فيديو السؤال: استنتاج صيغة لحساب طول قوس دائرة عند استخدام القياس الدائري الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

اكتب مقدارًا يعبر عن طول قوس قياسه 𝜃 راديان، علمًا بأن المقدار الذي يعبر عن طول القوس بالدرجات هو اثنان ‏𝜋‏‎نق𝜃 على ٣٦٠.

لعلنا نتذكر أولًا أن القوس هو جزء من محيط الدائرة. والقوس له زاوية مركزية، نشير إليها عادة بالرمز 𝜃، وهي الزاوية التي يصنعها تقاطع نصفي القطرين المرسومين من طرفي القوس إلى مركز الدائرة. لدينا في هذا السؤال صيغة لحساب طول القوس عند قياس الزاوية المركزية لهذا القطاع، 𝜃، بالدرجات. ونحن نريد إيجاد صيغة يمكننا استخدامها عند قياس الزاوية بالراديان. ولكن، قبل أن نفعل ذلك، دعونا نذكر أنفسنا بكيفية استنتاج الصيغة المعطاة لنا في السؤال.

نحن نعلم أن محيط الدائرة الكاملة يعطى بالصيغة ‏𝜋‏ﻕ أو اثنين ‏𝜋‏‎نق؛ حيث نق يمثل نصف قطر الدائرة. عندما نريد إيجاد طول قوس، فهذا يعني أننا نريد إيجاد طول جزء من المحيط فقط. ويتحدد الكسر الذي يعبر عن هذا الجزء من المحيط بالزاوية المركزية 𝜃. وبما أن هناك ٣٦٠ درجة في الدورة الكاملة، فإن جزء الدائرة الذي لدينا يساوي 𝜃 على ٣٦٠. إذن، لإيجاد طول القوس، نضرب محيط الدائرة بالكامل في هذا الكسر، وهو ما يعطينا اثنين ‏𝜋‏‎نق مضروبًا في 𝜃 على ٣٦٠؛ أي اثنين ‏𝜋‏‎نق𝜃 على ٣٦٠، كما هو موضح في السؤال.

يمكننا الآن استخدام طريقتين للإجابة عن هذا السؤال. الطريقة الأولى هي اتباع الخطوات نفسها من البداية، ولكن باستخدام الراديان بدلًا من الدرجات. والطريقة الثانية هي التحويل بين الدرجات والراديان في الصيغة النهائية. دعونا نستعرض كلتا الطريقتين. في البداية، محيط الدائرة يساوي اثنين ‏𝜋‏‎نق كما ذكرنا من قبل. ويوجد اثنان ‏𝜋‏‎ راديان في الدورة الكاملة. إذن، عند قياس الزاوية المركزية 𝜃 بالراديان، فإن هذا الجزء من المحيط يساوي 𝜃 على اثنين ‏𝜋‏‎. وبضرب محيط الدائرة بالكامل في هذا الكسر، نحصل على اثنين ‏𝜋‏‎نق مضروبًا في 𝜃 على اثنين ‏𝜋‏‎.

نلاحظ أنه يمكننا حذف اثنين ‏𝜋‏‎ في البسط مع اثنين ‏𝜋‏‎ في المقام. وفي هذه الحالة، يمكن تبسيط صيغة طول القوس إلى نق𝜃 فقط. هذا يعني أننا نضرب نصف القطر نق في الزاوية المركزية 𝜃 المقيسة بالراديان. والطريقة الثانية، كما ذكرنا، هي أخذ الصيغة المعطاة لنا في السؤال للزاوية المقيسة بالدرجات، وهي اثنان ‏𝜋‏‎نق𝜃 على ٣٦٠، ثم تحويلها إلى الراديان. إذا افترضنا الآن أن الزاوية 𝜃 الموجودة في البسط تقاس بالراديان، فيمكننا التعويض عن ٣٦٠ درجة في المقام باثنين ‏𝜋‏‎ راديان. وهذا يعطينا اثنين ‏𝜋‏‎نق𝜃 على اثنين ‏𝜋‏‎. وكما سبق، نجد أن العاملين اثنين ‏𝜋‏‎ في البسط والمقام يلغي كل منهما الآخر، وبذلك يتبقى لدينا نق𝜃 فقط كما فعلنا من قبل.

إذن، نجد أن المقدار الذي يعبر عن طول قوس قياسه 𝜃 راديان هو نق𝜃. وهذا يعني أننا نضرب نصف القطر في الزاوية المركزية 𝜃.