تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مشتقات المعادلات البارامترية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد المشتقة الأولى لمنحنى معرَّف بمعادلتين بارامتريتين، ونُوجِد معادلات مماسات المنحنيات والخطوط العمودية عليها.

المعادلات البارامترية هي طريقة للتعبير عن المتغيِّرات في المعادلات بدلالة بارامتر. على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة كارتيزية على الصورة 𞸑=󰎨(𞸎)، فيمكننا التعبير عن 𞸎، 𞸑 بدلالة بارامتر، 𞸍: 𞸎=𞸓(𞸍)،𞸑=𞸇(𞸍).

وتَصِف هاتان المعادلتان البارامتريتان المنحنى نفسه الذي تَصِفه المعادلة 𞸑=󰎨(𞸎)، ولكن على صورة مختلفة.

ملاحظة:

يمكن استخدام المعادلات البارامترية بالترافق مع أيِّ نظام إحداثي، وليس النظام الإحداثي الديكارتي فقط. على سبيل المثال، إذا أردنا كتابة بعض الإحداثيات القطبية على الصورة البارامترية، فيمكننا التعبير عن 𞸓، 𝜃 بدلالة بارامتر.

كتابة المعادلات على الصورة البارامترية لها عدة استخدامات مختلفة. فهي قد تُسهِّل كثيرًا من كتابة علاقات واحد-لمتعدد؛ على سبيل المثال، معادلات القطع الناقص ومعادلات المنحنى القلبي ومعادلات ليماسون، التي عادةً ما تكون كتابتها أكثر صعوبةً على الصورة الكارتيزية.

ثمة طريقة يمكننا استخدامها لإيجاد مشتقة معادلة على الصورة البارامترية دون الحاجة إلى تحويل المعادلات البارامترية إلى الصورة الكارتيزية. الصيغة التي يمكننا استخدامها هي كما يلي.

تعريف: مشتقة المعادلة البارامترية

افترض أن 󰎨، 𞸓 دالتان قابلتان للاشتقاق؛ حيث يمكننا تكوين زوج من المعادلات البارمترية باستخدام 𞸎، 𞸑: 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞸓(𞸍).

بعد ذلك، يمكننا كتابة مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓𞸑𞸍𞸎𞸍 عندما يكون 𞸃𞸎𞸃𞸍٠.

هيا نوضِّح كيف يمكننا التوصُّل إلى هذه المعادلة. لكي نفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة السلسلة؛ لذا هيا نسترجع تعريفها.

تعريف: قاعدة السلسلة

إذا كانت الدالة 𞸇 قابلة للاشتقاق عند 𞸎٠، والدالة 𞸓 قابلة للاشتقاق عند 𞸇󰁓𞸎󰁒٠، فإن تركيبهما 󰎨=𞸓𞸇 المُعرَّف بالصيغة 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸇(𞸎)) يكون قابلًا للاشتقاق عند 𞸎٠، ومشتقته 󰎨 تساوي: 󰎨󰁓𞸎󰁒=𞸇󰁓𞸎󰁒𞸓󰁓𞸇󰁓𞸎󰁒󰁒.٠٠٠

يمكننا البدء بالمعادلتين البارامتريتين: 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞸓(𞸍).

نفترض أنه يمكننا كتابة هاتين المعادلتين البارامتريتين على الصورة الكارتيزية؛ حيث: 𞸑=𞸒(𞸎).

يمكننا التعويض بالمعادلتين البارامتريتين في هذه المعادلة لنحصل على: 𞸓(𞸍)=𞸒(󰎨(𞸍)).

بعد ذلك، علينا اشتقاق هذه المعادلة بالنسبة إلى 𞸍. في الطرف الأيسر، نلاحِظ أن لدينا دالة مركبة؛ لذلك علينا تطبيق قاعدة السلسلة: 𞸓(𞸍)=󰎨(𞸍)𞸒(󰎨(𞸍)).

