فيديو الدرس: الصورة الأسية للعدد المركب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نعبر عن الأعداد المركبة في صورتها الأسية. وأيضًا كيف نعبر عن العدد المركب في صورته الجبرية والقطبية. وذلك امتداد طبيعي للأمر. سنتعلم ماذا نعني بمصطلح الصورة الأسية، وكيف نجري عمليتي الضرب والقسمة لهذه الأعداد. كما سنتعلم أيضًا كيف نحول بين الصورة الجبرية والصورة القطبية والصورة الأسية، ثم نستكشف كيف يمكن أن تساعدنا الصورة الأسية في حل المعادلات التي تتضمن أعدادًا مركبة.

الصورة الجبرية للعدد المركب هي ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. حيث ﺃ وﺏ أعداد حقيقية. ونقول إن ﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، بينما ﺏ هو الجزء التخيلي. ونعرف أن الصورة القطبية — وتسمى أحيانًا الصورة المثلثية للعدد المركب — هي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. وﻝ هو المقياس و𝜃 هي السعة، وعادة ما تكون بالراديان. فماذا عن الصورة الأسية للعدد المركب؟

هنا نحتاج إلى صيغة أويلر. وهي تقول إن ﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. فلنقارن ذلك بالصورة القطبية للعدد المركب. نلاحظ أننا إذا ضربنا الصيغة بالكامل في ﻝ، فسنحصل على ﻝﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. وبالتالي، يمكننا كتابة العدد المركب ﻉ في صورة ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، حيث ﻝ ما زال المقياس و𝜃 ما زالت السعة بالراديان. ويمكننا استخدام الطرق نفسها لحساب مقياس العدد المركب وسعته في الصورة الأسية كما نفعل مع أي عدد مركب مكتوب بالصورة القطبية. فلنر كيف يكون ذلك.

ضع العدد ﻉ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين ناقص خمسة جذر ستة على اثنين ﺕ في الصورة الأسية.

هذا العدد المركب مكتوب بالصورة الجبرية. ويتكون من جزء حقيقي هو خمسة جذر اثنين على اثنين، وجزء تخيلي هو سالب خمسة جذر ستة على اثنين. تذكر أن العدد المركب في الصورة الأسية هو ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، حيث ﻝ هو المقياس و𝜃 هي السعة بالراديان. المقياس يمكن حسابه بطريقة مباشرة للغاية. بالنسبة للعدد المركب الذي في صورة ﺃ زائد ﺏﺕ، فمقياسه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي ﺃ وﺏ.

في هذه الحالة، نحصل على الجذر التربيعي لخمسة جذر اثنين على اثنين الكل تربيع، زائد سالب خمسة جذر ستة على اثنين الكل تربيع. خمسة جذر اثنين على اثنين الكل تربيع يساوي ٢٥ على اثنين. وسالب خمسة جذر ستة على اثنين الكل تربيع يساوي ٧٥ على اثنين. مجموع ٢٥ على اثنين و٧٥ على اثنين يساوي ١٠٠ على اثنين، ما يساوي ٥٠. إذن، مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠، ويمكننا تبسيطه إلى خمسة جذر اثنين. لكن ماذا عن السعة؟

إذا وضعنا هذا العدد المركب في مستوى أرجاند، فيمكن تمثيله بنقطة إحداثياتها الديكارتية خمسة جذر اثنين على اثنين وسالب خمسة جذر ستة على اثنين. وهذا يعني أنه يقع في الربع الرابع. يمكننا إيجاد سعة الأعداد المركبة التي تقع في الربعين الأول والرابع عن طريق استخدام صيغة الدالة العكسية لظل ﺏ على ﺃ، أي الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي على الجزء الحقيقي.

