نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺱ يساوي جتا ﻥ وﺹ يساوي جا اثنين ﻥ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.
في هذا السؤال، لدينا زوج من المعادلات البارامترية. وهما معادلتان لـ ﺱ وﺹ بدلالة بارامتر ثالث، وهو ﻥ. نتذكر أنه لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ -أي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ- ما دام ﺩﺱ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا، يمكننا قسمة ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. بذلك، يتضح تمامًا أننا سنحتاج إلى اشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﻥ، واشتقاق معادلة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ.
ويمكننا أن نتذكر هذه الدورة التي تساعدنا على اشتقاق جا وجتا. مشتقة جا ﺱ هي جتا ﺱ. مشتقة جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي سالب جا ﺱ. بالاشتقاق مرة أخرى، نحصل على سالب جتا ﺱ. وعند الاشتقاق مرة أخرى، نحصل على جا ﺱ. ما يعني أن مشتقة جتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي سالب جا ﻥ. ثم يمكننا الإشارة إلى الصورة العامة لمشتقة جا ثابت ﻥ. لكن يمكننا أيضًا استخدام قاعدة السلسلة.
بجعل ﻉ يساوي اثنين ﻥ، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ -أي مشتقة اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ- مضروبة في مشتقة جا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. حسنًا، مشتقة اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي اثنين، ومشتقة جا ﻉ بالنسبة إلى ﻉ تساوي جتا ﻉ. لكن بما أننا جعلنا ﻉ يساوي اثنين ﻥ، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي اثنين جتا اثنين ﻥ. وﺩﺹ على ﺩﺱ هو خارج قسمتهما. وهو يساوي اثنين جتا اثنين ﻥ على سالب جا ﻥ. وبما أننا نقسم دالة موجبة على دالة سالبة، فإننا نعرف أن النتيجة النهائية ستكون دالة سالبة. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين جتا اثنين ﻥ على جا ﻥ.
