شارح الدرس: القيم القصوى المطلقة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد القيم القصوى المطلقة لدالة كثيرة الحدود على فترة مغلقة

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة في الفترة .

الحل

مطلوب منا إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة على فترة مغلقة. تذكَّر أن القيم القصوى المحلية للدالة تحدث عند النقاط الحرجة، أما القيم القصوى المطلقة فيمكن أن تحدث عند طرفَي الفترة؛ لذا، علينا التحقُّق من جميع هذه النقاط لإيجاد القيم القصوى المطلقة.

أول ما علينا التحقُّق منه هو اتصال الدالة، في هذه المسألة، هي دالة كثيرة الحدود، إذن دالة متصلة عند جميع الأعداد الحقيقية. وهذا يعني أن القيم القصوى المطلقة لـ في الفترة لا بد أن تحدث عند النقاط الحرجة أو عند طرفَي الفترة.

بعد ذلك، نبدأ بإيجاد النقاط الحرجة لـ على هذه الفترة؛ تذكَّر أن هذه هي قيم عندما تساوي المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة. بالطبع، توجد مشتقة لكثيرة الحدود لأي قيمة حقيقية لـ ؛ لذا، علينا فقط إيجاد المشتقة ومساواتها بالصفر.

يمكننا فعل ذلك بإيجاد مشتقة :

بعد ذلك، نساوي هذا التعبير بالصفر، ونُوجِد الحل باستخدام التحليل:

وسنجد أن الحلول هي . تذكَّر أننا نركز فقط على النقاط الحرجة في الفترة ؛ لذا، توجد نقطتان فقط من هذه النقاط الحرجة في الفترة لدينا. وهذه النقاط هي ، .

هذان هما الموضعان المحتملان للقيم القصوى المطلقة للدالة، إذن علينا حساب قيمة الدالة عند هذين الموضعين للمقارنة بين طرفَي المنحنى:

بما أن طرفَي الفترة قد يعطياننا قيمًا قصوى مطلقة، إذن علينا التحقُّق من قيمة الدالة عند هذه النقاط:

لقد تحقَّقنا الآن من جميع النقاط الممكنة؛ حيث يمكن أن تحدث القيم القصوى المطلقة في الفترة . أكبر قيمة من هذه القيم المخرجة الأربع هي ، التي ستكون القيمة العظمى المطلقة لـ على ، وأصغر قيمة من هذه القيم المخرجة هي ، التي ستكون القيمة الصغرى المطلقة لـ على . يمكننا ملاحظة ذلك في التمثيل البياني لهذه الدالة؛ حيث تكون مقيدة على الفترة .

وهذا يعطينا الحل النهائي. في الفترة ، ستكون للدالة قيمة عظمى مطلقة تساوي عند ، ، وقيمة صغرى مطلقة تساوي عند .

مثال ٢: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة كسرية على فترة محدَّدة

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة في الفترة .

الحل

المطلوب هو إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة مغلقة. لفعل ذلك، نريد إيجاد القيم القصوى المحلية والتحقُّق أيضًا من قيمة الدالة عند طرفَي الفترة.

إذن أول ما علينا فعله هو التحقُّق من اتصال الدالة، وهذا يسمح لنا بإيجاد القيم القصوى في كل جزء من الأجزاء المتصلة على حدة. في هذه المسألة، الدالة كسرية، ونحن نعلم أن جميع الدوال الكسرية تكون متصلة عند كل النقاط باستثناء النقاط عندما يساوي مقامها صفرًا. وبالنسبة إلى هذه الدالة، هذا يحدث عند ، وهي لا تقع في الفترة .

هذا يعني أن الدالة متصلة في الفترة ، إذن، وفقًا لنظرية القيمة القصوى، يجب أن تُوجَد قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة في هذه الفترة. لإيجاد القيم القصوى المطلقة لهذه الدالة، علينا المقارنة بين قيمة الدالة عند نقاطها الحرجة وقيمتها عند طرفَي الفترة.

