شارح الدرس: التحويلات الهندسية للدوال: الانعكاس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعكس تمثيلًا بيانيًّا حول أحد المحورين أو بيانيًّا وجبريًّا.

أحد المفاهيم الأساسية في الهندسة هو تحويل شكل باستخدام التحويلات القياسية مثل الانتقال، والدوران، والانعكاس، والتمدد. غالبًا تكون هذه المفاهيم موضَّحة باستخدام المضلعات وغيرها من المفاهيم الشائعة، وعادةً ما تكون موضَّحة باستخدام أشكال مألوفة ومنتشرة، مثل المثلثات والدوائر. وبمجرد فهم هذه المفاهيم بشكل بديهي، من الشائع أن نبدأ في التعامل مع الموضوع على نحو أدق قليلًا، بهدف فهم ما يحدث للشكل بالضبط عندما يخضع لمجموعة من التحويلات. وهناك طريقة شائعة لتوضيح ذلك، وهي الإشارة إلى رءوس شكل ما، التي يمكن التعبير عنها باستخدام إحداثيات دقيقة؛ ومن ثَمَّ يمكننا تتبع هذه الانتقالات باعتبارها ناتجًا للتحويلات المُطبقة. سيُمكِّننا تناول هذا الموضوع بهذه الطريقة من فهم التحويلات بصريًّا إلى جانب المفاهيم المستمدة من الهندسة المستوية.

من نواحٍ كثيرة، يمكن التفكير في فهم تأثير التحويل على دالة ما باعتباره طريقة لتعميم النهج المُتبع أعلاه. إذا كانت الدالة مُعرفة جيدًا (إما جبريًّا أو باستخدام تمثيل بياني وصفي مناسب)، فيمكن معرفة سلوكها عند جميع النقاط، وقد نهتم إذن بسلوك الدالة عندما تتعرض لتحويلات مختلفة. وإذا كانت الدالة تُكتب بشكل قياسي على صورة صيغة أو مقدار جبري، فإنه من الطبيعي توسيع النطاق لنسأل عن كيفية تمثيل تحويل الدالة في هذا الإطار. لحسن الحظ، يمكن تفسير العديد من التحويلات باستخدام قواعد جبرية بديهية، لا سيما لبعض أنواع الانتقال والانعكاس والتمدُّد.

سيركز هذا الشارح على ما يحدث لمنحنى عند الانعكاس حول المحور أو . من الممكن أن نعكس أي دالة حول أي خط مستقيم، مثل الخط المستقيم ، أو أي خط مستقيم على الصورة . ويمكن فهم هذه الصور جميعها جبريًّا وبصريًّا، على الرغم من أن أبسط حالة هي الانعكاس حول أي محور من المحورين. وكما سنرى، هذين النوعين من الانعكاسات يسهل فهمهما بصريًّا، ولهما تفسير جبري مباشر مشابه.

كمعلومة جانبية، قد نطلب إثبات التعريف أعلاه من خلال تحقق بسيط. على سبيل المثال، نتوقع أنه إذا أجرينا انعكاسًا لدالة ما حول المحور ، ثم أجرينا انعكاسًا للدالة الجديدة مرة أخرى حول المحور ، فسنسترجع الدالة الأصلية. وبالمثل ينطبق ذلك أيضًا على الانعكاس المزدوج حول المحور . يمكننا أن نلاحظ أن هذه الخاصية يمكن التحقُّق منها من خلال القواعد الجبرية المبينة في التعريف أعلاه. افترض أننا أخذنا دالة ما وأجرينا انعكاسًا حول المحور للحصول على . استخدام التعريف سيعطينا . وإذا كنا سنُجري انعكاسًا للدالة حول المحور للحصول على دالة جديدة ، فسنجد أن ، وعليه نحصل على الدالة الأصلية، كما هو متوقع. وبالمثل، نستطيع أن نوضح أن النتيجة نفسها تتحق عند انعكاس دالة مرتين حول المحور .

سنشرح هذين النوعين من الانعكاسات باستخدام مثال لدالة تربيعية. على وجه التحديد، سنستخدم الدالة:

لهذه الدالة جذران يمكن إيجادهما عن طريق التحليل أو باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية وهما ، . برسم هذه الدالة على النطاق ينتج التمثيل البياني التالي، وهو ما يمكن إثباته عن طريق إنشاء جدول قيم أو استخدام أي برنامج قياسي لرسم التمثيل البياني. لاحظ أننا حددنا الجذرين بنقاط حمراء.

