فيديو: القيم القصوى المطلقة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة محددة باستخدام المشتقات.

١٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة محددة باستخدام المشتقات. في هذه المرحلة، ينبغي أن تكون قد أتقنت كيفية إيجاد نقاط القيم العظمى والصغرى النسبية أو المحلية عند تقييم طبيعتها باستخدام المشتقات. وسنوسع نطاق هذه الأفكار ليشمل أيضًا إيجاد نقاط القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة، أو بعبارة أخرى، التي عندها أعلى قيمة وأدنى قيمة للدالة.

نبدأ باسترجاع نظرية القيمة القصوى. تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، فإنه يوجد عددان ‪𝑐‬‏ و‪d‬‏، وتكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑐‬‏ قيمة أكبر من أو تساوي ‪𝑎‬‏، وأصغر من أو تساوي ‪𝑏‬‏. إذن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑐‬‏ قيمة عظمى مطلقة للدالة، والدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪d‬‏ قيمة صغرى مطلقة للدالة على هذه الفترة المغلقة.

بعبارة أخرى، إذا كان لدينا دالة متصلة على فترة مغلقة ما، فإننا نكون على يقين أنه عند نقطة ما في هذه الفترة ستكون للدالة قيمة عظمى مطلقة، وقيمة صغرى مطلقة. هذه النظرية مهمة لإيجاد نقاط القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة. وهذا يعني أننا لن نبحث أبدًا عن شيء غير موجود. يمكننا القول إنه يتم الحصول على هذه القيم القصوى المطلقة إما عند موضع أو مواضع وجود نقاط حرجة، أو عند طرفي الفترة.

وهذا يعني أن ثمة بضع خطوات يمكن أن تساعدنا في إيجاد نقاط القيم القصوى المطلقة لدالة متصلة ‪𝑓‬‏. نبدأ بإيجاد جميع النقاط الحرجة في الفترة المغلقة ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏. ثم نوجد قيم الدالة عند هذه النقاط الحرجة. وبعدها، نوجد قيمتي الدالة عند طرفي الفترة. نبحث هنا عن القيم التي قد تكون أصغر من أي قيمة صغرى نسبية أو أكبر من أي قيمة عظمى نسبية. لنلق نظرة على كيفية تطبيق هذه العملية من خلال مثال.

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪13‬‏ في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى اثنين.

تذكر أنه لإيجاد القيم القصوى المطلقة لدالة متصلة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإننا نتبع ثلاث خطوات. نبدأ بإيجاد جميع النقاط الحرجة في الفترة المغلقة. ثم نوجد قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند هذه النقاط الحرجة. ونتحقق بعدها من وجود القيم القصوى المطلقة — سواء العظمى أو الصغرى — عند الطرفين، وهي القيم التي قد تكون أصغر من أي قيمة صغرى نسبية أو أكبر من أي قيمة عظمى نسبية. توجد النقاط الحرجة عندما تساوي مشتقة الدالة صفرًا، أو تكون غير موجودة. لنبدأ إذن بإيجاد مشتقة الدالة.

تكتب مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على الصورة: ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، وهذا يساوي أربعة في اثنين ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة ناقص اثنين في ثمانية ‪𝑥‬‏. وبالطبع، فإن مشتقة سالب ‪13‬‏ تساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن مشتقة الدالة تساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ‪16𝑥‬‏. نساوي هذا بصفر ونحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. والآن، نأخذ عاملًا مشتركًا من التعبير في الطرف الأيمن لنحصل بذلك على ثمانية ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين.

ونجد أنه لكي تساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين صفرًا، لا بد أن تساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ صفرًا، وهو ما يعني أن ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. أو أن ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين يساوي صفرًا. عند حل هذه المعادلة، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التربيعي الموجب والسالب لاثنين. إذن، تقع النقاط الحرجة للدالة عند: ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، و‪𝑥‬‏ يساوي سالب جذر اثنين، و‪𝑥‬‏ يساوي موجب جذر اثنين.

