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شارح الدرس: Dérivées des équations paramétriques الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver la dérivée première d’une courbe définie par des équations paramétriques, ainsi que les équations de ses tangentes et normales à la courbe.

Les équations paramétriques permettent d’exprimer les variables d’une équation en fonction d’un paramètre. Par exemple, si l’on a une équation cartésienne de la forme 𝑦=𝑓(𝑥), on peut exprimer 𝑥 et 𝑦 en fonction d’un paramètre 𝑡:𝑥=𝑔(𝑡),𝑦=(𝑡).

Ces équations paramétriques décriront exactement la même courbe que 𝑦=𝑓(𝑥), seule la forme de la représentation diffère.

Note :

Les équations paramétriques peuvent être utilisées conjointement à n’importe quel système de coordonnées, pas seulement le système de coordonnées cartésiennes. Si l’on voulait paramétrer des coordonnées polaires, par exemple, ce sont les variables 𝑟 et 𝜃 que l’on exprimerait en fonction d’un paramètre.

Il existe de nombreuses applications de la représentation paramétrique. On peut l’utiliser, par exemple, pour faciliter l’écriture de fonctions multivaluées;en effet, les équations d’ellipses, de cardioïdes ou encore de limaçons de Pascal sont généralement plus difficiles à écrire sous forme cartésienne que sous forme paramétrique.

Il est possible de trouver la dérivée d’une équation sous forme paramétrique directement, sans avoir à passer par la forme cartésienne. On utilise pour cela la formule suivante.

Définition : Dérivée d’une équation paramétrique

Soient 𝑓 et 𝑔, deux fonctions dérivables telles que, pour 𝑥 et 𝑦, on a la paire d’équations paramétriques suivante:𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Alors, on peut définir la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 par dd𝑦𝑥=dddd quand dd𝑥𝑡0.

Nous allons montrer comment nous avons établi cette équation. Nous utiliserons pour cela la règle de dérivation des fonctions composées, dont on rappelle la définition ci-dessous.

Définition : Règle de dérivation des fonctions composées

Soient une fonction , dérivable en 𝑥, et une fonction 𝑔, dérivable en (𝑥);alors, leur composée 𝑓=𝑔, définie par 𝑓(𝑥)=𝑔((𝑥)), est dérivable en 𝑥 et sa dérivée 𝑓 est donnée par 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)).

Voyons comment appliquer cela à nos équations paramétriques, 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

On suppose que l’on peut écrire nos équations paramétriques sous forme cartésienne, de sorte que 𝑦=𝐶(𝑥).

On peut remplacer par nos équations paramétriques dans cette équation;on obtient alors 𝑔(𝑡)=𝐶(𝑓(𝑡)).

On veut ensuite dériver cette équation par rapport à 𝑡. On constate que le côté droit de notre équation est une fonction composée;on lui applique la règle de dérivation des fonctions composées:𝑔(𝑡)=𝑓(𝑡)𝐶(𝑓(𝑡)).

Ici, il faut être attentif au fait que les fonctions désignées par une lettre minuscule sont dérivées par rapport à 𝑡, tandis que la fonction désignée par une majuscule est dérivée par rapport à 𝑥. Donc, pour nos équations paramétriques 𝑥=𝑓(𝑡) et 𝑦=𝑔(𝑡), on a 𝑓(𝑡)=𝑥𝑡𝑔(𝑡)=𝑦𝑡.ddetdd

On peut maintenant remplacer par 𝑥 et 𝑦 dans notre équation différentielle et on obtient dddd𝑦𝑡=𝑥𝑡𝐶(𝑥).

Enfin, puisque 𝐶(𝑥) est la dérivée de 𝐶 par rapport à 𝑥 et que 𝑦=𝐶(𝑥), alors 𝐶(𝑥)=𝑦𝑥dd et l’on a donc dddddd𝑦𝑡=𝑥𝑡𝑦𝑥,que l’on réarrange pour obtenir notre résultat, dd𝑦𝑥=.dddd

La preuve de la formule de la dérivée d’équations paramétriques étant faite, passons à un premier exemple dans lequel nous verrons comment l’utiliser.

Exemple 1: Trouver la dérivée d’équations paramétriques

Soient 𝑦=7𝑡+8 et 𝑧=7𝑡+3;trouvez le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑧.