والآن، سنجري انعكاس هذه الدالة حول المحور ، وهو ما يعني الانعكاس حول المستقيم الأفقي . بمعلومية أن الدالة بسيطة إلى حَدٍّ كبير، يمكننا توقع أن يكون التأثير كما هو موضح في التمثيل البياني التالي. لاحظ أن الجذرين لا يتغيران، وأننا في الواقع «نقلب» التمثيل البياني للدالة حول المحور الأفقي.

كما هو موضح في التعريف أعلاه، يمكننا فهم هذا التحويل جبريًّا عن طريق تكوين الدالة . هذا يؤدي إلى أكثر قليلًا من مجرد تغير كلي في الإشارة لكل حد من حدود الدالة، وبما أننا عرَّفنا ، عند الانعكاس حول المحور ، يمكننا ببساطة القول إن:

وإذا أردنا، يمكننا إثبات أن هذا المقدار الجبري ينتج عنه بالفعل التمثيل البياني الموضَّح أعلاه، وأن الجذرين لم يتغيرا. وباعتبارها طريقة لتأكيد الناتج، يمكننا الآن ملاحظة أن الحد الثابت الذي يمثل الجزء المقطوع من المحور تغيرت إشارته، وهو المتوقع عند الانعكاس حول المحور . يمكننا أيضًا ملاحظة أن شكل الدالة التربيعية قد تغير من شكل الحرف (u) إلى شكل الحرف (n)، وفقًا لتغير إشارة حد .

يعتبر عادةً نوع الانعكاس هذا هو الأسهل قليلًا بين النوعين. وهندسيًّا، يسهل تصوُّر نوعي الانعكاسات بصريًّا، على الرغم من أنه عند الانعكاس حول المحور ، علينا أن نكون أكثر حرصًا. افترض أننا أخذنا الدالة الأصلية وقررنا أن نعكسها حول المحور ، وهو ما يعني أننا سنجري انعكاسًا حول المستقيم الرأسي . تطبيق هذا التحويل على الدالة الأصلية سيعطينا التمثيل البياني التالي.

لاحظ أن الجزء المقطوع من المحور لم يتغير، ولكن تغيرت إشارة الجذرين. والشكل الكلي للمعادلة التربيعية ما زال شكل الحرف «u»؛ ما يعني أن الحد التربيعي يجب أن يكون معاملًا موجبًا. لفهم كيفية التعبير عن هذه الدالة الجديدة جبريًّا وبطريقة واضحة، يمكننا التعويض بـ في الدالة الأصلية. وبفعل ذلك ينتج الآتي:

يكون هذا الناتج على الصورة التي توقعناها؛ حيث لم يتغير الجزء المقطوع من المحور ، ولا إشارة الحد التربيعي. الحد الوحيد الذي تغير هو الحد الخطي، على الرغم من أن هذا يكفي لإحداث التغير في الشكل الذي رأيناه. يمكننا التحقق من أن الرسم يطابق المعادلة الموجودة أعلاه، ويكون الجذران تحديدًا ، .

على الرغم من أننا اخترنا استخدام دالة تربيعية لشرح هذين الانعكاسين، فإننا يمكننا بسهولة اختيار أي نوع آخر من الدوال التي يمكن وصفها بطريقة صريحةً. وعادةً ما تُوضَّح مثل هذه المفاهيم باستخدام كثيرات الحدود (عادةً ما تكون خطية أو تربيعية أو تكعيبية)، على الرغم من أنه يمكننا استخدام أي دالة لهذا الغرض. سنبدأ الآن في تناول مجموعة من الأمثلة التي توضح الأفكار التي ناقشناها أعلاه.

مثال ١: تحديد التمثيل البياني لدالة وانعكاسها حول أحد المحاور

انظر الدالة ؛ حيث .