يجب أن ننتبه هنا عند الاشتقاق، حيث الدوال س، ص، ر، د تعني الاشتقاق بالنسبة إلى 𞸍، ومشتقة الدالة ق تعني الاشتقاق بالنسبة إلى 𞸎. باستخدام ذلك مع المعادلتين البارامتريتين، 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸓(𞸍)، نحصل على: 󰎨(𞸍)=𞸃𞸎𞸃𞸍𞸓(𞸍)=𞸃𞸑𞸃𞸍.،

يمكننا الآن التعويض بـ 𞸎، 𞸑 في المعادلة التفاضلية، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸍=𞸃𞸎𞸃𞸍𞸒(𞸎).

وأخيرًا، بما أن 𞸒(𞸎) هي مشتقة 𞸒 بالنسبة إلى 𞸎، 𞸑=𞸒(𞸎)، 𞸒(𞸎)=𞸃𞸑𞸃𞸎، إذن: 𞸃𞸑𞸃𞸍=𞸃𞸎𞸃𞸍𞸃𞸑𞸃𞸎، ويمكن إعادة الترتيب ليصبح الناتج: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸍𞸎𞸍

والآن بعد أن عَرَفنا كيفية اشتقاق صيغة مشتقة المعادلات البارامترية، نتناول مثالًا على كيفية استخدام ذلك.

مثال ١: إيجاد مشتقة المعادلات البارامترية

إذا كان 𞸑=٧𞸍+٨٣، 𞸏=٧𞸍+٣٢، فأوجد معدَّل تغيُّر 𞸑 بالنسبة إلى 𞸏.

الحل

مطلوب منا إيجاد معدَّل تغيُّر 𞸑 بالنسبة إلى 𞸏، والذي يمكن كتابته أيضًا على الصورة 𞸃𞸑𞸃𞸏. لدينا 𞸑، 𞸏 بدلالة البارامتر 𞸍، إذن، علينا استخدام صيغة إيجاد مشتقة المعادلات البارامترية، وهي كالآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸏=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸍𞸏𞸍

يمكننا البدء بإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸍. 𞸑 كثيرة حدود في 𞸍؛ لذا يمكننا استخدام اشتقاق كثيرة الحدود لإيجاد هذه المشتقة. سنضرب كل حدٍّ في القوة الأسية لـ 𞸍، ثم نطرح واحدًا من القوة الأسية لـ 𞸍. يعطينا ذلك: 𞸃𞸑𞸃𞸍=١٢𞸍.٢

بالمثل، يمكننا إيجاد مشتقة 𞸏 بالنسبة إلى 𞸍 كالآتي: 𞸃𞸏𞸃𞸍=٤١𞸍.

أصبح لدينا الآن 𞸃𞸑𞸃𞸍، 𞸃𞸏𞸃𞸍، ويمكننا التعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة لإيجاد الحل: 𞸃𞸑𞸃𞸏=١٢𞸍٤١𞸍=٣٢𞸍.٢

في الواقع، يمكننا إيجاد مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى باستخدام مشتقات المعادلات البارامترية.

تعريف: مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى

إذا كانت لدينا دالتان، 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸏=𞸓(𞸎)، فيمكننا تعريف المشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸓(𞸎) على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸏=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸎𞸏𞸎

نتناول مثالًا على كيفية استخدام ذلك.

مثال ٢: إيجاد مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى

أوجد مشتقة ٧𞸎+٤𞸎 بالنسبة إلى 𞸎+١ عند 𞸎=𝜋٦.

الحل

يمكننا أن نبدأ بتعريف الدالتين كالآتي: 𞸑=٧𞸎+٤𞸎،𞸏=𞸎+١.

عندما نكتب المعادلتين على هذه الصورة، نلاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸏. والصيغة التي يمكننا استخدامها لإيجاد هذه المشتقة هي: 𞸃𞸑𞸃𞸏=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸎𞸏𞸎

علينا اشتقاق 𞸑، 𞸏 بالنسبة إلى 𞸎. ويتضمَّن ذلك اشتقاق دالة مثلثية وكثيرة الحدود. عند اشتقاق كثيرة الحدود، نضرب الحد في القوة الأسية لـ 𞸎، ثم نطرح واحدًا من القوة الأسية لـ 𞸎. وعند اشتقاق الدالة المثلثية، يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.،

باستخدام ذلك، نجد أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٧+٤𞸎 و: 𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸎.

بالتعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸏=٧+٤𞸎𞸎.

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد قيمة المشتقة عند 𞸎=𝜋٦؛ لذا، علينا التعويض بذلك في 𞸃𞸑𞸃𞸏. ويعطينا ذلك: 𞸃𞸑𞸃𞸏󰍾=٧+٤=٧+٤󰃁󰃀.𞸎=𝜋٦𝜋٦󰋴٣٢١٢𝜋٦

بالتبسيط، نجد أن الحل هو: 𞸃𞸑𞸃𞸏󰍾=٤١٤󰋴٣.𞸎=𝜋٦

نعلم أنه يمكننا استخدام المشتقات لإيجاد ميل مستقيم عند نقطة معطاة، وباستخدام هذا الميل يمكننا إيجاد مماس المستقيم أو العمودي عليه عند هذه النقطة. يمكننا القيام بالأمر نفسه باستخدام مشتقات المعادلات البارامترية.

في المثال التالي، سنعرف كيف يمكن استخدام مشتقات بعض المعادلات البارامترية لإيجاد مماس المنحنى عند نقطة معطاة.

مثال ٣: إيجاد مماس لمنحنى باستخدام مشتقات المعادلات البارامترية

أوجد معادلة المماس للمنحنى 𞸎=٥𝜃، 𞸑=٥𝜃 عندما تكون 𝜃=𝜋٦.

الحل

لدينا معادلتان بارامتريتان، ومطلوب منا إيجاد مماس المنحنى عند نقطة معطاة. لإيجاد معادلة المماس، علينا أولًا إيجاد ميل المماس. يمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد مشتقة المعادلتين البارامتريتين عند النقطة المعطاة. علينا استخدام صيغة إيجاد مشتقة المعادلة البارامترية، متذكِّرين أن البارمتر هو 𝜃: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𝜃𞸎𝜃

والآن علينا اشتقاق هاتين المعادلتين اللتين تحتويان على دالة مثلثية، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸑𞸃𝜃=٥𝜃٢ و: 𞸃𞸎𞸃𝜃=٥𝜃𝜃.

وبالتعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥𝜃٥𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃𝜃.٢

ويمكن تبسيط ذلك أكثر ليعطينا المشتقة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١𝜃.

لإيجاد ميل المماس عند 𝜃=𝜋٦، علينا التعويض بذلك في المعادلة التفاضلية. عندما نقوم بذلك، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=١=٢.𝜃=𝜋٦𝜋٦

والآن بعد أن أوجدنا ميل المماس، علينا إيجاد النقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى. ويمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد قيم 𞸎، 𞸑 عند 𝜃=𝜋٦. بالتعويض بقيمة 𝜃=𝜋٦ في المعادلتين 𞸎، 𞸑 يصبح لدينا: 𞸎=٥𝜋٦=٠١󰋴٣٣،𞸑=٥𝜋٦=٥󰋴٣٣.

والآن بعد أن أوجدنا ميل المماس، الذي يساوي ۲، والنقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى، 󰃭٠١󰋴٣٣،٥󰋴٣٣󰃬، يمكننا تكوين المعادلة. يمكننا استخدام الصيغة: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒،١١ حيث 𞸌 هو ميل المماس، و󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ هي النقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى. يعطينا ذلك: 𞸑٥󰋴٣٣=٢󰃭𞸎٠١󰋴٣٣󰃬=٢𞸎٠٢󰋴٣٣.

بعد ذلك، يمكننا نقل كل الحدود إلى الطرف الأيمن من المعادلة: 𞸑٢𞸎+٥١󰋴٣٣=٠.

وأخيرًا، نقوم بالتبسيط لنصل إلى الحل: 𞸑٢𞸎+٥󰋴٣=٠.

