فيديو الدرس: مشتقات المعادلات البارامترية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المشتقة الأولى لمنحنى معرف بمعادلتين بارامتريتين، ونوجد معادلات مماسات المنحنيات والخطوط العمودية عليها. نتذكر أن المعادلات البارامترية هي مجموعة من المعادلات التي تعرف مجموعة من الكميات باعتبارها دوال في متغيرات مختلفة. إنها تظهر في علم الحركة، وتستخدم عادة في وصف الأشكال الهندسية، وتظهر حتى في هندسة المتجهات. لذا من المهم أن نكون قادرين على تطبيق حساب التفاضل والتكامل على المعادلات البارامترية.

افترض أن ﺩ وﺭ دالتان قابلتان للاشتقاق، حيث إن ﺱ يساوي الدالة ﺩﻥ وﺹ يساوي الدالة ﺭﻥ، زوج من المعادلات البارامترية التي تصف منحنى.

سنحتاج في كثير من الأحيان إلى أن نكون قادرين على إيجاد مماس المنحنى أو الخط العمودي عليه، ما لم نكن نريد إيجاد مشتقة هذا المنحنى عند نقطة ما. في بعض الأحيان، يمكننا كتابة ﺹ على صورة دالة بدلالة ﺱ ومن ثم نقوم بالاشتقاق. لكن الأمر ليس بهذه السهولة دائمًا. وأحيانًا لا تكون هذه الطريقة هي الأكثر كفاءة.

بدلًا من ذلك، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. في هذه الحالة، تنص القاعدة على أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ في مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن ماذا يعني هذا فعليًا؟

حسنًا، سنكون قادرين على اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. لكن ماذا عن ﺩﻥ على ﺩﺱ؟ حسنًا، سنعيد ترتيب الدالة لتصبح دالة في ﺱ. ونقول: إن ﻥ يساوي معكوس ﺩﺱ. بعد ذلك، ونتيجة لنظرية الدالة العكسية، يمكننا القول بأن ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهذا يقودنا إلى نتيجة جيدة جدًّا. إذ نجد أنه يمكن إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بضرب ﺩﺹ على ﺩﻥ في واحد على ﺩﺱ على ﺩﻥ، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. هذا يعني أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ﺹ وﺱ، يمكننا إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ بقسمة مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﻥ على مشتقة ﺱ بالنسبة لـ ﻥ. لنلق الآن نظرة على مثال لتطبيق هذه الصيغة.

إذا كان ﺹ يساوي سالب سبعة ﻥ تكعيب زائد ثمانية وﻉ يساوي سالب سبعة ﻥ تربيع زائد ثلاثة، فأوجد معدل تغير ﺹ بالنسبة إلى ﻉ.

عندما نواجه سؤالًا عن معدل تغير شيء ما، علينا التفكير في المشتقات. نريد هنا أن نوجد معدل تغير ﺹ بالنسبة لـ ﻉ. إذن، سنوجد ﺩﺹ على ﺩﻉ. وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﻉ.

ثم نتذكر أنه بمعلومية معادلتين بارامتريتين — ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ — يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بضرب ﺩﺹ على ﺩﻥ في واحد على ﺩﺱ على ﺩﻥ. ويمكننا ذلك أيضًا بقسمة ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. في هذا المثال، الدالتان هما ﺹ وﻉ. لذا نقول: إن ﺩﺹ على ﺩﻉ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﻉ على ﺩﻥ. ونجد أننا سنحتاج في البداية إلى اشتقاق كل دالة بالنسبة إلى ﻥ.

سنبدأ باشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. تذكر، لاشتقاق أحد حدود كثيرة حدود، نضرب الحد في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن، فالمشتقة الأولى لسالب سبعة ﻥ تكعيب هي ثلاثة في سالب سبعة ﻥ تربيع. وفي الواقع، المشتقة الأولى لثمانية هي صفر. وبالطبع لا نحتاج إلى كتابة زائد صفر. إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي سالب ٢١ ﻥ تربيع.

الآن سنكرر هذه العملية مع ﺩﻉ على ﺩﻥ. هذه المرة، المشتقة الأولى هي اثنان في سالب سبعة ﻥ، وهذا يساوي سالب ١٤ ﻥ. ونحصل على ﺩﺹ على ﺩﻉ عندما نقسم ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﻉ على ﺩﻥ. هذا يساوي سالب ٢١ ﻥ تربيع مقسومًا على سالب ١٤ ﻥ. بالطبع، قسمة قيمة سالبة على قيمة سالبة تعطينا قيمة موجبة. ويمكننا قسمة كل من البسط والمقام على ﻥ. خطوتنا الأخيرة هي التبسيط بقسمة ٢١ و١٤ على سبعة. وسنجد أن معدل تغير ﺹ بالنسبة لـ ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ على اثنين.