1. أيُّ التمثيلات البيانية الموضَّحة يمثِّل الدالة ؟
2. أيُّ التمثيلات البيانية الموضَّحة يمثِّل انعكاس حول المحور ؟
3. أيُّ التمثيلات البيانية الموضَّحة يمثِّل انعكاس حول المحور ؟

الحل

الجزء الأول

نحن نعلم أن ، وهو ما يعني أن الدالة غير مُعرَّفة عندما تأخذ قيمًا أقل من ١. هذا يعني أنه يمكننا استبعاد الخيارين (ب)، (د)؛ حيث يبدو أنهما مُعرَّفان في المنطقة .

بعد ذلك، يمكننا محاولة دراسة سلوك الدالة عند قيمة محددة. من المنطقي عادةً أن نبدأ بالقيم الحدية، وفي هذا السؤال سنتناول الحالة التي تكون فيها . من تعريف نجد أن: وهو ما يعني أن التمثيل البياني للدالة يجب أن يمر بالنقطة . من بين الخيارات المتبقية وهي (أ)، (جـ)، (هـ)، التمثيل البياني الوحيد الذي له هذه الخاصية هو الخيار (جـ).

الجزء الثاني

لقد انتهينا بالفعل من قدر كبير من الجزء الصعب من خلال تحديد أن الدالة تناظر الخيار (جـ). بالتحقق من التمثيل البياني أعلاه، يمكننا ملاحظة أن الانعكاس حول المحور يعطينا التمثيل البياني (أ) وأنه لا توجد أي احتمالات أخرى. بمعلومية أنه يمكن تحديد الدالة الجديدة بدلالة وبما أن قيم كلها موجبة على المجال المعطى، يجب أن تكون قيم الدالة بعد الانعكاس كلها سالبة على المجال نفسه. وهذا يؤكد أن الخيار الوحيد هو الخيار (أ).

الجزء الثالث

بالنظر إلى الدالة الأصلية الممثلة في الخيار (جـ)، وإجراء انعكاس لها حول المحور نجد أن ذلك يعطينا بوضوح الخيار (ب). للتأكد من ذلك، نتذكر أن الدالة بعد الانعكاس يمكن إيجادها برسم . يمكننا التأكد من ذلك بتذكر أن مُعرَّفة على المجال ، وهو ما يجب أن يعني أن الدالة بعد الانعكاس تكون معرفة على المجال . الخياران الوحيدان اللذان يحتويان على هذا المجال هما (ب)، (د). وبما أن قيم الدالة موجبة بالكامل، يجب أن يكون الأمر كذلك بالنسبة إلى ، وهو ما يحذف الخيار (د).

من المتوقع أن يكون الطلاب قادرين على إجراء انعكاس حول المحور أو المحور باستخدام التحويلين ، دون ضرورة ذكر أن هذا يناظر انعكاسًا معينًا. في بعض الأحيان، سيُطلب منك تصور هذه التحويلات بصريًّا دون أن تحصل بالفعل على صيغة صريحة للدالة نفسها أو دون أن يخبرك السؤال مباشرةً بأنه مطلوب منك فعلًا إجراء انعكاس. سنرى ذلك في المثال التالي.

مثال ٢: تحديد التمثيل البياني لدالة بعد انعكاسها الموضَّح جبريًّا

هذا هو التمثيل البياني للدالة .

أيٌّ من الآتي هو التمثيل البياني للدالة ؟

الحل

نحن نعلم أن الدالة سوف تناظر انعكاسًا حول المحور . بعبارة أخرى، علينا إجراء انعكاس حول الخط المستقيم . وهذا سيتسبب في تغير في إشارة الجذرين لكنه لن يغير الجزء المقطوع من المحور . في الدالة ، يبدو أن هناك جذرًا واحدًا عند وجذرًا مزدوجًا عند ، بمعنى أن الدالة يجب أن يكون لها جذر مفرد عند وجذر مزدوج عند . الخيار الوحيد الذي يحقق هذه الخاصية وكذلك يحافظ على الجزء المقطوع من المحور هو الخيار (ب).

للتوضيح من خلال المثال السابق، تجدر الإشارة إلى أن التمثيل البياني في الخيار (أ) نتج بوضوح من انعكاس الدالة حول المحور ، الذي يناظر التمثيل البياني . وكتدريب متروك للقارئ، يبدو أن التمثيل البياني للخيار (ج) هو الدالة الأصلية بعد أن انعكست حول المحور ، ثم انعكست مرة أخرى حول المحور (أو العكس صحيح). من الممكن رسم هذه الدالة باستخدام التحويل ، وسوف نتناول هذا الأمر مرة أخرى في مثال لاحق.

