فيديو الدرس: التحويلات الهندسية للدوال: الانعكاس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعكس تمثيلًا بيانيًّا حول أحد المحورين ﺱ أو ﺹ بيانيًّا وجبريًّا. من الممكن أن نجري انعكاسًا لأي دالة حول أي خط مستقيم على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. لكن في هذا الفيديو، سنركز على ما يحدث لتمثيل بياني عند انعكاسه حول أحد المحورين ﺱ أو ﺹ. دعونا نبدأ بالتفكير في كيفية تفسير ذلك جبريًّا. إذا افترضنا أن لدينا الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ ممثلة على المستوى ﺱﺹ القياسي، فسنجد أنه يمكن حدوث انعكاس حول المحور ﺱ باستخدام الدالة ﺹ تساوي سالب ﺩﺱ ويمكن أيضًا حدوث انعكاس حول المحور ﺹ باستخدام الدالة ﺹ تساوي ﺩ لسالب ﺱ.

سنشرح هذين النوعين من الانعكاسات باستخدام دالة تربيعية. الدالة التربيعية ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة موضحة في التمثيل البياني. بجعل الدالة تساوي صفرًا، يصبح لدينا جذران؛ عند ﺱ يساوي واحدًا وعند ﺱ يساوي ثلاثة. انعكاس هذه الدالة حول المحور ﺱ يعني الانعكاس حول الخط الأفقي ﺹ يساوي صفرًا. عمليًّا، هذا يعني أننا نقلب التمثيل البياني حول المحور الأفقي. كما ذكرنا من قبل، نحن نعلم أن هذا يمثل الدالة سالب ﺩﺱ؛ لأن ضرب كل قيمة للدالة في سالب واحد يغير قيم ﺹ الموجبة إلى قيم سالبة والعكس صحيح. والنقاط هنا تكون على نفس البعد من المحور ﺱ لكن على الجانب المقابل. في الحالة لدينا، نجد أن هذا يساوي سالب ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة.

بتبسيط الطرف الأيسر، يصبح لدينا سالب ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ ناقص ثلاثة. نلاحظ من التمثيل البياني أن الجذرين لم يتغيرا. جذرا سالب ﺩﺱ هما ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثلاثة. نلاحظ هنا أن إشارة الحد التربيعي تغيرت من موجب إلى سالب. ونحن نعلم أن هذا صحيح؛ لأن الدالة الأصلية على شكل حرف ‪U‬‏ ولكن الدالة بعد الانعكاس على شكل حرف ‪n‬‏. يمكننا أيضًا أن نجري انعكاسًا للدالة الأصلية حول المحور ﺹ أو الخط المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. يؤثر هذا التحويل على الجذور. في الواقع، تتغير الإشارة. جذرا الدالة التربيعية الجديدة هما ﺱ يساوي سالب واحد، وﺱ يساوي سالب ثلاثة. نحن نعرف أن هذه الدالة الجديدة هي ﺩ لسالب ﺱ؛ وذلك لأن ضرب كل قيمة من قيم ﺱ في سالب واحد يغير القيم الموجبة إلى قيم سالبة والعكس صحيح. والنقاط هنا تكون على نفس البعد من المحور ﺹ لكن على الجانب المقابل.

بالتعويض عن ﺱ في الدالة الأصلية بسالب ﺱ، يصبح لدينا سالب ﺱ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في سالب ﺱ زائد ثلاثة. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد ثلاثة. هذا تمثيل بياني لدالة تربيعية على شكل حرف ‪U‬‏ جذراها عند سالب واحد وسالب ثلاثة. سنتناول الآن سؤالًا معينًا يتضمن دالة تربيعية.

