في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحوِّل عددًا مركبًا من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية (صيغة أويلر)، والعكس.
الصورة الأُسِّية لعدد مركب
يمكن كتابة عدد مركب على الصورة: حيث هو المقياس، و هي السعة المعبَّر عنها بالراديان.
إذا قارنَّا الصورة الأُسِّية بالصورة القطبية، نجد أن: بحذف ، نصل إلى:
استَنتَج عالِم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر هذه الصيغة، وتُسمَّى صيغة أويلر، أو علاقة أويلر. بعِدَّة طُرق، تُعَدُّ صيغة بارزة تربط بين الدالة الأُسِّية ، والجيب، وجيب التمام، و، والوحدة التخيُّلية . يُمكننا تصوير صيغة أويلر على شكل أرجاند عن طريق رسم دائرة وحدة مركزها عند نقطة الأصل.
طريقة أخرى لتصويرها عن طريق رسم ثلاثي الأبعاد؛ حيث قيمة تكون على أحد المحاور والمستوى العمودي على محور هو المحور المركب.
هذا التصوير الثلاثي الأبعاد يرتبط مباشرة بالمفهوم الكهروديناميكي للاستقطاب الدائري للموجات.
بالرجوع إلى صيغة أويلر، إذا جعلنا ، نحصل على:
بإضافة واحد إلى كلٍّ من الطرفين، نحصل على متطابقة أويلر الشهيرة:
يَعتبِر الكثير هذه المعادلة مثالًا على جمال الرياضيات؛ لأنه باستخدام ثلاث من أكثر العمليات الأساسية في الرياضيات (أي الجمع، والضرب، والأُسُس) مرة واحدة، ترتبط الثوابت الأساسية الخمسة للرياضيات: ٠، ١، ، ، .
سنبدأ بالتفكير في طريقة للحصول على علاقة أويلر باستخدام متسلسلات القُوى. نبدأ بمفكوك متسلسلة ماكلورين لـ :
بالتعويض بالقيمة في هذه المعادلة نحصل على:
تذكَّر أن القُوى الصحيحة لـ تُكوِّن دورة لكل عدد صحيح ، كالآتي:
من ثَمَّ، لدينا:
بتجميع الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية على حِدة، يكون لدينا:
متسلسلات ماكلورين للجيب وجيب التمام هي:
من ثَمَّ، يمكن أن نرى:
لتحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية، نستخدم أسلوبًا مشابهًا جدًّا للأسلوب المُستخدَم للتحويل بين الصيغتين الجبرية والمثلثية. في المربع الآتي ملخَّص لكيفية فعل هذا.
كيفية تحويل عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية
لتحويل عدد مركب في الصورة الجبرية، ، إلى الصورة الأُسِّية:
- أوجد المقياس، ، للعدد المركب.
- أوجد السعة، ، للعدد المركب.
- اكتب العدد في الصورة الأُسِّية: حيث ، .
مثال ١: تحويل الأعداد المركبة من الصورة الجبرية إلى الصورة الأُسِّية
ضع العدد في الصورة الأُسِّية.
الحل
نبدأ بإيجاد مقياس . بالتعويض بالجزأين الحقيقي والتخيُّلي في الصيغة، يصبح لدينا:
بالتبسيط، نحصل على:
الآن، نُوجد سعة . لاحظ أنه بما أن الجزء الحقيقي موجب والجزء التخيُّلي سالب، فإن تقع في الربع الرابع؛ لذلك، يُمكننا إيجاد السعة عن طريق إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل كالآتي:
تبسيط هذا الكسر يُعطينا:
من ثَمَّ، يُمكننا كتابة في الصورة الأُسِّية كالآتي:
إذا كانت السعة تساوي دوريًّا، يُمكننا إضافة بالتساوي إلى السعة، وكتابة في الصورة الأُسِّية كالآتي:
للتحويل من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية، سنُعيد كتابة العدد في الصورة القطبية، بعد ذلك، يُمكننا التحويل من هذه الصورة إلى الصورة الجبرية. في المثال الآتي، سنُوضِّح هذه العملية.