مثال ٣: إيجاد معادلة دالة بمعلومية التمثيل البياني لانعكاسها حول أحد المحاور

يوضِّح التمثيل البياني الخطي التالي الدالة ، بعد الانعكاس حول المحور . أوجد الدالة الأصلية .

الحل

ينقسم حل هذه المسألة إلى خطوتين. أولًا، نحدد معادلة الخط المستقيم المرسوم في التمثيل البياني أعلاه. بعد ذلك، نستخدم الخواص الجبرية المعروفة لاسترجاع الدالة . أخبرنا السؤال أننا حصلنا على الدالة باجراء انعكاس للدالة حول المحور . هذا يعني أننا أجرينا انعكاسًا حول الخط المستقيم ؛ وهو ما يعطينا العلاقة التي ستكون مفيدة لاحقًا.

يتضح أن الدالة لها جزء مقطوع من المحور يساوي وجذر مفرد عند . بعبارة أخرى بدلالة الإحداثيات، هذا يعني أن الخط المستقيم يمر بالنقطتين ، اللتين نرمز لهما بـ ، على الترتيب. هناك طرق متعددة لايجاد معادلة هذا الخط المستقيم بمعلومية المعطيات لدينا، لكن إحدى الطرق هي حل المعادلة الآتية لإيجاد مقدار لـ :

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على: وهو ما يمكن حله ليعطينا . هذا يعني أن الدالة التي تعنينا هي . وبذلك، نكون قد أكملنا الجزء الأول من السؤال.

يمكننا الآن إكمال الجزء الثاني من السؤال بتذكر أن الدالة مستنتجة من دالة أخرى بعد الانعكاس حول المحور . بعبارة أخرى، يكون لدينا . عن طريق التعويض بـ في ، نحصل على:

لاحظ أن قيمة الجزء المقطوع من المحور لم تتغير، لكن يوجد تغير في إشارة الجذر المفرد. الجذر الوحيد للدالة هو ، بينما يكون الجذر الوحيد للدالة هو .

تساعد المسائل مثل الواردة في المثال السابق في دمج مناطق متعددة من الرياضيات في عملية شاملة واحدة. في المثال السابق، كان علينا إيجاد معادلة خط مستقيم باستخدام نقطتين، ثم استخدام التعويض الجبري الصحيح للحصول على انعكاس مناسب، ثم كتابة دالة جديدة كنتيجة لذلك. بشرط أن نتعامل مع خطوط مستقيمة، لن تكون هذه أبدًا تجربة معقدة للغاية، حيث تتوفر العديد من طرق إيجاد معادلة الخط المستقيم. لكن استخدام التعويض الجبري الفعلي، ثم استنتاج الدالة الجديدة قلما يكون أصعب بكثير من المثال السابق. في المثال التالي، ننظر مرة أخرى إلى حل مسألة مثل هذه، لكن هذه المرة باستخدام دالة تربيعية يجب إيجاد معادلتها قبل إجابة بقية السؤال. مرة أخرى، يوجد العديد من الطرق الممكنة للحصول على التعبير الدقيق للدالة التربيعية، التي تعتمد إلى حد كبير على التفضيل الشخصي.

مثال ٤: إيجاد معادلة دالة بمعلومية التمثيل البياني لانعكاسها حول أحد المحاور

يوضِّح التمثيل البياني للقطع المُكافِئ الدالة بعد الانعكاس حول المحور . أوجد الدالة الأصلية .

الحل

سنجيب عن هذا السؤال في جزأين. أولًا، سنوجد الدالة التربيعية كما هو موضح في التمثيل البياني أعلاه. بعد ذلك، سنستخدم معرفتنا بتحويلات الدالة لإيجاد تعبير للدالة .

هناك طرق متعددة يمكننا استخدامها لإيجاد معادلة الدالة التربيعية في الرسم أعلاه. يمكننا أن نلاحظ أن الدالة لها جزء مقطوع من المحور يساوي ، وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام النقطة . بالإضافة إلى ذلك، يبدو أن هناك قيمة عظمى محلية عند النقطة . ويمكننا أيضًا استنتاج أن المنحنى يمر بالنقطة . يمكننا استخدام هذه الأزواج الإحداثية الثلاثة لاستنتاج معادلة .