انظر الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد اثنين؛ حيث ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا وأقل من ∞. يوجد ثلاثة أجزاء في هذا السؤال. أي التمثيلات البيانية الموضحة يمثل الدالة ﺩﺱ؟ أي التمثيلات البيانية الموضحة يمثل انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺱ؟ أي التمثيلات البيانية الموضحة يمثل انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺹ؟

في الشكل الموضح، توجد خمسة تمثيلات بيانية مشار إليها بالأحرف من (أ) إلى (هـ). علينا أولًا تحديد التمثيل البياني الذي يعبر عن الدالة ﺱ ناقص واحد الكل تربيع زائد اثنين، حيث يقع ﺱ في الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من واحد إلى ∞. حسنًا، يمكننا استبعاد الخيارين (ب) و(د) على الفور؛ حيث يشيران إلى أن الدالة معرفة على الفترة من سالب ∞ إلى سالب واحد. ولمعرفة أي التمثيلات البيانية الثلاثة الأخرى يمثل الدالة، يمكننا التعرف على سلوك الدالة عند قيمة محددة. من المنطقي أن نبدأ بالقيم الحدية. وفي هذه الحالة، سنحسب ﺩ لواحد. عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺩﺱ يساوي واحدًا ناقص واحد الكل تربيع زائد اثنين. هذا يساوي اثنين؛ أي إن التمثيل البياني للدالة يجب أن يمر بالنقطة واحد، اثنين. وهذا لا ينطبق إلا على التمثيل البياني (جـ). إذن، التمثيل البياني الذي يعبر عن الدالة ﺩﺱ هو (جـ).

الجزء الثاني من السؤال يطلب منا تحديد التمثيل البياني الذي يمثل انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺱ. انعكاس النقطة واحد، اثنين حول المحور ﺱ يعطينا النقطة واحدًا، سالب اثنين. يتضح إذن أن التمثيل البياني (أ) يمثل انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺱ. انعكاس النقطة واحد، اثنين حول المحور ﺹ يعطينا النقطة سالب واحد، اثنين. وهذا يؤكد أن التمثيل البياني (ب) هو انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺹ. إذن، الإجابات الثلاث هي (جـ) و(أ) و(ب).

في السؤال التالي، علينا إيجاد الانعكاس الصحيح دون وجود صيغة صريحة للدالة.

هذا هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺭﺱ. أي من الآتي‎ هو التمثيل البياني لـ ﺭ لسالب ﺱ؟ هل هو التمثيل البياني (أ) أم التمثيل البياني (ب) أم التمثيل البياني (جـ).

دعونا نبدأ بتذكر أن التمثيل البياني لـ ﺭ لسالب ﺱ سيكون انعكاسًا حول المحور ﺹ للتمثيل البياني لـ ﺭﺱ. ونلاحظ من التمثيل البياني لـ ﺭﺱ أن هذه الدالة لها جذران؛ عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة وﺱ يساوي اثنين. إننا نعلم أنه عندما نجري انعكاسًا للدالة حول المحور ﺹ، فإن إشارة الجذر تتغير. هذا يعني أن جذري ﺭ لسالب ﺱ هما ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار (أ). في الواقع، هذا هو انعكاس ﺭﺱ حول المحور ﺱ. الجزء المقطوع من المحور ﺹ للدالة ﺭﺱ يساوي ١٫٢ تقريبًا. عند انعكاس أي دالة حول المحور ﺹ، يظل الجزء المقطوع من المحور ﺹ دون تغيير. هذا يعني أنه يمكننا أيضًا استبعاد الخيار (جـ).

وعليه، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب). هذا هو التمثيل البياني للدالة ﺭ لسالب ﺱ؛ حيث يظل الجزء المقطوع من المحور ﺹ كما هو، مع تغير إشارتي الجذرين.

في السؤال التالي، علينا إيجاد معادلة دالة بمعلومية التمثيل البياني لانعكاسها حول أحد المحورين.

يوضح التمثيل البياني الخطي التالي الدالة ﺭﺱ بعد الانعكاس حول المحور ﺹ. أوجد الدالة الأصلية ﺩﺱ‏.

هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. إحدى تلك الطرق هي إيجاد معادلة الدالة ﺭﺱ الموضحة على التمثيل البياني. بما أن هذه الدالة خطية، فيمكن كتابتها على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو الميل وﺏ هو الجزء المقطوع من ﺹ. يتضح من التمثيل البياني أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو سالب أربعة. إننا نعلم أن ميل أي خط يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. باختيار النقطتين سالب أربعة، أربعة؛ وسالب اثنين، صفر، اللتين تقعان على الخط المستقيم، نجد أن الميل يساوي سالب أربعة على اثنين. وهذا يساوي سالب اثنين. إذن، معادلة الدالة ﺭﺱ هي سالب اثنين ﺱ ناقص أربعة. وقد علمنا أن ﺭﺱ هي انعكاس ﺩﺱ حول المحور ﺹ. وعليه، فإن ﺩﺱ هي أيضًا انعكاس ﺭﺱ حول المحور ﺹ.