أما عن الخطوة الثانية، فهي إيجاد قيم الدالة عند هذه النقاط الحرجة. وهي: ‪𝑓‬‏ لصفر، و‪𝑓‬‏ لجذر اثنين، و‪𝑓‬‏ لسالب جذر اثنين. ‏‏‪𝑓‬‏ لصفر يساوي اثنين في صفر أس أربعة ناقص ثمانية في صفر تربيع ناقص ‪13‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪13‬‏. ‏‏‪𝑓‬‏ لجذر اثنين يساوي اثنين جذر اثنين أس أربعة ناقص ثمانية جذر اثنين تربيع ناقص ‪13‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪21‬‏. وبالطبع، فإن ‪𝑓‬‏ لسالب جذر اثنين يساوي سالب ‪21‬‏ أيضًا. هذا في حد ذاته لا يساعدنا كثيرًا. يبدو بالفعل أن كلًا من سالب ‪21‬‏ وسالب ‪13‬‏ قيمة قصوى محلية، ولكن علينا أن نعرف ما إذا كان كل منهما قيمة قصوى مطلقة.

إذن سنوجد قيمة الدالة عند طرفي الفترة. تذكر أن هذا لأننا نعلم أنه إذا كانت لدينا دالة متصلة على فترة مغلقة ما ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏، فإننا على يقين أنه عند نقطة ما في هذه الفترة ستكون للدالة قيمة عظمى مطلقة، وقيمة صغرى مطلقة. ويتم الحصول على هذه القيم القصوى المطلقة إما عند موضع أو مواضع وجود قيم قصوى محلية، أو عند طرفي الفترة.

إذن سنوجد قيمة ‪𝑓‬‏ لسالب واحد و‪𝑓‬‏ لاثنين. ‏‏‪𝑓‬‏ لسالب واحد يساوي اثنين في سالب واحد أس أربعة ناقص ثمانية في سالب واحد تربيع ناقص ‪13‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪19‬‏. ‏‏‪𝑓‬‏ لاثنين يساوي اثنين في اثنين أس أربعة ناقص ثمانية في اثنين تربيع ناقص ‪13‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪13‬‏. يمكننا أن نلاحظ هنا بوضوح أن القيمة العظمى المطلقة للدالة في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى اثنين تساوي سالب ‪13‬‏. والقيمة الصغرى المطلقة تساوي سالب ‪21‬‏. يتضمن هذا المثال اشتقاقًا بسيطًا جدًا، ولذا سنلقي نظرة على مثال آخر يتضمن خطوات اشتقاق أكثر.

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية في الفترة المغلقة من اثنين إلى ستة.

تذكر أنه لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في فترة مغلقة، فإننا نتبع ثلاث خطوات. نبدأ بإيجاد أي نقاط حرجة في الفترة المغلقة. ثم نوجد قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند هذه النقاط الحرجة. ثم نتحقق من وجود القيم القصوى المطلقة — سواء العظمى أو الصغرى — عند الطرفين، أو بعبارة أخرى، القيمتين اللتين تكونان أصغر من القيمة الصغرى النسبية أو أكبر من القيمة العظمى النسبية.

تذكر أن النقاط الحرجة هي النقاط التي تقع على منحنى الدالة في الموضع الذي عنده تساوي المشتقة صفرًا، أو تكون غير موجودة. إذن علينا إيجاد مشتقة الدالة ومساواتها بالصفر. ولكن كيف نشتق ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية؟ في الواقع، لدينا عدة طرق يمكننا استخدامها. ولكن بما أن لدينا خارج قسمة دالتين قابلتين للتفاضل، يمكننا استخدام قاعدة خارج القسمة.

تنص القاعدة على أن مشتقة خارج قسمة الدالتين القابلتين للتفاضل ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع. بسط الكسر لدينا هو ‪𝑥‬‏، إذن نفترض أن ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏، و‪𝑣‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. ‏‏‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا. و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اثنين.

وبالتالي، مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي اثنان ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏، وهو ما يساوي واحدًا، ناقص ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏، وهذا يساوي ‪𝑥‬‏ في اثنين الكل على ‪𝑣‬‏ تربيع، وهو ما يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية الكل تربيع. يمكننا القول إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ثمانية على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية الكل تربيع. نساوي هذا بصفر ونحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. لكن انظر لما يحدث عند القيام بذلك.