وبما أن هي قطع مكافئ (اسم آخر لمنحنى الدالة التربيعية)، سنبدأ بتذكر الصورة العامة للمعادلة التربيعية: حيث ، ، أعداد حقيقية. نحن نعلم أن التمثيل البياني يمر بالنقطة ، وهو ما يعني أنه لا بد أن يكون لدينا . بالتعويض في المعادلة التربيعية العامة أعلاه، نحصل على: وهو ما يعطينا الناتج .

بعد أن أصبحت لدينا هذه المعطيات، يمكننا استخدام النقطة المعلومة التالية وهي . وعليه، فلا بد أن يكون لدينا ، وهو ما يعطينا: حيث عوضنا بالناتج المعلوم . والتبسيط يعطينا .

توضح هذه المعادلة المعاملين المجهولين ، ويمكننا في الواقع الحصول على معادلة ثانية توضح هذين المعاملين باستخدام النقطة المعلومة . لقد جعلنا لنحصل على:

وإعادة الترتيب تعطينا . يمكننا بعد ذلك استخدام هذه المعادلة إلى جانب المعادلة لحل هاتين المعادلتين الآنيتين؛ ومن ثَمَّ إيجاد أن ، .

والآن، بما أن ، ، أصبحت قيم معلومة، يكون لدينا . عن طريق إكمال المربع أو باستخدام معرفة كيفية ارتباط قيمة عند القيمة الصغرى أو العظمى للدالة التربيعية بالمعاملات ، ، ، يمكننا إذن استنتاج تعبير أكثر إيضاحًا: وهو ما يؤكد بالفعل أن القيمة العظمى تحدث عندما تكون . والآن بعد أن أوجدنا يمكننا الحصول على بمعلومية أن هذه الدالة نستطيع إيجادها بعد إجراء انعكاس للدالة حول المحور . لإيجاد الصيغة الفعلية للدالة ، نستخدم العلاقة المناظرة: . وهذا يعطينا الإجابة النهائية:

في وقت سابق، أشرنا إلى فكرة انعكاس دالة حول المحور ثم حول المحور (أو العكس صحيح). لنفترض أن لدينا دالة ، فنحن نعلم أنه يمكننا الحصول على دالة جديدة بإجراء انعكاس للدالة حول المحور عن طريق جعل . إذا أخذنا هذه الدالة الجديدة ثم اخترنا أن نعكسها حول المحور للحصول على دالة جديدة أخرى ، إذن سنجعل في الدالة . بعبارة أخرى، سيكون لدينا وهو ما يمكننا كتابته ببساطة على الصورة . إذا كنا أجرينا الخطوات بالترتيب العكسي (بإجراء الانعكاس أولًا حول المحور ، ثم الانعكاس حول المحور )، كنا سنحصل على النتيجة نفسها بالضبط، ولكن بخطوات مرحلية مختلفة قليلًا.

تناول المثال السابق فكرة الانعكاس حول خطوط مستقيمة ليست المحور ولا المحور . تتضمن الطريقة الأساسية لحل مثل هذه المسائل التعبير عن الدالة الأصلية، ثم استخدام مصفوفة لتحويل الدالة عند الحاجة. ومن الواضح أن هذا خارج نطاق الشارح، لكن تجدر الإشارة إلى أن الانعكاس حول الخطوط المستقيمة المختلفة سيكون له هيكل جبري مختلف كثيرًا لا يمكن دائمًا التعبير عنه. على سبيل المثال، انعكاس تمثيل بياني حول الخط المستقيم يشير إلى إيجاد معكوس الدالة الأصلية، وهو ما لا يمكن تطبيقه دائمًا. في الواقع، يكون هذا ممكنًا بوجه عام فقط إذا كانت الدالة الأصلية دالة أحادية.

حتى الآن في هذا الشارح، تعاملنا مع دوالَّ مُعبَّر عنها باستخدام صيغة جبرية محددة. وبوجه عام، لقد رأينا أنه للدالة ، يمكن إيجاد انعكاسها حول المحور عن طريق تكوين دالة جديدة ، ورأينا أيضًا أنه يمكن إيجاد الانعكاس حول المحور عن طريق تكوين الدالة الجديدة . إذا كانت هذه العلاقات تنطبق على جميع قيم ، فبالتأكيد يجب أن تنطبق هذه العلاقات أيضًا على أي قيم محددة. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا جدول قيم لدالة محددة، فسنتمكن من استخدام النتائج المعروفة لفهم كيفية انعكاس هذه الدالة إما حول المحور أو المحور .