وهو في هذا المثال يساوي الدالة العكسية لظل سالب خمسة جذر ستة على اثنين مقسومًا على خمسة جذر اثنين على اثنين، ما يساوي سالب 𝜋 على ثلاثة. إذن سعة العدد المركب الذي لدينا سالب 𝜋 على ثلاثة. لقد حسبنا مقياس ﻉ ووجدناه خمسة جذر اثنين، وسعته سالب 𝜋 على ثلاثة. ففي الصورة الأسية نقول إنه خمسة جذر اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على ثلاثة ﺕ. ويجدر بنا هنا التذكير بأن السعة تكرارية، وطول دورتها اثنان 𝜋. لذا يمكننا جمع مضاعفات اثنين 𝜋 إلى السعة أو طرحها منها.

إذا أضفنا اثنين 𝜋 إلى سالب 𝜋 على ثلاثة، نحصل على خمسة جذر اثنين ﻫ أس خمسة 𝜋 على ثلاثة ﺕ.

ورغم أن سعة العدد المركب في هذه الصورة الثانية خارج مدى السعة الأساسية، التي هي أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي 𝜋، فليس من الغريب أن نرى تلك الأعداد مكتوبة في أي من الصورتين. وماذا عن التحويل بالعكس من عدد في الصورة الأسية؟

التحويل بين الصورة الأسية والصورة القطبية عملية مباشرة جدًا، حيث نستخدم نفس القيم للمقياس وللسعة. أما للتحويل من الصورة الأسية إلى الصورة الجبرية مرة أخرى، نحول العدد أولًا إلى الصورة القطبية ثم إلى الصورة الجبرية. بما أن ﻝﻫ أس ﺕ𝜃 هو نفسه ﻝ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، يمكننا توزيع هذه الأقواس ثم مقارنة ذلك مباشرة بالصورة الجبرية للعدد المركب. سيكون الجزء الحقيقي ﻝ جتا 𝜃، والجزء التخيلي ﺕ جا 𝜃.

والآن، بما أن لدينا تعريفًا للصورة الأسية للعدد المركب، يمكننا استخدامه لوضع بعض القواعد لضرب تلك الأعداد والقسمة عليها. لنقل إن لدينا عددين مركبين: ﻝ واحد ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد، وﻝ اثنين ﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين. وحاصل ضربهما يساوي ﻝ واحد ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد، مضروبًا في ﻝ اثنين ﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين. ثم نتذكر خصائص مقياس وسعة العدد المركب.

مقياس حاصل ضرب عددين مركبين يساوي حاصل ضرب مقياسيهما، وسعة حاصل ضربهما تساوي مجموع سعتيهما. يمكننا إذن القول إن حاصل ضرب ﻉ واحد وﻉ اثنين يساوي ﻝ واحد ﻝ اثنين ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. القاعدة أن نضرب مقياسيهما ونجمع سعتيهما. وبالمثل، عند قسمة عددين مركبين، يكون لدينا ﻝ واحد مقسومًا على ﻝ اثنين مضروبًا في ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. هذه المرة، نقسم مقياسيهما ونطرح سعتيهما.

وبينما يبدو أن بإمكاننا تطبيق قواعد الأسس المكونة من أعداد صحيحة لنحصل على هذه النتائج، علينا أن نكون حريصين حيال افتراض أنه يمكن استخدام هذه القواعد مع جميع الأعداد المركبة. هذا ليس صحيحًا دائمًا. ومن ثم، فمن الأفضل أن نفكر في حاصل ضرب الأعداد المركبة وخارج قسمتها بدلالة المقاييس والسعات. فلننظر كيف يمكننا تطبيق تلك العمليات على ضرب الأعداد المركبة وقسمتها في الصورة الأسية.

إذا كان ﻉ واحد يساوي خمسة ﻫ أس سالب 𝜋 على اثنين ﺕ، وﻉ اثنين يساوي ستة ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة ﺕ، فعبر عن ﻉ واحد ﻉ اثنين في الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ.