لكي يساوي كسر جبري ما صفرًا، يجب أن يساوي البسط نفسه صفرًا. في هذه المسألة، نحصل في النهاية على المقدار صفر يساوي ثمانية، وهو ما نعلم أنه غير منطقي. هذا يعني أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في هذه الحالة لا يمكن أن يساوي صفرًا. لا توجد لدينا نقاط انقلاب لإيجاد قيمتها. وبالتالي، ننتقل مباشرة إلى الخطوة الثالثة ونوجد قيمة الدالة عند طرفي الفترة. وهما: ‪𝑓‬‏ لاثنين، و‪𝑓‬‏ لستة.

‏‏‪𝑓‬‏ لاثنين يساوي اثنين على اثنين في اثنين زائد ثمانية، وهذا يساوي اثنين على ‪12‬‏، ويبسط ذلك إلى واحد على ستة. ‏‏‪𝑓‬‏ لستة يساوي ستة على اثنين في ستة زائد ثمانية. وهذا يساوي ستة على ‪20‬‏، وهو ما يبسط إلى ثلاثة على ‪10‬‏. ثلاثة على ‪10‬‏ أكبر من سدس، ومن ثم يمكننا القول إن القيمة العظمى المطلقة للدالة هي ثلاثة على ‪10‬‏، والقيمة الصغرى المطلقة هي سدس. نرجع بالذاكرة إلى الوراء قليلًا.

قلنا إن النقاط الحرجة للدالة توجد عند الموضع الذي تكون فيه المشتقة غير موجودة، وثمة نقطة واحدة للدالة حيث تكون المشتقة غير موجودة. وهي النقطة التي يكون عندها اثنان ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية يساوي صفرًا، أو ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة. وبما أن هذا خارج نطاق الفترة المغلقة من اثنين إلى ستة، فلا داعي للقلق بشأن هذه النقطة الحرجة. ويمكننا التركيز فقط على طرفي الفترة ‪𝑓‬‏ لاثنين، و‪𝑓‬‏ لستة.

في المثال التالي، سنرى كيفية تطبيق هذه العملية على إيجاد القيم القصوى المطلقة لدوال متعددة التعريف.

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع؛ إذا كان ‪𝑥‬‏ أصغر من أو يساوي اثنين، واثنين ناقص تسعة ‪𝑥‬‏؛ إذا كان ‪𝑥‬‏ أكبر من اثنين، في الفترة المغلقة من واحد إلى ستة.

تذكر أنه لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدوال المتصلة، فإننا نتبع ثلاث خطوات. نبدأ بإيجاد أي نقاط حرجة في الفترة المغلقة المعطاة. ثم نوجد قيم الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند هذه النقاط الحرجة. وبعدها، نتحقق من وجود القيم القصوى المطلقة — سواء العظمى أو الصغرى — عند الطرفين، وهما القيمتان اللتان تكونان أصغر من القيمة الصغرى النسبية، أو أكبر من القيمة العظمى النسبية.

لدينا مشكلة صغيرة هنا. هذه دالة متعددة التعريف. ولا نعلم بعد إذا كانت هذه الدالة المتعددة التعريف دالة متصلة أم لا. لدينا ما يفيد هنا بأن الدالة ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع، والدالة اثنين ناقص تسعة ‪𝑥‬‏؛ دالتان متصلتان. وما سنفعله إذن هو افتراض أن ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين نقطة حرجة. ولاختبار ذلك، سنوجد قيمة مشتقة الجهة اليمنى ومشتقة الجهة اليسرى للدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين.

سنبدأ بإيجاد قيمة مشتقة الجهة اليمنى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. هذا يساوي نهاية الدالة عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليمنى عند ‪𝑓‬‏ لاثنين زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لاثنين الكل على ‪ℎ‬‏. وبما أننا نبحث عن مشتقة الجهة اليمنى، فإن ما يعنينا هو الدالة المعرفة عندما يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من اثنين. وهي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ناقص تسعة ‪𝑥‬‏.