هذا يعني أن ﺩﺱ تساوي ﺭ لسالب ﺱ. إذن، الدالة ﺩﺱ تساوي سالب اثنين مضروبًا في سالب ﺱ ناقص أربعة. يمكن تبسيط ذلك إلى اثنين ﺱ ناقص أربعة. إذن، الدالة الخطية الأصلية ﺩﺱ معادلتها هي اثنان ﺱ ناقص أربعة. هناك طريقة أخرى للحل؛ وهي رسم انعكاس الدالة ﺭﺱ على التمثيل البياني. عند انعكاس تمثيل بياني حول المحور ﺹ، فإننا نعلم أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يظل كما هو، وتتغير إشارة الجذرين. هذا يعني أن ﺩﺱ أيضًا ستقطع المحور ﺹ عند سالب أربعة، وتقطع المحور ﺱ عند موجب اثنين. وبما أن ميل هذا الخط يساوي اثنين والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب أربعة، فإن معادلة الخط المستقيم هي اثنان ﺱ ناقص أربعة. وهذا يؤكد الإجابة التي أوجدناها باستخدام الطريقة الأولى.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا سنستخدم فيه جدول قيم لتحديد انعكاس دالة ما حول أحد المحورين.

انظر الجدول الآتي للدالة ﺩﺱ. لدينا قيم ﺱ من واحد إلى أربعة، وقيم ﺩﺱ المناظرة لها من واحد إلى أربعة أيضًا. اختر جدولًا للدالة بعد الانعكاس ﺭﺱ حول المحور ﺹ.

لدينا هنا خمسة خيارات؛ من (أ) إلى (هـ). بعد أن نفرغ بعض المساحة، سنكتب القيم الموجودة في الجدول في صورة نقاط في المستوى الإحداثي. الدالة ﺩﺱ لها أربعة إحداثيات في الجدول؛ النقاط واحد، واحد؛ واثنان، اثنان؛ وثلاثة، ثلاثة؛ وأربعة، أربعة. وعلمنا من المعطيات أن الدالة ﺭﺱ هي انعكاس الدالة حول المحور ﺹ. وبانعكاس كل نقطة من نقاط ﺩﺱ حول المحور ﺹ، تصبح لدينا الإحداثيات سالب واحد، واحد؛ وسالب اثنين، اثنين؛ وسالب ثلاثة، ثلاثة؛ وسالب أربعة، أربعة. نلاحظ هنا تغير قيم الإحداثي ﺱ، في حين ظلت قيم الإحداثي ﺹ كما هي. قيم ﺱ للدالة ﺭﺱ هي سالب واحد وسالب اثنين وسالب ثلاثة وسالب أربعة، وقيم ﺭﺱ أو قيم ﺹ المناظرة لها هي واحد واثنان وثلاثة وأربعة. ومن بين الخيارات الخمسة المذكورة لدينا، نجد أن هذا يتوافق مع الخيار (د).

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لأي دالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، يمثل الانعكاس حول المحور ﺱ من خلال سالب ﺩﺱ، ويمثل الانعكاس حول المحور ﺹ من خلال ﺩ لسالب ﺱ. الانعكاس حول المحور ﺱ لا يغير جذري الدالة، لكنه يغير إشارة الجزء المقطوع من المحور ﺹ. والعكس صحيح عند الانعكاس حول المحور ﺹ. هذا يغير إشارتي الجذرين، لكنه لا يغير الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وعلى الرغم من عدم تناول ذلك في هذا الفيديو، لكن تجدر الإشارة إلى أن الانعكاس المركب حول المحور ﺱ ثم حول المحور ﺹ أو العكس يمثل على الصورة ﺹ يساوي سالب ﺩ لسالب ﺱ. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه عند حدوث انعكاس حول مستقيمات أخرى بخلاف المحور ﺱ أو المحور ﺹ، فإن ذلك يحتاج إلى استخدام طرق أخرى، ويكون التفسير الجبري غير مباشر.