شارح الدرس: مشتقات المعادلات البارامترية الرياضيات

مثال ١: إيجاد مشتقة المعادلات البارامترية

إذا كان ، ، فأوجد معدَّل تغيُّر بالنسبة إلى .

الحل

مطلوب منا إيجاد معدَّل تغيُّر بالنسبة إلى ، والذي يمكن كتابته أيضًا على الصورة . لدينا ، بدلالة البارامتر ، إذن، علينا استخدام صيغة إيجاد مشتقة المعادلات البارامترية، وهي كالآتي:

يمكننا البدء بإيجاد . كثيرة حدود في ؛ لذا يمكننا استخدام اشتقاق كثيرة الحدود لإيجاد هذه المشتقة. سنضرب كل حدٍّ في القوة الأسية لـ ، ثم نطرح واحدًا من القوة الأسية لـ . يعطينا ذلك:

بالمثل، يمكننا إيجاد مشتقة بالنسبة إلى كالآتي:

أصبح لدينا الآن ، ، ويمكننا التعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة لإيجاد الحل:

مثال ٢: إيجاد مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى

أوجد مشتقة بالنسبة إلى عند .

الحل

يمكننا أن نبدأ بتعريف الدالتين كالآتي:

عندما نكتب المعادلتين على هذه الصورة، نلاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد مشتقة بالنسبة إلى . والصيغة التي يمكننا استخدامها لإيجاد هذه المشتقة هي:

علينا اشتقاق ، بالنسبة إلى . ويتضمَّن ذلك اشتقاق دالة مثلثية وكثيرة الحدود. عند اشتقاق كثيرة الحدود، نضرب الحد في القوة الأسية لـ ، ثم نطرح واحدًا من القوة الأسية لـ . وعند اشتقاق الدالة المثلثية، يكون لدينا:

باستخدام ذلك، نجد أن: و:

بالتعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة، يصبح لدينا:

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد قيمة المشتقة عند ؛ لذا، علينا التعويض بذلك في . ويعطينا ذلك:

بالتبسيط، نجد أن الحل هو:

مثال ٣: إيجاد مماس لمنحنى باستخدام مشتقات المعادلات البارامترية

أوجد معادلة المماس للمنحنى ، عندما تكون .

الحل

لدينا معادلتان بارامتريتان، ومطلوب منا إيجاد مماس المنحنى عند نقطة معطاة. لإيجاد معادلة المماس، علينا أولًا إيجاد ميل المماس. يمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد مشتقة المعادلتين البارامتريتين عند النقطة المعطاة. علينا استخدام صيغة إيجاد مشتقة المعادلة البارامترية، متذكِّرين أن البارمتر هو :

والآن علينا اشتقاق هاتين المعادلتين اللتين تحتويان على دالة مثلثية، وهو ما يعطينا: و:

وبالتعويض بهاتين المشتقتين في الصيغة، نحصل على:

ويمكن تبسيط ذلك أكثر ليعطينا المشتقة:

لإيجاد ميل المماس عند ، علينا التعويض بذلك في المعادلة التفاضلية. عندما نقوم بذلك، يصبح لدينا:

والآن بعد أن أوجدنا ميل المماس، علينا إيجاد النقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى. ويمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد قيم ، عند . بالتعويض بقيمة في المعادلتين ، يصبح لدينا:

والآن بعد أن أوجدنا ميل المماس، الذي يساوي ۲، والنقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى، ، يمكننا تكوين المعادلة. يمكننا استخدام الصيغة: حيث هو ميل المماس، و هي النقطة التي يمس عندها خط المماس المنحنى. يعطينا ذلك:

بعد ذلك، يمكننا نقل كل الحدود إلى الطرف الأيمن من المعادلة:

وأخيرًا، نقوم بالتبسيط لنصل إلى الحل:

مثال ٤: إيجاد قيمة متغيِّر يجعل لمنحنى ذي معادلات بارامترية مماسًّا رأسيًّا

أوجد قيمة التي عندها يكون للمنحنى ، مماس رأسي.

الحل

لكي يكون للمنحنى مماس رأسي، يجب أن يساوي ميله ما لا نهاية. بما أن هذا قد يبدو أمرًا مجردًا إلى حد ما، إذن يمكن أن تساعدنا صيغة مشتقة المعادلة البارامترية. نعلم أن:

تزداد قيمة هذه المشتقة أكثر فأكثر كلما أصبحت قيمة أصغر فأصغر. ومن ثَمَّ، فإن المشتقة وميل المماس يقتربان من ما لا نهاية كلما اقتربت قيمة من الصفر.

دعونا نُوجِد قيم التي تجعل . يمكننا أن نبدأ باشتقاق بالنسبة إلى . ونحصل من ذلك على:

علينا الآن أن نجعل هذه المشتقة تساوي صفرًا، ثم نحلها لإيجاد قيم . لدينا:

يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية، الذي يخبرنا أن حل المعادلة التربيعية على الصورة هو:

في هذه الحالة، ، ، ؛ ولذلك:

يمكننا الآن فصل الحلين الناتجين عن علامتَي الزائد والناقص. أولًا، باستخدام علامة الزائد:

وثانيًا، باستخدام علامة الناقص:

وعليه، فإن قيمتَي اللتين تجعلان المنحنى له مماسات رأسية هما ، .