ومن ثم، نبحث عن نهاية الدالة عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليمنى لاثنين ناقص تسعة في اثنين زائد ‪ℎ‬‏ ناقص اثنين ناقص تسعة في اثنين على ‪ℎ‬‏. هذا يساوي اثنين ناقص ‪18‬‏ ناقص تسعة ‪ℎ‬‏ ناقص اثنين زائد ‪18‬‏ الكل على ‪ℎ‬‏. وهذا يبسط إلى سالب تسعة ‪ℎ‬‏ على ‪ℎ‬‏. ويمكننا التبسيط أكثر من ذلك، ومن ثم نجد أننا نبحث عن النهاية عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليمنى لسالب تسعة. ولكن هذا لا يعتمد على ‪ℎ‬‏ هنا، إذن نعلم أن هذا يساوي سالب تسعة. وبالتالي، مشتقة الجهة اليمنى هي سالب تسعة.

نكرر هذه العملية مع مشتقة الجهة اليسرى. هذه المرة، سنوجد قيمة ‪𝑓‬‏ لاثنين زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لاثنين على ‪ℎ‬‏ عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليسرى. وبالتالي، ما يعنينا هو تعريف الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ أصغر من أو يساوي اثنين. ومن ثم، نحصل على النهاية عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليسرى لستة في اثنين زائد ‪ℎ‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع ناقص ستة في اثنين ناقص ثلاثة الكل تربيع الكل على ‪ℎ‬‏. يبسط ذلك إلى تسعة زائد ستة ‪ℎ‬‏ الكل تربيع ناقص تسعة تربيع على ‪ℎ‬‏.

وعندما نوزع الأقواس، نجد أن ما يتبقى لدينا هو النهاية عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليسرى لـ ‪108ℎ‬‏ زائد ‪36ℎ‬‏ تربيع. يمكننا التبسيط بعض الشيء، ليصبح لدينا ‪108‬‏ زائد ‪36ℎ‬‏. ثم نلاحظ أنه عندما يقترب ‪ℎ‬‏ من صفر من الجهة اليسرى، يتبقى لدينا ‪108‬‏.

نلاحظ أن المشتقتين اليسرى واليمنى غير متساويتين. وبالتالي، فإن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ ليست موجودة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. وبذلك، نعلم أن لدينا نقطة حرجة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. كما نعلم أن علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند هذه النقطة. ينبغي أيضًا أن نتحقق من وجود أي نقاط حرجة في كل جزء من الدالة المتعددة التعريف. ومن ثم، سنشتق كل جزء بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ ونساوي ذلك بصفر.

يمكننا استخدام القاعدة العامة للقوى لاشتقاق ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وهذا يساوي اثنين في ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. نطرح واحدًا من الأس. ثم نضرب ذلك في مشتقة ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة، وهي ستة فحسب. مشتقة هذا الجزء تساوي ‪12‬‏ في ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. ومشتقة اثنين ناقص تسعة ‪𝑥‬‏ تساوي سالب تسعة.

وبالطبع، بات واضحًا الآن أن سالب تسعة لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذن، مشتقة هذا الجزء من الدالة تساوي سالب تسعة دائمًا. ولكن يمكننا أن نجعل ‪12‬‏ في ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. وعند الحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪0.5‬‏. وبالتالي، يصبح لدينا نقطة حرجة أخرى عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪0.5‬‏. سنوجد قيمة الدالة عند النقطتين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، و‪𝑥‬‏ يساوي ‪0.5‬‏. لنفسح بعض المساحة.

‏‏‪0.5‬‏ أصغر من اثنين، ومن ثم نوجد قيمة الدالة عند هذه النقطة باستخدام ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع. عندما نعوض بـ ‪0.5‬‏، نحصل على صفر. إذن ‪𝑓‬‏ لـ ‪0.5‬‏ يساوي صفرًا. نستخدم الجزء نفسه من الدالة المتعددة التعريف لإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لاثنين. عند القيام بذلك، نحصل على ‪81‬‏. وبذلك، نكون قد وجدنا قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند النقطتين الحرجتين للدالة. علينا بعد ذلك التحقق من طرفي الفترة.