لدينا هنا عددان مركبان في الصورة الأسية، ومطلوب منا إيجاد حاصل ضربهما في الصورة الجبرية. ويكون ضرب الأعداد المركبة أسهل كثيرًا وهي في الصورة الأسية. إذن سنقوم بذلك أولًا قبل تحويل حاصل ضربهما إلى الصورة الجبرية. ولضرب عددين مركبين في الصورة الأسية، نضرب مقياسيهما ونجمع سعتيهما.

مقياس العدد المركب الأول هو خمسة، وسعته سالب 𝜋 على اثنين. ومقياس العدد المركب الثاني هو ستة، وسعته 𝜋 على ثلاثة. وهذا يعني أن مقياس حاصل ضرب هذين العددين المركبين سيكون خمسة في ستة، ما يساوي ٣٠. وسعة ﻉ واحد ﻉ اثنين ستكون سالب 𝜋 على اثنين زائد 𝜋 على ثلاثة.

ويمكننا جمع هذين الكسرين عن طريق إيجاد مقام مشترك. وهو ستة. ونحصل على سالب ثلاثة 𝜋 على ستة زائد اثنين 𝜋 على ستة، ما يساوي سالب 𝜋 على ستة. وبالتالي، نلاحظ أن ﻉ واحد ﻉ اثنين يساوي ٣٠ﻫ أس سالب 𝜋 على ستة ﺕ. وهذا في الصورة الأسية. فكيف نحوله إلى الصورة الجبرية؟ أسهل طريقة هي كتابته في الصورة القطبية أولًا. وهي ٣٠ في جتا سالب 𝜋 على ستة زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على ستة. وسنوزع هذه الأقواس.

ونلاحظ أن هذا يساوي ٣٠ جتا سالب 𝜋 على ستة زائد ٣٠ جا سالب 𝜋 على ستة ﺕ. وهذه نتائج قياسية. ‏ جتا سالب 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجا سالب 𝜋 على ستة يساوي سالب نصف. وبالتالي يمكننا ملاحظة أنه يمكن تبسيط ﻉ واحد ﻉ اثنين — أي حاصل ضرب هذين العددين المركبين — إلى ١٥ جذر ثلاثة ناقص ١٥ﺕ. وهذه هي الصورة الجبرية المطلوبة. إذا قارناها بالصورة العامة الموجودة في رأس المسألة، نجد أن ﺃ يساوي ١٥ جذر ثلاثة، وﺏ يساوي سالب ١٥.

إذا كان ﻉ يساوي ﺕ جذر اثنين على واحد ناقص ﺕ، فأوجد ﻉ في الصورة الأسية.

لحل هذه المسألة، أمامنا خياران. يمكننا قسمة هذين العددين المركبين في الصورة الجبرية. وللقيام بذلك، علينا ضرب البسط والمقام في مرافق المقام، ثم التوزيع والتبسيط قدر الإمكان. ومن المؤكد أنك ستتفق معي في أن هذه عملية طويلة. نختار بدلًا من ذلك أن نكتب هذين العددين المركبين في الصورة الأسية. لذا علينا حساب مقياسيهما وسعتيهما.

‏‏ﺕ جذر اثنين عدد تخيلي بالكامل. وهو ممثل في مستوى أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيين الديكارتيين صفر، جذر اثنين. ومقياسه يساوي طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل. إذن فهو جذر اثنين. وبما أن السعة تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من محور الأعداد الحقيقة الموجبة، نجد أن سعة هذا العدد المركب تساوي ٩٠ درجة. وهي 𝜋 على اثنين راديان. وفي الصورة الأسية، يمكننا القول إن هذا يساوي جذر اثنين ﻫ أس 𝜋 على اثنين ﺕ.

والعدد المركب واحد ناقص ﺕ أصعب قليلًا. الجزء الحقيقي منه موجب، والجزء التخيلي سالب. لذا فإنه يقع في الربع الرابع. ومقياسه لا يعتمد على هذه الحقيقة. ببساطة، نستخدم صيغة الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. وذلك يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد سالب واحد تربيع، وهو مرة أخرى الجذر التربيعي لاثنين.