التحويل من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية
لتحويل عدد مركب إلى الصورة الجبرية، نحوِّله أولًا إلى الصورة القطبية:
بفكِّ القوس وإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام، نصل إلى عدد مركب في الصورة الجبرية:
باستخدام خواص المقياس والسعة، يُمكننا استنتاج قواعد الضرب والقسمة للأعداد المركبة في الصورة القطبية. تذكَّر أنه لكلِّ عددين مركبين، ، ، يمكن كتابة حاصل ضربهما بالصورة الأُسِّية كالآتي: ؛ حيث هو المقياس و هي السعة. باستخدام خصائص المقياس والسعة للضرب: يُمكننا رؤية أن ، . من ثَمَّ، فإن:
أيضًا، باستخدام خصائص المقياس والسعة للقسمة: يُمكننا ملاحظة أن:
لاحظ أنه إذا كتبنا السعة في صورة أُسِّية، يُمكننا كتابة:
بالرغم من أن الاستنتاجات السابقة يُمكن أن تعطي انطباعًا بأن جميع قواعد الأُسُس تنطبق على الأعداد المركبة عمومًا، لكن هذا، للأسف، غير صحيح. على سبيل المثال، انظر إلى القاعدة: ، التي تنطبق على . إذا افترضنا أن ، سالبان، فعندئذٍ، لن يُمكننا عامة تطبيق هذه القاعدة بعد الآن، على سبيل المثال:
هذا يوضِّح تمامًا أننا يجب أن نكون حَذِرين عند التعامل مع الأُسُس و الأساسات المركبة.
سننظر الآن إلى بعض الأمثلة التي نستخدم فيها خصائص الضرب والقسمة.
مثال ٢: ضرب الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية
إذا كان ، ، فاكتب على الصورة: .
الحل
باستخدام خصائص الضرب للصورة الأُسِّية لعدد مركب: ، يُمكننا كتابة:
لتحويل هذا إلى الصورة الجبرية، نحتاج أولًا كتابته في الصورة القطبية كالآتي:
بفكِّ الأقواس وإيجاد قيمتي الجيب وجيب التمام، يصبح لدينا:
مثال ٣: قسمة الأعداد المركبة
إذا كان ، فأوجد في الصورة الأُسِّية.
الحل
عندما نتعرَّض لسؤال كهذا، يكون أمامنا أحد الخيارين: يمكننا تحويل كل عدد إلى الصورة الأُسِّية، ثم نستخدم خصائصها لإجراء القسمة، أو يمكننا إجراء القسمة بالأعداد المركبة في صورتها الحالية، ثم نحوِّل الناتج. بما أنه يتعيَّن علينا إيجاد قيمة خارج القسمة، عادة يكون من الأسهل القيام بذلك باستخدام الأعداد المركبة في الصورة القطبية. من ثَمَّ، سنبدأ بتحويل كل عدد إلى الصورة الأُسِّية. أولًا، البسط هو . هذا عدد تخيُّلي بحت؛ لذلك، ستكون سعته . أيضًا، سيكون مقياسه ؛ لذلك، يُمكننا التعبير عنه في الصورة الأُسِّية كالآتي: . بالنسبة إلى المقام، مقياسه هو ، وبما أنه يقع في الربع الرابع، فيمكن حساب سعته عن طريق إيجاد قيمة . من ثَمَّ، يُمكننا التعبير عن هذا في الصورة الأُسِّية كالآتي . وعليه، فإن:
باستخدام خصائص القسمة للأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية: يُمكننا إعادة كتابة ذلك كالآتي:
مثال ٤: تحويل الأعداد المركبة من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية
إذا كان ، فأوجد صورة الجبرية.
الحل
نبدأ بفصل الجزأين الحقيقي والتخيُّلي للأُسِّ كالآتي:
يُمكننا الآن تحويل هذا إلى الصورة القطبية كالآتي:
بفكِّ الأقواس وإيجاد قيمة الجيب وجيب التمام نحصل على الصورة الجبرية لـ كالآتي:
يُمكننا أيضًا استخدام صيغة أويلر للتعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الدالة الأُسِّية، كما سيوضِّح المثال الآتي.
مثال ٥: العلاقة بين الجيب، وجيب التمام، والدالة الأُسِّية
استخدم صيغة أويلر للتعبير عن ، بدلالة كلٍّ من ، .
الحل
نبدأ باستخدام صيغة أويلر للتعبير عن بدلالة الجيب وجيب التمام:
باستخدام متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية للجيب وجيب التمام: يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي:
بإضافة هذا إلى صيغة أويلر، يصبح لدينا:
بالقسمة على ٢، نحصل على:
وبالمثل، يمكننا استنتاج صيغة بدلالة الجيب عن طريق إيجاد قيمة الفرق بين المعادلة (١) وصيغة أويلر كالآتي:
بالقسمة على ، نصل إلى:
الآن سننظر إلى عددٍ من الأمثلة؛ حيث يُمكننا استخدام خصائص الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية لحلِّ المسائل.