على سبيل المثال، افترض أن لدينا الدالة ، وهي مُعرَّفة بجدول القيم التالي.

يمكننا رسم هذه الإحداثيات في صورة نقاط بوضع دون محاولة ربط النقاط بأي صورة سواء منحنى أو خط مستقيم، كما هو موضح بالشكل التالي. على الرغم من أن هذه الدالة غير متصلة، يظل بإمكاننا إجراء انعكاس لها حول المحور أو المحور .

تذكر أن الانعكاس حول المحور هو نفسه الانعكاس حول الخط المستقيم ، وهو ما يعني أن أي جذور للدالة لن تتأثر. سنكوّن دالة جديدة تمثل هذا الانعكاس وسنسميها . ونحن نعرف أن ، وهو ما يجب أن يكون صحيحًا لكل قيمة معلومة. بعبارة أخرى، نعرف أن ، ، ، ، . هذا يتيح لنا تكوين جدول قيم جديد.

رسم هذه النقاط يعطينا التمثيل البياني التالي، الذي يمكننا أن نلاحظ أنه هو نفسه التمثيل البياني الأصلي بعد الانعكاس حول المحور . لاحظ أن النقطة لا تتأثر لأنها تقع على الخط المستقيم وهو ما أجرينا الانعكاس حوله للتو. وهذا يماثل قولنا إن جذري الدالة المتصلة لا يتأثران بالانعكاس حول المحور .

سنوضح الآن كيف يمكننا أن نكمل الانعكاس حول المحور . نكوّن دالة جديدة ثم نُعرِّف ، وهو ما سيعطينا الانعكاس الذي نريده. وهذا يعني أن ، ، ، ، . باستخدام جدول القيم الابتدائي للدالة ، يمكننا أن نكتب جدول القيم الجديد للدالة على النحو التالي:

برسم هذه النقاط، نحصل على التمثيل البياني التالي، وهو بالفعل الدالة الأصلية بعد انعكاسها حول المحور . النقطة لا تتغير بالانعكاس حول المحور ؛ لأن هذا يُمثِّل انعكاسًا حول الخط المستقيم الذي تقع عليه هذه النقطة. وهذا يماثل قولنا إن الجزء المقطوع من المحور للدالة المتصلة لم يتغير بعد الانعكاس حول المحور .

مثال ٧: استخدام جدول القيم لتحديد انعكاس دالة حول أحد المحاور

انظر الجدول الآتي للدالة .

	١	٢	٣	٤
	١	٢	٣	٤

اختر جدولًا للدالة بعد الانعكاس حول المحور .

1. 	١	٢	٣	٤

3. 	١	٢	٣	٤
   	١	٢	٣	٤

4. 	١	٢	٣	٤

5. 	١		٣	٤
   	١		٣	٤

الحل

سنبدأ برسم القيم في الجدول كنقاط على المستوى الإحداثي، كما هو موضح في الطرف الأيمن من الشكل. الدالة بعد الانعكاس حول المحور ، التي تُسمى مرسومة في الطرف الأيسر.

من المفترض أن تكون هذه المعطيات وحدها كافية للإجابة عن السؤال بشكل كامل، لكننا سنوضح أيضًا العملية بدقة أكبر. نتذكر أن انعكاس الدالة حول المحور للحصول على دالة جديدة يُفهم جبريًّا بدلالة العلاقة . وهذا يجب أن ينطبق على جميع قيم ، ويكون لدينا مخرجات للقيم المدخلة الأربعة فقط ، ٢، ٣، ٤. وهذا يعني أن القيم المخرجة التي يمكننا الحصول عليها فقط للدالة مقابلة للقيم المدخلة الأربعة ، ، ، . ومن ثَمَّ، نجد أن ، ، ، . بكتابة هذا في جدول القيم الجديد للدالة ، يكون لدينا ما يلي:

	١	٢	٣	٤

وهذا يناظر الخيار (د).