علينا بالفعل أن نكون أكثر حذرًا في التعامل مع السعة. وبما أن العدد يقع في الربع الرابع، يمكننا استخدام صيغة يقتصر استخدامها على الأعداد المركبة التي تقع في الربعين الأول والرابع. وهي الدالة العكسية لظل ﺏ على ﺃ، أي الدالة العكسية لظل الجزء التخيلي على الجزء الحقيقي. إذن، في هذه الحالة، إنها الدالة العكسية لظل سالب واحد على واحد، ما يساوي سالب 𝜋 على أربعة. وقد توقعنا قيمة سالبة للسعة، لأننا هذه المرة نقيس في اتجاه عقارب الساعة. وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة الكسر في صورة جذر اثنين ﻫ أس 𝜋 على اثنين ﺕ على جذر اثنين ﻫ أس سالب 𝜋 على أربعة ﺕ. والآن، يمكننا القسمة بسهولة.

لقسمة عددين مركبين في الصورة الأسية، نقسم مقياسيهما ونطرح سعتيهما. جذر اثنين مقسوم على جذر اثنين يساوي واحدًا، و𝜋 على اثنين ناقص سالب 𝜋 على أربعة يساوي ثلاثة 𝜋 على أربعة. إذن في الصورة الأسية، ﻉ يساوي ﻫ أس ثلاثة 𝜋 على أربعة ﺕ.

ها قد رأينا كيف نضرب الأعداد المركبة ونقسمها في الصورة الأسية. فلننظر الآن كيف نستخدم خصائص الأعداد المركبة في الصورة الأسية لحل المعادلات.

إذا كان ﺃﻫ أس اثنين ﺕ𝜃 زائد ﺏﻫ أس سالب اثنين ﺕ𝜃 يساوي جتا اثنين 𝜃 ناقص خمسة ﺕ جا اثنين 𝜃؛ حيث ﺃ عدد حقيقي وﺏ عدد حقيقي، فأوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

لدينا هنا معادلة من أعداد مركبة، وبها بعض القيم المجهولة. قبل الحل لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ، علينا التأكد من أن كل الأعداد المركبة مكتوبة بالصورة نفسها. فلنحول الطرف الأيمن إلى الصورة القطبية. إنه يتكون من عددين مركبين. مقياساهما ﺃ وﺏ، على الترتيب. وسعتاهما اثنان 𝜃 وسالب اثنين 𝜃. إذن، يمكننا القول إن مجموعهما يساوي ﺃ جتا اثنين 𝜃 زائد ﺕ جا اثنين 𝜃، زائد ﺏ جتا سالب اثنين 𝜃 زائد ﺕ جا سالب اثنين 𝜃.

والآن نستخدم حقيقة أن جتا 𝜃 دالة زوجية وجا 𝜃 دالة فردية. وهذا يعني أن جتا سالب اثنين 𝜃 هو نفسه جتا اثنين 𝜃. لكن جا سالب اثنين 𝜃 هو نفسه سالب جا اثنين 𝜃. ويمكننا إعادة كتابة المعادلة كما هو موضح. علينا توزيع ﺃ وﺏ على قوسيهما. ثم نقوم بتجميع الحدود المتشابهة. فنحصل على جتا اثنين 𝜃 في ﺃ زائد ﺏ، زائد ﺕ جا اثنين 𝜃 في ﺃ ناقص ﺏ. وبالطبع بعد مقارنة ذلك بالمعادلة الأصلية، نجد أن ذلك يساوي جتا اثنين 𝜃 ناقص خمسة ﺕ جا اثنين 𝜃. والآن يمكننا المساواة بين المعاملات.