نبدأ بإيجاد النقاط الحرجة (أي حيث تكون المشتقة تساوي صفرًا أو غير موجودة). سنفعل ذلك باستخدام قاعدة القسمة، التي نَذكُر أنها تنص على أنه بالنسبة إلى دالتين قابلتين للاشتقاق :

بتطبيق هذا على الدالة المعطاة؛ حيث ، نحصل على:

نلاحظ أن المشتقة تُوجَد عند كل النقاط ما عدا ، التي ليست ضمن مجال الدالة؛ لذا، علينا فقط التحقُّق من قيم ؛ حيث تساوي المشتقة صفرًا. لكي يساوي هذا التعبير صفرًا، يجب أن يساوي البسط صفرًا، ولكن البسط دائمًا يساوي ٨. ومن ثَمَّ، لا توجد نقاط حرجة لهذه الدالة في هذه الفترة. وهذا يعني أن علينا التحقُّق من طرفَي الفترة فقط.

عند :

عند :

هذا يخبرنا أن لا بد أن تكون القيمة القصوى للدالة في هذه الفترة، وأن لا بد أن تكون القيمة الصغرى. ويمكننا ملاحظة ذلك في التمثيل البياني الآتي للدالة في الفترة .

تَمكَّنَّا من توضيح أن القيمة العظمى للدالة في الفترة هي عند ، والقيمة الصغرى في الفترة نفسها هي عند .

مثال ٣: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متعدِّدة التعريف في فترة محدَّدة

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة: في الفترة .

الحل

مطلوب منا إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة مغلقة، ويمكننا فعل ذلك بمقارنة قيمة الدالة عند نقاطها الحرجة بقيمتها عند طرفَي الفترة، بشرط أن تكون الدالة متصلة. إذن علينا أن نبدأ الحل بالتحقُّق من اتصال الدالة.

يمكننا ملاحظة أن الدالة متعدِّدة التعريف، وكلا جزأي الدالة كثيرا الحدود. وهذا يضمن أن ستكون متصلة دائمًا إلا عند النقاط المشتركة بين الجزأين، وفي هذه المسألة، عند . لمعرفة إذا ما كانت متصلة عند ، نتحقَّق ممَّا يحدث عند في كلا الجزأين:

وبما أنهما غير متساويين، إذن جزآ لا يلتقيان عند . بعبارة أخرى، لدينا هنا عدم اتصال قفزي.

قد يساورنا القلق أن هذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة في الفترة ، لكننا نعرف أن متصلة وتساوي عند ، وأن متصلة وتساوي عند . لذا، يمكننا التعامل مع هاتين الحالتين كلٌّ على حدة.

أولًا، عند ، . نحن نبحث عن القيم القصوى في الفترة ؛ لذا، لا بد أن تكون قيم في الفترة . ولإيجاد القيم القصوى لهذا الجزء، نريد إيجاد جميع النقاط الحرجة ثم التحقُّق من طرفَي الفترة الجديدة .

سنبدأ بإيجاد النقاط الحرجة؛ أي عندما تساوي المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة:

يمكننا ملاحظة أن هذا التعبير معرَّف لكل قيم ويساوي صفرًا عند ؛ ومن ثَمَّ، فهذه هي النقطة الحرجة الوحيدة للدالة الأولى؛ لكن ما يعنينا فقط هي قيم في الفترة . إذن، علينا فقط إيجاد قيمة عند طرفَي هذه الفترة الأولى:

لم ننتهِ بعدُ، ما زلنا بحاجة إلى معرفة ما يحدث عند .

في هذه الحالة، نعرف أن ، ونريد إيجاد القيم القصوى في الفترة . والآن، هذه مشكلة؛ لأن هذه الفترة غير مغلقة. إذن لحل هذه المشكلة، نبحث عن القيم القصوى في الفترة ، وإذا عثرنا على قيمة قصوى عند ، فسنحتاج إلى رسم تمثيل بياني لمعرفة ما يحدث هنا.

لتفادي اللبس، سنقول إن . نريد إيجاد القيم القصوى لهذه الدالة في الفترة ؛ لذا، علينا إيجاد النقاط الحرجة: ومن ثَمَّ، معرَّفة لجميع قيم ولا يمكن أن تساوي صفرًا، إذن ليس لها نقاط حرجة. هذا يعني أن علينا فقط النظر إلى طرفَي الفترة:

لقد أوجدنا الآن جميع القيم القصوى الممكنة للدالة المتعدِّدة التعريف الأصلية في الفترة ؛ لذا، ما علينا فعله الآن هو المقارنة بين هذه القيم.