يمكننا استخدام طريقة مشابهة لإيجاد العمودي على منحنى معرَّف بارامتريًّا عند نقطة معطاة. الأمر الوحيد الذي علينا الانتباه إليه هو أنه بمجرد إيجاد الميل، 𞸌، للمنحنى عند النقطة المعطاة، علينا استخدام حقيقة أن: ادياس=١.

لذلك، إذا كان ميل المماس هو 𞸌، فإن ميل العمودي يساوي ١𞸌.

في المثال الأخير، سنعرف كيف يمكننا تحديد النقاط التي يكون لمنحنى معرَّف بارامتريًّا مماسات رأسية عندها.

مثال ٤: إيجاد قيمة متغيِّر يجعل لمنحنى ذي معادلات بارامترية مماسًّا رأسيًّا

أوجد قيمة 𞸌 التي عندها يكون للمنحنى 𞸎=٨𞸌+٥𞸌+𞸌١٣٢، 𞸑=٥𞸌𞸌+٢٢ مماس رأسي.

الحل

لكي يكون للمنحنى مماس رأسي، يجب أن يساوي ميله ما لا نهاية. بما أن هذا قد يبدو أمرًا مجردًا إلى حد ما، إذن يمكن أن تساعدنا صيغة مشتقة المعادلة البارامترية. نعلم أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸌𞸎𞸌

تزداد قيمة هذه المشتقة أكثر فأكثر كلما أصبحت قيمة 𞸃𞸎𞸃𞸌 أصغر فأصغر. ومن ثَمَّ، فإن المشتقة وميل المماس يقتربان من ما لا نهاية كلما اقتربت قيمة 𞸃𞸎𞸃𞸌 من الصفر.

دعونا نُوجِد قيم 𞸌 التي تجعل 𞸃𞸎𞸃𞸌=٠. يمكننا أن نبدأ باشتقاق 𞸎 بالنسبة إلى 𞸌. ونحصل من ذلك على: 𞸃𞸎𞸃𞸌=٤٢𞸌+٠١𞸌+١.٢

علينا الآن أن نجعل هذه المشتقة تساوي صفرًا، ثم نحلها لإيجاد قيم 𞸌. لدينا: ٤٢𞸌+٠١𞸌+١=٠.٢

يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية، الذي يخبرنا أن حل المعادلة التربيعية على الصورة 󰏡𞸌+𞸁𞸌+𞸢=٠٢ هو: 𞸌=𞸁±󰋴𞸁٤󰏡𞸢٢󰏡.٢

في هذه الحالة، 󰏡=٤٢، 𞸁=٠١، 𞸢=١؛ ولذلك: 𞸌=٠١±󰋴٠١٤×٤٢×١٢×٤٢=٠١±󰋴٠٠١٦٩٨٤=٠١±٢٨٤.٢

يمكننا الآن فصل الحلين الناتجين عن علامتَي الزائد والناقص. أولًا، باستخدام علامة الزائد: 𞸌=٨٨٤=١٦.

وثانيًا، باستخدام علامة الناقص: 𞸌=٢١٨٤=١٤.

وعليه، فإن قيمتَي 𞸌 اللتين تجعلان المنحنى له مماسات رأسية هما 𞸌=١٦، 𞸌=١٤.

النقاط الرئيسية

  • لزوج من المعادلات البارمترية القابلة للاشتقاق، 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸓(𞸍)، نعرِّف مشتقة المعادلتين البارامتريتين على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓𞸑𞸍𞸎𞸍 عند 𞸃𞸎𞸃𞸍٠.
  • إذا كانت لدينا دالتان، 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸏=𞸓(𞸎) فيمكننا تعريف المشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸓(𞸎) على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸏=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓.𞸑𞸎𞸏𞸎
  • يمكننا إيجاد معادلتَي المماس والعمودي على المنحنى المعرَّف بارامتريًّا عن طريق إيجاد الميل باستخدام المشتقة، ثم تطبيق الصيغة 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒١١؛ حيث 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ نقطة تقع على المنحنى عند المماس أو العمودي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.