الآن من المهم أن نلاحظ أنه، في بعض الأحيان، يمكننا استخدام التعويض للتعبير عن ﺹ بدلالة ﺱ ثم الاشتقاق بالطريقة المعتادة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلتان بارامتريتان — ﺹ يساوي خمسة ﻥ تربيع، وﺱ يساوي ثلاثة ﻥ ناقص اثنين — يمكننا كتابة معادلة ﺱ على النحو: ﻥ يساوي ﺱ زائد اثنين على ثلاثة. ثم نعوض عن ﻥ بـ ﺱ زائد اثنين على ثلاثة. ونجد أن ﺹ يساوي خمسة في ﺱ زائد اثنين على ثلاثة الكل تربيع. ومن ثم يصبح بإمكاننا الاشتقاق، لكنها ليست دائمًا طريقة فعالة كما ترى. في المثال التالي، سوف نرى كيف نطبق قاعدة السلسلة على المعادلات البارامترية الأكثر تعقيدًا.

أوجد مشتقة سبعة ﺱ زائد أربعة جا ﺱ بالنسبة إلى جتا ﺱ زائد واحد عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة.

لنبدأ بتعريف الدالتين الواردتين في السؤال. سنفترض أن ﺹ يساوي سبعة ﺱ زائد أربعة جا ﺱ. وسنفترض أن جتا ﺱ زائد واحد هو ﻉ. ثم نتذكر أنه بمعلومية معادلتين بارامتريتين — ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ — يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بضرب ﺩﺹ على ﺩﻥ في واحد على ﺩﺱ على ﺩﻥ. ويمكننا ذلك أيضًا بقسمة ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ.

الآن في هذه الحالة، الدالتان هما ﺹ وﻉ. وكلاهما بدلالة ﺱ. لذا نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻉ يجب أن يكون مساويًا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﻉ على ﺩﺱ. سنحتاج إذن إلى البدء باشتقاق كل من الدالتين بالنسبة إلى ﺱ. المشتقة الأولى لسبعة ﺱ تساوي سبعة. وعند اشتقاق جا ﺱ، سنحصل على جتا ﺱ. إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ هنا يساوي سبعة زائد أربعة جتا ﺱ.

نعرف أيضًا أننا إذا اشتققنا جتا ﺱ، نحصل على سالب جا ﺱ. إذن ها هو ﺩﻉ على ﺩﺱ. إنه سالب جا ﺱ. ‏‏ﺩﺹ على ﺩﻉ هو خارج القسمة. إنه سبعة زائد أربعة جتا ﺱ مقسومًا على سالب جا ﺱ. لكننا لم ننته بعد. فنحن نريد إيجاد المشتقة عند النقطة التي فيها ﺱ يساوي 𝜋 على ستة. إذن، سوف نعوض عن ﺱ بـ 𝜋 على ستة في هذا المقدار. هذا يعطينا سبعة زائد أربعة جتا 𝜋 على ستة على سالب جا 𝜋 على ستة.

‏جتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وجا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. عندما نقسم على نصف، فهذا بمثابة ضرب البسط في اثنين. وهكذا نجد أن مشتقة الدالة: سبعة ﺱ زائد أربعة جا ﺱ، بالنسبة إلى جتا ﺱ زائد واحد، عند ﺱ يساوي 𝜋 على ستة، هي سالب ١٤ ناقص أربعة جذر ثلاثة.

حتى الآن، وضحنا كيفية إيجاد المشتقة وحساب قيمتها عند نقطة. نتذكر أن مشتقة الدالة عند نقطة ما تعطينا ميل المماس للمنحنى عند هذه النقطة. وهذا يعني أنه بإمكاننا استخدام الهندسة الإحداثية لإيجاد معادلة المماس لمنحنى. لنر كيف يبدو ذلك.

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي خمسة قا 𝜃 وﺹ يساوي خمسة ظا 𝜃 عندما تكون 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

لإيجاد معادلة المماس، علينا أن نبدأ بحساب ميله. وهو يساوي بالطبع قيمة المشتقة عند تلك النقطة. إذن، سنحتاج إلى البدء بحساب قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

وهاتان، بالطبع، معادلتان بارامتريتان. إذ إن لدينا معادلة لـ ﺱ بدلالة 𝜃 ومعادلة لـ ﺹ بدلالة 𝜃. نتذكر أنه بمعلومية معادلتين بارامتريتين — ﺱ دالة ما في 𝜃 وﺹ دالة أخرى في 𝜃 — يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بقسمة ﺩﺹ على ﺩ𝜃 على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. إذن علينا أن نبدأ باشتقاق كل من الدالتين بالنسبة إلى 𝜃. وسنستخدم النتيجة العامة لمشتقة قا ﺱ وظا ﺱ للقيام بذلك.

مشتقة قا ﺱ هي قا ﺱ ظا ﺱ. ومشتقة ظا ﺱ هي قا تربيع ﺱ. هذا يعني أن ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي خمسة قا 𝜃 ظا 𝜃. وبعد ذلك، ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي خمسة قا تربيع 𝜃. وﺩﺹ على ﺩﺱ هو ناتج قسمتهما. ويساوي خمسة قا تربيع 𝜃 مقسومًا على خمسة قا 𝜃 ظا 𝜃. وبالطبع، يمكننا التبسيط بالقسمة على خمسة وعلى قا 𝜃. ثم نتذكر أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. ثم نتذكر أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. وسوف نقسم ذلك على ظا 𝜃، أو نقسم على جا 𝜃 على جتا 𝜃.