Réponse

On nous demande de trouver le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑧, qui peut aussi s’écrire dd𝑦𝑧. On nous donne 𝑦 et 𝑧 en fonction d’un paramètre 𝑡, donc on devra utiliser la formule de la dérivée d’équations paramétriques:dd𝑦𝑧=.dddd

Commençons par chercher dd𝑦𝑡. On nous donne 𝑦 sous la forme d’un polynôme en 𝑡, donc on peut utiliser les règles de dérivation des polynômes pour calculer sa dérivée. On multiplie d’abord chaque terme par sa puissance de 𝑡, puis on diminue de un la puissance de 𝑡. On obtient alors dd𝑦𝑡=21𝑡.

On doit ensuite dériver 𝑧 par rapport à 𝑡 de la même manière;on obtient dd𝑧𝑡=14𝑡.

On peut à présent remplacer dans la formule par nos résultats de dd𝑦𝑡 et dd𝑧𝑡 pour obtenir notre solution:dd𝑦𝑧=21𝑡14𝑡=32𝑡.

Grâce aux dérivées d’équations paramétriques, on peut également trouver la dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction.

Définition : Dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction

Soient deux fonctions 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑧=𝑔(𝑥);on peut définir la dérivée de 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑔(𝑥) par dd𝑦𝑧=.dddd

Passons à un exemple dans lequel nous mettrons ceci en pratique.

Exemple 2: Trouver la dérivée d’une fonction par rapport à une autre fonction

Trouvez la dérivée de 7𝑥+4𝑥sin par rapport à cos𝑥+1 en 𝑥=𝜋6.

Réponse

On peut commencer par poser 𝑦=7𝑥+4𝑥,𝑧=𝑥+1.sincos

Avec nos équations écrites sous cette forme, on constate qu’il nous est demandé de trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧. La formule que l’on peut utiliser pour trouver cette dérivée est dd𝑦𝑧=.dddd

On doit dériver 𝑦 et 𝑧 par rapport à 𝑥. Il nous faudra donc utiliser les règles de dérivation des polynômes mais aussi celles des fonctions trigonométriques. Pour dériver une fonction puissance, on multiplie le terme par la puissance de 𝑥, puis on diminue de un la puissance de 𝑥. Pour nos fonctions trigonométriques, on utilise les dérivées usuelles ddsincosetddcossin𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=𝑥.

En appliquant ces règles, on trouve que ddcos𝑦𝑥=7+4𝑥 et ddsin𝑧𝑥=𝑥.

En remplaçant par ces résultats dans notre formule, on obtient finalement ddcossin𝑦𝑧=7+4𝑥𝑥.

Il nous était demandé dans l’énoncé de trouver la dérivée en 𝑥=𝜋6. On remplace donc par cette valeur dans dd𝑦𝑧 et on a ddcossin𝑦𝑧|||=7+4=7+4.

En simplifiant, on trouve que notre solution est dd𝑦𝑧|||=1443.

On sait que l’on peut utiliser la dérivée d’une équation cartésienne pour trouver la pente de sa courbe en un point donné et qu’avec cette pente, on peut trouver la tangente ou la normale à la courbe en ce point. Il est aussi possible d’y parvenir en partant des équations paramétriques.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment les dérivées d’équations paramétriques peuvent être utilisées pour trouver la tangente à une courbe en un point donné.

Exemple 3: Trouver la tangente à une courbe à l’aide de dérivées d’équations paramétriques

Trouvez l’équation de la tangente à la courbe 𝑥=5𝜃sec et 𝑦=5𝜃tan en 𝜃=𝜋6.

Réponse

On nous donne une paire d’équations paramétriques et on nous demande de trouver la tangente à la courbe en un point donné. Pour trouver l’équation de la tangente, on doit d’abord déterminer sa pente. Pour cela, on peut évaluer la dérivée de nos équations paramétriques au point donné. On utilisera donc la formule de la dérivée d’une équation paramétrique, en prenant note qu’ici notre paramètre est 𝜃:dd𝑦𝑥=.dddd

On dérive à présent nos deux équations trigonométriques, ce qui nous donne ddsec𝑦𝜃=5𝜃 et ddsectan𝑥𝜃=5𝜃𝜃.

On remplace par ces résultats dans notre formule et on obtient ddsecsectansectancoscossin𝑦𝑥=5𝜃5𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃𝜃.