نجد أن القيمة العظمى المطلقة تساوي ٨١ عند ، والقيمة الصغرى المطلقة تساوي عند . يمكننا رؤية هذه المعلومات أيضًا في التمثيل البياني للدالة في الفترة .

مثال ٤: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة محدَّدة باستخدام قاعدة حاصل الضرب

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لهذه الدالة، ويمكننا مباشرةً ملاحظة أن تمثِّل حاصل ضرب دالتين متصلتين، إذن نفسها دالة متصلة. لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة في هذه الفترة المغلقة، علينا إيجاد جميع النقاط الحرجة والتحقُّق من طرفَي فترة الدالة.

نبدأ بإيجاد جميع النقاط الحرجة، وهي تحدث عندما تساوي المشتقة صفرًا، أو تكون غير موجودة؛ ومن ثَمَّ، نبدأ باشتقاق باستخدام قاعدة الضرب.

تذكَّر أن قاعدة الضرب تخبرنا أنه إذا كانت الدالتان ، قابلتين للاشتقاق، فإن:

بتطبيق هذا على الدالة ؛ حيث ، :

هذه الدالة معرَّفة لجميع قيم في الفترة ، إذن النقاط الحرجة الوحيدة ستكون عندما تساوي المشتقة صفرًا:

نعرف أن لجميع قيم ، إذن النقطة الحرجة الوحيدة لـ تكون عند . الآن، كلُّ ما علينا فعله هو مقارنة قيمة الدالة عند النقطة الحرجة بقيمتها عند طرفَي الفترة :

وبناءً على ذلك، بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، فإن القيمة العظمى المطلقة تساوي ١٫٨٤، والقيمة الصغرى المطلقة تساوي صفرًا.

مثال ٥: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة جذرية في فترة معطاة

أوجد نقاط القيم العظمى المطلقة أو نقاط القيم الصغرى المطلقة أو كلتيهما، إن كانت موجودة، للدالة ؛ حيث .

الحل

نريد إيجاد القيم القصوى المطلقة لدالة في فترة مغلقة؛ أول شيء يمكننا ملاحظته بخصوص هو أنها تركيب دالتين متصلتين، إذن ستكون متصلة على مجالها بالكامل. نريد التحقُّق من أن معرَّفة عندما تكون ؛ ولفعل ذلك، علينا التأكد من أننا لا نأخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. يمكننا ملاحظة أن لقيم هذه؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة معرَّفة لجميع قيم في الفترة .

بما أن الدالة متصلة، إذن القيم القصوى في هذه الفترة ستكون إما عند النقاط الحرجة وإما عند طرفَي الفترة. ويمكننا التحقُّق منها كلٌّ على حدة.

لنبدأ بإيجاد النقاط الحرجة؛ وهي تحدث عندما تكون مشتقة تساوي صفرًا أو غير موجودة.

باستخدام قاعدة السلسلة أو قاعدة القوة العامة، يمكننا ملاحظة أن:

من أجل أن تساوي الدالة صفرًا، لا بد أن يساوي البسط صفرًا، لكن البسط يجب أن يظل ثابتًا عند ٣. ومن ثَمَّ، لا توجد قيمة لـ يكون عندها . ولكي تكون غير معرَّفة، علينا أن نقسم إما على صفر وإما أن نأخذ الجذر التربيعي لعدد سالب؛ ولكن لن تقع أي قيمة من قيم هذه في مجال . هذا يعني أنه لا تُوجَد نقاط حرجة للدالة .

ومن ثَمَّ، علينا فقط المقارنة بين قيم عند طرفَي الفترة :

وهذا يخبرنا أن الدالة لها قيمة صغرى مطلقة تساوي ٢، وقيمة عظمى مطلقة تساوي ٥.

يمكننا أن نرى هذه المعلومات إذا رسمنا تمثيلًا بيانيًّا لهذا المنحنى في الفترة .

تكون الدالة تزايدية في الفترة بأكملها؛ ولذا، فإن قيمتها الصغرى المطلقة هي نقطة بداية الفترة، وقيمتها العظمى المطلقة هي نقطة نهاية الفترة.