القسمة على أي كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. لذلك سنضرب واحدًا على جتا 𝜃 في جتا 𝜃 على جا 𝜃. وهذا أمر جيد لأنه سيتيح لنا القيام بالمزيد من التبسيط. والآن نكون قد انتهينا من تبسيط مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إنها واحد على جا 𝜃. ويمكننا كتابة ذلك على صورة قتا 𝜃.

تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة ميل المماس عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. لذا لنحسب قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. إنها تساوي واحدًا على جا 𝜋 على ستة. وبما أن 𝜋 جا على ستة يساوي نصفًا، نجد أن ميل المماس يساوي اثنين.

والآن بما أن لدينا ميل المنحنى، لنفسح بعض المساحة لنرى ما الذي علينا فعله أيضًا. صيغة معادلة الخط المستقيم الذي ميله ﻡ ويمر بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين ﺱ واحد، ﺹ واحد، هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. معلوم لدينا بوضوح قيمة ﻡ. لكن ليس لدينا إحداثيان ﺱ وﺹ يمكننا استخدامهما.

ولكن بالتعويض بـ 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة في كل من المعادلتين الأصليتين، يمكننا إيجاد إحداثيي النقطة التي يلتقي عندها المماس مع المنحنى. نحصل على ﺱ يساوي خمسة قا 𝜋 على ستة. وهذا يساوي ١٠ جذر ثلاثة على ثلاثة. ثم نحصل على ﺹ يساوي خمسة ظا 𝜋 على ستة. وهذا يساوي خمسة جذر ثلاثة على ثلاثة.

بالتعويض بما لدينا في صيغة معادلة الخط المستقيم، نحصل على ﺹ ناقص خمسة جذر ثلاثة على ثلاثة يساوي اثنين في ﺱ ناقص ١٠ جذر ثلاثة على ثلاثة. عند فك الأقواس بالتوزيع، نحصل على اثنين ﺱ ناقص ٢٠ جذر ثلاثة على ثلاثة في الطرف الأيسر. نعيد الترتيب بطرح اثنين ﺱ وإضافة ٢٠ جذر ثلاثة على ثلاثة لكلا الطرفين، لنحصل على المعادلة: ﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد ١٥ جذر ثلاثة على ثلاثة يساوي صفرًا.

كل ما تبقى هو تبسيط الكسر. وعندما نقوم بذلك، نجد أن معادلة المماس للمنحنى عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة هي ﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد خمسة جذر ثلاثة يساوي صفرًا.

سنناقش الآن فترات التزايد والتناقص لمنحنى معرف بدالتين بارامتريتين.

لنفترض أن لدينا زوجًا من المعادلات البارامترية، هما ﺱ يساوي ﻥ تربيع زائد ﻥ، وﺹ يساوي اثنين ﻥ ناقص واحد. قد نرغب في معرفة طبيعة التمثيل البياني للمنحنى خلال فترات مختلفة. بعبارة أخرى، ما هي فترات تزايد المنحنى أو تناقصه؟

تذكر أننا نقول إن التمثيل البياني الموصوف بالمعادلة ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ يتزايد إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى أكبر من الصفر. وأنه يتناقص إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى أقل من صفر. إذن، لإيجاد فترات التزايد أو التناقص، عادة نوجد مقدارًا يعبر عن ﺩﺹ على ﺩﺱ ومن ثم نحدد الفترات التي تكون قيمته خلالها أكبر من صفر أو أقل من صفر. في هذه الحالة، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين على اثنين ﻥ زائد واحد.

الآن لدينا مشكلة صغيرة هنا. هذه المشتقة لن تساعدنا في إيجاد فترات التزايد أو التناقص. وهذا لأن المنحنى يبدو قريبًا من هذا الشكل. لاحظ أن التمثيل البياني يتزايد ويتناقص لكل قيم ﺱ الأكبر من صفر. لكن يمكننا النظر إلى المشتقات بالنسبة للمتغير ﻥ. فمثلًا، إذا أردنا معرفة ما إذا كان المنحنى يتزايد أم يتناقص عند ﻥ يساوي سالب أربعة، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب سبعين. هذا أقل من الصفر، وبالتالي فإن المنحنى يتناقص عند هذه النقطة. وهكذا يمكننا توضيح ما يحدث عند نقاط معينة. لكن يظل من الصعب للغاية تحديد فترات التزايد أو التناقص.

في هذا الفيديو، رأينا أن المعادلات البارامترية هي مجموعة من المعادلات التي تعرف مجموعة من الكميات باعتبارها دوال في متغيرات مختلفة. وعرفنا أنه للمعادلتين البارامتريتين — ﺱ يساوي ﺩﻥ وﺹ يساوي ﺭﻥ — ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. ورأينا أنه يمكننا استخدام المشتقة لمعرفة طبيعة التمثيل البياني للمنحنى عند قيم مختلفة لـ ﻥ. لكن يجب أن نكون حريصين للغاية؛ لأنه لا يمكننا دائمًا إيجاد فترات التزايد والتناقص.