مثال ٦: حلُّ المعادلات التي تتضمن الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية
إذا كان ؛ حيث ، ، فأوجد ، .
الحل
لحلِّ مسألة كهذه، نريد جعل الطرفين الأيسر والأيمن بالصورة نفسها. حاليًّا، لدينا أعداد مركبة في الصورة الأُسِّية على اليمين، وعدد مركب في الصورة الجبرية تتضمن الجيب وجيب التمام على اليسار. لذلك، يجب تحويل العدد المركب من الصورة الأُسِّية إلى الصورة الجبرية. نبدأ بالتعبير عنه في الصورة القطبية:
باستخدام متطابقات الدوال المثلثية الزوجية والدوال الفردية: يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي:
بفكِّ الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة، يُمكننا التعبير عن هذا كالآتي:
يُمكننا الآن مساواة هذا بالطرف الأيسر للحصول على:
بما أننا نعلم أن ، فيُمكننا مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية للحصول على المعادلتين الآنيتين:
بجمع هاتين المعادلتين، نحصل على . وعليه، فإن . بالتعويض بهذه القيمة مرة أخرى في إحدى المعادلتين، نحصل على .
مثال ٧: خصائص الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية
إذا كان ، ، ، فأوجد جميع قِيَم الممكنة، وعبِّر عنها بالصورة الأُسِّية.
الحل
نبدأ باعتبار ما تخبرنا به كل معادلة عن قيمة . أولًا، انظر إلى المعادلة:
باستخدام خصائص المقياس، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن كالآتي:
بجعل هذا يساوي الطرف الأيسر، يصبح لدينا:
بقسمة كلا الطرفين على ، والضرب في ، نحصل على:
من ثِمَّ، فإن:
الآن، سننظر إلى المعادلة:
ماذا تخبرنا؟ تخبرنا أن عدد حقيقي؛ ومن ثَمَّ، فإن سعته، التي سنشير إليها بـ ، هي ٠ (لعدد حقيقي موجب)، أو (لعدد حقيقي سالب)؛ لذلك، يُمكننا كتابة:
باستخدام خصائص السعة، يُمكننا إعادة كتابة هذا كالآتي:
بإعادة الترتيب، نحصل على تعبير لسعة :
الآن نُوجد سعة . بما أن له جزآن حقيقي وتخيُّلي سالبان، فإنه يقع في الربع الثالث. لذلك، فإن سعته:
من ثَمَّ، يُمكننا كتابة:
الآن، ننظر إلى الحالتين: ، . عند ، يكون لدينا:
لذلك، يُمكننا التعبير عن بالصورة الأُسِّية كالآتي:
عند ، يكون لدينا:
لذلك، يُمكننا التعبير عن في الصورة الأُسِّية كالآتي:
من ثَمَّ، فإن قيمتَيْ الممكنتين هما:
مثال ٨: استخدام الأعداد المركبة في الصورة الأُسِّية
أوجد القيمة العددية لـ .
الحل
يمكننا حلُّ هذه المسألة عن طريق تحويل كلِّ عدد إلى الصورة الجبرية وإيجاد قيمة كل شيء بطريقة مطولة. مع ذلك، يُمكننا الاستغناء عن بعض العمليات الحسابية من خلال إمكانية التعرُّف على زوج مرافق لعدد مركب عند تقديمه بالصورة الأُسِّية. تذكَّر أنه، بالنسبة إلى أي عدد مركب :
لذلك، فإن . من ثَمَّ، لدينا مجموع عدد مركب ومرافقه. الآن إذا تذكَّرنا خصائص مرافقات الأعداد المركبة (أي، بالنسبة إلى أي عدد مركب، )، يُمكننا تبسيط التعبير:
نعلم من صيغة أويلر أن الجزء الحقيقي لـ . لذلك، فإن:
النقاط الرئيسية
- يُمكننا التعبير عن العدد المركب في الصورة الأُسِّية كالآتي: حيث هو المقياس، و هي السعة المعبَّر عنها بالراديان.
- استخدام الأعداد في الصورة الأُسِّية يُمكن أن يبسِّط العمليات الحسابية التي تتضمن الضرب والقسمة والأُسُس.
- باستخدام صيغة أويلر، يُمكننا استنتاج تعبيرات للدوال المثلثية، مثل:
- بالنسبة إلى العددين المركبين ، ،