󰂔٥𝜋٦󰂓=٥𝜋٢١.٢

لذلك، يُمكننا التعبير عن 𞸏٢ بالصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏=١󰋴٣𞸤.٢𞸕٥𝜋٢١

عند 𝜑=𝜋، يكون لدينا: 󰁓𞸏󰁒=١٢󰂔𝜋٥𝜋٦󰂓=𝜋٢١.٢

لذلك، يُمكننا التعبير عن 𞸏٢ في الصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏=١󰋴٣𞸤.٢𞸕𝜋٢١

من ثَمَّ، فإن قيمتَيْ 𞸏٢ الممكنتين هما: 𞸏=١󰋴٣𞸤١󰋴٣𞸤.٢𞸕𞸕٥𝜋٢١𝜋٢١،أو

مثال ٨: استخدام الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية

أوجد القيمة العددية لـ 𞸤+𞸤١١𝜋٦١١𝜋٦𞸕𞸕.

الحل

يمكننا حلُّ هذه المسألة عن طريق تحويل كلِّ عدد إلى الصورة الجبرية وإيجاد قيمة كل شيء بطريقة مطولة. مع ذلك، يُمكننا الاستغناء عن بعض العمليات الحسابية من خلال إمكانية التعرُّف على زوج مرافق لعدد مركب عند تقديمه بالصورة الأُسِّية. تذكَّر أنه، بالنسبة إلى أي عدد مركب 𞸏: (𞸏)=󰂔𞸏󰂓.

لذلك، فإن 󰁓𞸋𞸤󰁒=𞸋𞸤𞸕𝜃𞸕𝜃. من ثَمَّ، لدينا مجموع عدد مركب ومرافقه. الآن إذا تذكَّرنا خصائص مرافقات الأعداد المركبة (أي، بالنسبة إلى أي عدد مركب، 𞸏+𞸏=٢(𞸏)اءاد)، يُمكننا تبسيط التعبير: 𞸤+𞸤=٢×󰂔𞸤󰂓.١١𝜋٦١١𝜋٦١١𝜋٦𞸕𞸕𞸕اءاد

نعلم من صيغة أويلر أن الجزء الحقيقي لـ 𞸤=𝜃𞸕𝜃. لذلك، فإن: 𞸤+𞸤=٢󰂔١١𝜋٦󰂓=٢󰋴٣٢=󰋴٣.١١𝜋٦١١𝜋٦𞸕𞸕

النقاط الرئيسية

  • يُمكننا التعبير عن العدد المركب 𞸏 في الصورة الأُسِّية كالآتي: 𞸏=𞸋𞸤،𞸕𝜃 حيث 𞸋 هو المقياس، و𝜃 هي السعة المعبَّر عنها بالراديان.
  • استخدام الأعداد في الصورة الأُسِّية يُمكن أن يبسِّط العمليات الحسابية التي تتضمن الضرب والقسمة والأُسُس.
  • باستخدام صيغة أويلر، يُمكننا استنتاج تعبيرات للدوال المثلثية، مثل: 𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒،𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒.𞸕𝜃𞸕𝜃𞸕𝜃𞸕𝜃
  • بالنسبة إلى العددين المركبين 𞸏=𞸋𞸤١١𝑖𝜃١، 𞸏=𞸋𞸤٢٢𞸕𝜃٢، 𞸏𞸏=𞸋𞸋𞸤،𞸏𞸏=𞸋𞸋𞸤.١٢١٢𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒١٢١٢𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒١٢١٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.