بمساواة معاملي جتا اثنين 𝜃، نحصل على واحد يساوي ﺃ زائد ﺏ. وبالنسبة إلى جا اثنين 𝜃، نحصل على سالب خمسة يساوي ﺃ ناقص ﺏ. لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية بدلالة ﺃ وﺏ. فلنجمعهما لكي نتخلص من ﺏ. وبذلك نحصل على سالب أربعة يساوي اثنين ﺃ. إذن لا بد أن ﺃ يساوي سالب اثنين. ثم نعوض بذلك مرة أخرى في المعادلة الأولى. ونحصل على واحد يساوي سالب اثنين زائد ﺏ. إذن، لا بد أن ﺏ يساوي ثلاثة. ومن ثم فإن ﺃ يساوي سالب اثنين وﺏ يساوي ثلاثة.

وبالطبع يمكننا التحقق من صحة ذلك عن طريق التعويض عن ﺃ بسالب اثنين وعن ﺏ بثلاثة في المعادلة الأخرى. وبذلك نجد أن سالب اثنين ناقص ثلاثة يساوي سالب خمسة كما هو مطلوب.

في المثال الأخير، سنتذكر خصائص المرافق المركب ونرى كيف أن إيجاد المرافق المركب للأعداد في الصورة الأسية يمكنه أن يوفر الوقت.

أوجد القيمة العددية لـ ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ زائد ﻫ أس سالب ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ.

لحساب مجموع هذين العددين المركبين، يمكننا تحويلهما إلى الصورة الجبرية والجمع ببساطة عن طريق تجميع الحدود المتشابهة. لكن من المفيد أن تكون قادرًا على إيجاد المرافق المركب لعدد مكتوب بالصورة الأسية، وسنفهم السبب خلال لحظات. بالنسبة للعدد المركب ﻉ يساوي ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، يشار إلى مرافقه بـ ﻉ ستار ويساوي ﻝﻫ أس سالب ﺕ𝜃. لاحظ كيف أن مقياس المرافق هو نفسه مقياس العدد المركب الأصلي، وأن سعته تساوي سالب سعة العدد المركب الأصلي.

العددان المركبان لدينا ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ، وﻫ أس سالب ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ كلاهما مقياسه واحد. لكن سعة العدد المركب الثاني تساوي سالب سعة الأول، والعكس صحيح. هذا يعني أن ﻫ أس سالب ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ هو المرافق المركب للعدد ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ، والعكس صحيح. لكن كيف يساعدنا ذلك؟ حسنًا، إنه يسمح لنا باستخدام قاعدة جمع العدد المركب ومرافقه. مجموع العدد المركب ومرافقه يساوي اثنين مضروبًا في الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب.

والجزء الحقيقي لعدد مركب مكتوب بالصورة الأسية أو الصورة القطبية يساوي ببساطة ﻝ جتا 𝜃. بالنسبة للعدد المركب الذي لدينا، الجزء الحقيقي يساوي واحدًا في جتا ١١‏𝜋‏ على ستة. وهذا يعني أن مجموع ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ ومرافقه ﻫ أس سالب ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ يساوي اثنين في هذا الجزء. ‏ جتا ١١‏𝜋‏ على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، اثنان في الجزء الحقيقي من العدد المركب يساوي اثنين في جذر ثلاثة على اثنين، ما يساوي جذر ثلاثة. وبالتالي نجد أن القيمة العددية لـ ﻫ أس ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ زائد ﻫ أس سالب ١١‏𝜋‏ على ستة ﺕ تساوي جذر ثلاثة.

تعلمنا في هذا الفيديو أنه يمكننا التعبير عن عدد مركب في الصورة الأسية باستخدام ﻝﻫ أس ﺕ𝜃، حيث ﻝ هو المقياس و𝜃 هي السعة بالراديان. ولقد رأينا أن التعامل مع الأعداد في هذه الصورة قد يساعد في تبسيط العمليات الحسابية التي تتضمن عمليتي الضرب والقسمة. لضرب عددين مركبين، مثلًا، نضرب مقياسيهما ونجمع سعتيهما. ولقسمة عددين مركبين مكتوبين بالصورة الأسية، نقسم مقياسيهما ونطرح سعتيهما.