فيديو السؤال: إيجاد معادلة دالة بعد الانعكاس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح التمثيل البياني للقطع المكافئ الدالة ﺭﺱ بعد الانعكاس حول المحور ﺱ. أوجد الدالة الأصلية ﺩﺱ.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بإيجاد معادلة تعبر عن الدالة ﺭﺱ. ما لدينا هنا هو تمثيل بياني لقطع مكافئ. لكن، ماذا يخبرنا ذلك عن المعادلة الخاصة به؟ حسنًا، ستكون المعادلة التي تعبر عن ذلك معادلة تربيعية، وتكون على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. للحصول على هذا القطع المكافئ المقلوب، أي شكل n هذا، نحن نعلم أن قيمة ﺃ لا بد أن تكون سالبة. أي إنها أقل من صفر. ونعلم أيضًا أن قيمة ﺟ تعطينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى. وكما نلاحظ هنا، فإن قيمة ﺟ تساوي سالب ستة. ومن ثم، ستكون المعادلة لدينا على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ ناقص ستة.

توجد طريقتان مختلفتان يمكننا بهما إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. الطريقة الأولى هي اختيار زوجين من الإحداثيات يقعان على المنحنى، وكتابة نظام يتكون من معادلتين خطيتين وحلهما. والطريقة الثانية هي استخدام إحداثيات الرأس. سنستخدم الطريقة الأولى، ثم سنستخدم إحداثيات الرأس للتحقق من إجابتنا. بما أن أربعة مربعات صغيرة تمثل وحدتين، فإننا نعرف أن مربعين صغيرين يمثلان وحدة واحدة. وهذا يعني أن المنحنى يمر بالنقطتين واحد، سالب خمسة؛ واثنان، سالب ستة. بعبارة أخرى، عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺹ يساوي سالب خمسة. وعندما يكون ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ يساوي سالب ستة.

بهذا، تكون المعادلة الأولى التي حصلنا عليها باستخدام زوج الإحداثيات واحد، سالب خمسة هي سالب خمسة يساوي ﺃ في واحد تربيع زائد ﺏ في واحد ناقص ستة. يمكننا تبسيط ذلك إلى سالب خمسة يساوي ﺃ زائد ﺏ ناقص ستة. وبإضافة ستة إلى كلا الطرفين بعد ذلك، نحصل على واحد يساوي ﺃ زائد ﺏ. هذه هي المعادلة الأولى. دعونا نكرر هذه العملية مع زوج الإحداثيات التالي. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ستة يساوي ﺃ في اثنين تربيع زائد ﺏ في اثنين ناقص ستة، وهو ما يبسط إلى سالب ستة يساوي أربعة ﺃ زائد اثنين ﺏ ناقص ستة. يمكننا إضافة ستة إلى كلا طرفي هذه المعادلة، ثم تبسيطها بقسمة الطرفين على اثنين. وبذلك، يصبح لدينا المعادلة الثانية. وهي صفر يساوي اثنين ﺃ زائد ﺏ.

دعونا الآن نفرغ بعض المساحة ونحل نظام المعادلتين الخطيتين. بما أن معامل ﺏ في كل معادلة لم يتغير، فسنطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية. وبفعل ذلك، نجد أن اثنين ﺃ ناقص ﺃ يساوي ﺃ، وﺏ ناقص ﺏ يساوي صفرًا، وصفرًا ناقص واحد يساوي سالب واحد. ومن ثم، نجد أن ﺃ يساوي سالب واحد. سنعوض الآن بقيمة ﺃ هذه في المعادلة الأولى. سالب واحد زائد ﺏ يساوي واحدًا. وبإضافة واحد إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺏ يساوي اثنين. يمكننا الآن التعويض بذلك في المعادلة الأصلية لدينا، ونحصل بذلك على ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ستة. وتذكر أننا نتوقع الحصول على قيمة سالبة لـ ﺃ بما أن التمثيل البياني لدينا مقلوب.

حسنًا، لقد ذكرنا أنه يمكننا التحقق من ذلك باستخدام إحداثيات الرأس في التمثيل البياني؛ أي النقطة واحد، سالب خمسة. إذا كتبنا الإجابة في صورة مربع كامل، فإن هذا سيشير إلى قيمة إحداثيات الرأس. لذا دعونا نفعل ذلك لمزيد من التأكيد. سنبدأ بالتحليل بأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا خارج أول حدين. وبعد ذلك، سنكمل المربع للتعبير ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ لنحصل بذلك على ﺱ ناقص واحد الكل تربيع، ثم نطرح واحد تربيع؛ أي واحدًا. سنعيد توزيع سالب واحد، ونحصل بذلك على سالب ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد واحد ناقص ستة. وبذلك، يمكن كتابة المعادلة على الصورة ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد الكل تربيع ناقص خمسة.

هاتان القيمتان هنا، أي هذان الثابتان، تشيران إلى إحداثيات رأس المنحنى. يمكننا تغيير إشارة الحد الموجود داخل القوسين للحصول على الإحداثي ﺱ. وبفعل ذلك، نجد أن إحداثيات نقطة التحول هي واحد، سالب خمسة كما توقعنا. أصبحنا الآن نعرف معادلة المنحنى الممثل لدينا. ماذا يحدث إذن عندما نعكس هذا المنحنى حول المحور ﺱ؟ حسنًا، لنفترض أن لدينا الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. ‏ﺹ يساوي سالب ﺩﺱ هو انعكاس للمنحنى الأصلي للدالة حول المحور ﺱ. ولدينا هنا الدالة ﺭﺱ التي انعكست بالفعل حول المحور ﺱ. إذن، يمكننا عكس هذه العملية بإجراء الانعكاس مرة أخرى، وبهذا نرجع إلى منحنى الدالة الأصلية.

إذا أعدنا تعريف ﺭﺱ بأنها تساوي سالب ﺱ ناقص واحد الكل تربيع ناقص خمسة، يمكننا قول إن ﺩﺱ تساوي سالب ﺭﺱ. بعد ذلك، علينا ضرب الدالة ﺭﺱ في سالب واحد. وهذا يعطينا سالب واحد في سالب ﺱ ناقص واحد الكل تربيع ناقص خمسة. وبفك هذين القوسين بالتوزيع عن طريق الضرب في سالب واحد، نحصل على ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد خمسة. سنترك هذه المعادلة في صورة مربع كامل، وبهذا نجد أن ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد خمسة.