On simplifie davantage l’expression et on trouve que notre dérivée est ddsin𝑦𝑥=1𝜃.

Pour trouver la pente de la tangente en 𝜃=𝜋6, on doit remplacer par cette valeur dans notre différentielle. On obtient alors ddsin𝑦𝑥|||=1=2.

Une fois la pente de la tangente trouvée, il nous faut identifier un point par lequel elle passe. Pour cela, on peut déterminer les valeurs prises par 𝑥 et 𝑦 quand 𝜃=𝜋6. En remplaçant par 𝜃=𝜋6 dans nos équations de 𝑥 et 𝑦, on trouve 𝑥=5𝜋6=1033,𝑦=5𝜋6=533.sectan

On sait à présent que la pente de la tangente est égale à 2 et qu’elle passe par le point de coordonnées 1033;533;on dispose donc de toutes les informations nécessaires pour trouver son équation. Pour cela, on peut utiliser la formule 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥),𝑚 est la pente de la tangente et (𝑥;𝑦) est un point de la tangente. On a alors 𝑦533=2𝑥1033=2𝑥2033.

On peut passer tous les termes du côté gauche de l’équation:𝑦2𝑥+1533=0.

Enfin, on simplifie et on obtient notre solution:𝑦2𝑥+53=0.

On peut utiliser une méthode similaire pour trouver la normale à une courbe paramétrée en un point donné. Cependant, dans le cas d’une normale, on n’oubliera pas qu’une fois la pente 𝑚 de la courbe au point donné trouvée, il faut utiliser le fait que pentedelanormalepentedelatangente=1.

Ainsi, si la pente de la tangente est 𝑚, alors la pente de la normale est 1𝑚.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment identifier les points d’une courbe paramétrée pour lesquels la courbe admet une tangente verticale.

Exemple 4: Trouver pour quelles valeurs de son paramètre une courbe paramétrée admet une tangente verticale

Trouvez les valeurs de 𝑚 pour lesquelles la courbe 𝑥=8𝑚+5𝑚+𝑚1 et 𝑦=5𝑚𝑚+2 admet une tangente verticale.

Réponse

Pour qu’une courbe ait une tangente verticale, son gradient doit être infini. Notre formule de la dérivée d’une équation paramétrique nous aidera à appréhender ce concept quelque peu abstrait. On sait que dd𝑦𝑥=.dddd

Cette dérivée devient de plus en plus grande à mesure que dd𝑥𝑚 devient de plus en plus petit. Par conséquent, notre dérivée ainsi que la pente de la tangente tendent vers l’infini quand dd𝑥𝑚 tend vers zéro.

Il nous faut donc trouver les valeurs de 𝑚 pour lesquelles dd𝑥𝑚=0. On peut commencer par dériver 𝑥 par rapport à 𝑚. On obtient dd𝑥𝑚=24𝑚+10𝑚+1.

On pose que notre dérivée est égale à 0 pour ensuite résoudre l’équation résultante et trouver les valeurs de 𝑚. On a donc 24𝑚+10𝑚+1=0.

Grâce à la formule quadratique, on sait que les solutions d’une équation du second degré de la forme 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0 sont 𝑚=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Dans notre cas, 𝑎=24, 𝑏=10 et 𝑐=1;par conséquent, 𝑚=10±104×24×12×24=10±1009648=10±248.

On peut maintenant distinguer les deux solutions impliquées par le signe plus ou moins. Pour le signe plus, on a 𝑚=848=16.

Pour le signe moins, on a 𝑚=1248=14.

Par conséquent, les valeurs de 𝑚 pour lesquelles notre courbe admet une tangente verticale sont 𝑚=16 et 𝑚=14.

Points clés

  • Si l’on a une paire d’équations paramétriques dérivables 𝑥=𝑓(𝑡) et 𝑦=𝑔(𝑡), alors on définit la dérivée de ces équations paramétriques par dd𝑦𝑥=ddddquand dd𝑥𝑡0.
  • Si l’on a deux fonctions 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑧=𝑔(𝑥), alors on peut définir la dérivée de 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑔(𝑥) par dd𝑦𝑧=.dddd
  • On peut trouver l’équation d’une tangente ou d’une normale à une courbe paramétrée en déterminant la pente à l’aide de la dérivée, puis en appliquant la formule 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥), (𝑥;𝑦) est un point de la tangente ou de la normale.

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