فيديو السؤال: فهم نظرية القيمة القصوى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

صواب أم خطأ: تنص نظرية القيمة القصوى على أن الدوال المتصلة فقط على فترات محدودة مغلقة تكون ذات قيمتين عظمى وصغرى؟

في هذا السؤال، لدينا عبارة تتعلق بنظرية القيمة القصوى، وعلينا تحديد إذا ما كانت هذه العبارة صحيحة أم خاطئة. من المثير للدهشة أن هناك عدة طرق مختلفة للإجابة عن هذا السؤال. وأسهل طريقة هي استرجاع ما تنص عليه تحديدًا نظرية القيمة القصوى. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نحلل العبارة المعطاة في السؤال.

تنص هذه العبارة على أن الدوال المتصلة فقط على فترات محدودة مغلقة تكون ذات قيمتين عظمى وصغرى. وهناك العديد من الشروط المختلفة لكي تكون هذه العبارة صحيحة. على سبيل المثال، بما أن هذه العبارة تنص على أن هذا ينطبق فقط على الدوال المتصلة، فإذا أثبتنا أن هذا ينطبق على دالة غير متصلة، فإن العبارة ستكون خاطئة.

وبالمثل، يمكننا أيضًا التحقق من ذلك في أي دالة متصلة على فترة مفتوحة أو دالة متصلة على فترة غير محدودة. في الحقيقة، تدفعنا هذه الشروط إلى التفكير في العديد من الأمثلة المناقضة لهذه العبارة. ويمكننا أن نستعرض بعضها الآن. أولًا: انظر إلى الدالة الثابتة لواحد. يمكننا رسم منحنى هذه الدالة على المستوى الإحداثي. وهو خط أفقي لـ ﺹ يساوي واحدًا. وبما أن هذه دالة ثابتة، فإننا نعرف أنها دالة متصلة. لكن بدلًا من أن نتناول هذه الدالة على فترة محدودة مغلقة، سنتناولها على مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، وهي مجموعة غير محدودة.

نلاحظ في تعريف الدالة أو من منحناها أنها ذات قيمتين عظمى وصغرى. القيمة العظمى لهذه الدالة واحد، والقيمة الصغرى أيضًا واحد؛ لأن جميع مخرجات الدالة واحد. وعليه، نجد أن الدالة التي لدينا على وجه التحديد ذات قيمتين عظمى وصغرى.

لكن العبارة المعطاة في السؤال تنص على أن هذه الخاصية تكون للدوال المتصلة فقط على فترات محدودة مغلقة. ولدينا هنا مثال مناقض لذلك. هذه دالة على فترة غير محدودة ولها هذه الخاصية. إذن، تمكنا من إثبات أن العبارة المعطاة في السؤال لا تمثل نظرية؛ لأن لدينا مثالًا مناقضًا لها. حتى إننا لم نحتج إلى استرجاع تعريف نظرية القيمة القصوى.

تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه كان يمكننا إيجاد عدد مختلف من الأمثلة المناقضة للشرطين الآخرين. على سبيل المثال، كان يمكننا تناول الدالة نفسها على المجموعة المفتوحة من صفر إلى واحد. ومن ثم، هذا يعطينا دالة متصلة على فترة محدودة. لكنها ليست فترة مغلقة. ومرة أخرى، يظل لدينا قيمتان عظمى وصغرى.

وأخيرًا، هيا نتناول مثالًا مناقضًا آخر لمعيار الدالة المتصلة المنصوص عليه في العبارة.

لنتناول الشكل التالي للدالة المتعددة التعريف ﺹ يساوي ﺩ ﺱ؛ حيث ﺩ ﺱ يساوي واحدًا عندما يكون ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا، وﺩ ﺱ يساوي سالب واحد عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. نلاحظ من الشكل أن هذه الدالة ليست متصلة. فهناك عدم اتصال قفزي عند ﺱ يساوي صفرًا. لكن نلاحظ من الشكل أن القيمة المخرجة العظمى الممكنة للدالة هي واحد، والقيمة المخرجة الصغرى الممكنة للدالة هي سالب واحد. إذن، هذه الدالة ذات قيمتين عظمى وصغرى. لكنها ليست دالة متصلة. إذن، مرة أخرى، العبارة المعطاة في السؤال لا يمكن أن تكون صحيحة.

دعونا الآن نسترجع ما تنص عليه تحديدًا نظرية القيمة القصوى. نتذكر أن نظرية القيمة القصوى تنص على أنه إذا كانت ﺩ دالة متصلة ذات قيمة حقيقية على فترة مغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن ﺩ لها قيمتان عظمى وصغرى على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. إذن، لا تحدد نظرية القيمة القصوى خاصية تشترك فيها جميع الدوال ذات القيمتين العظمى والصغرى. بدلًا من ذلك، فإنها تحدد خاصية تشترك فيها جميع الدوال المتصلة على فترات محدودة مغلقة. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن العبارة المعطاة في السؤال خاطئة.