وهما: ‪𝑓‬‏ لواحد، و‪𝑓‬‏ لستة. نستخدم ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع مرة أخرى لإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لواحد. وهذا يعطينا تسعة. ولكن ستة أكبر من اثنين. إذن لإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لستة، نستخدم اثنين ناقص تسعة ‪𝑥‬‏، ونحصل على سالب ‪52‬‏. نلاحظ أن القيمة العظمى المطلقة للدالة هي ‪81‬‏، والقيمة الصغرى المطلقة هي سالب ‪52‬‏. النقطة الأساسية التي علينا أن نتذكرها هنا أننا عندما نتعامل مع دالة متعددة التعريف، يجب أن نتحقق من سلوك الدالة عند كل جزء منها. في المثال الأخير، سنرى كيف يمكن أن نطبق الأفكار المتعلقة بإيجاد القيم القصوى المطلقة على الدوال الأسية.

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة لأقرب منزلتين عشريتين للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة ‪𝑥𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏، إذا كان ‪𝑥‬‏ ينتمي إلى الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة.

تذكر أنه لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة ‪𝑓‬‏ في ‪𝑥‬‏، فإننا نتبع ثلاث خطوات. نوجد جميع النقاط الحرجة في الفترة المغلقة. ثم نوجد قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند هذه النقاط الحرجة. ثم نتحقق من وجود القيم القصوى المطلقة — سواء العظمى أو الصغرى — عند الطرفين. النقاط الحرجة هي النقاط التي عندها تساوي المشتقة صفرًا، أو تكون غير موجودة. إذن نوجد مشتقة الدالة، ونساوي ذلك بصفر.

نلاحظ أن هذا هو نفسه حاصل ضرب الدالتين القابلتين للتفاضل. إذن نستخدم قاعدة حاصل الضرب. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين القابلتين للتفاضل ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ومن ثم، نفترض أن ‪𝑢‬‏ يساوي خمسة ‪𝑥‬‏، و‪𝑣‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏. ‏‏‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي خمسة، و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏. هذا يعني أن مشتقة الدالة تساوي خمسة ‪𝑥‬‏ في سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ في خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ في واحد ناقص ‪𝑥‬‏.

لنساو هذا بصفر. خمسة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ لا يمكن أن يساوي صفرًا. نعلم أنه لكي تكون العبارة خمسة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑥‬‏ في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا صحيحة، فإن واحدًا ناقص ‪𝑥‬‏ يجب أن يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا نقطة حرجة. وبالتالي سنوجد قيمة الدالة عند هذه النقطة الحرجة وعند طرفي الدالة؛ أي ‪𝑓‬‏ لواحد، و‪𝑓‬‏ لصفر، و‪𝑓‬‏ لأربعة.

‏‏‪𝑓‬‏ لواحد يساوي خمسة في واحد في ‪𝑒‬‏ أس سالب واحد، ما يساوي ‪1.8393‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام، أو ‪1.84‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين. ‏‏‪𝑓‬‏ لصفر يساوي صفرًا. ‏‏‪𝑓‬‏ لأربعة يساوي خمسة في أربعة في ‪𝑒‬‏ أس سالب أربعة، ما يساوي ‪0.37‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين. ومن ثم، يمكننا القول إن القيمة العظمى المطلقة للدالة تساوي ‪1.84‬‏، والقيمة الصغرى المطلقة تساوي صفرًا.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه إذا كانت لدينا دالة متصلة على فترة مغلقة، فإننا نكون على يقين أنه عند نقطة ما في هذه الفترة تكون للدالة قيمة عظمى مطلقة، وقيمة صغرى مطلقة. وعرفنا أيضًا أن هذه القيم القصوى نحصل عليها إما عند موضع أو مواضع وجود قيم قصوى محلية، أو عند طرفي الفترة. وعرفنا أنه يمكننا تطبيق هذه الأفكار على الدوال الأسية والدوال التي تكون عبارة عن حواصل ضرب وخوارج قسمة لدوال أخرى قابلة للتفاضل، ولكن علينا توخي الحذر مع الدوال المتعددة التعريف لإيجاد قيمة طرفي كل جزء من الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.