فيديو الدرس: أطوال الأقواس الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول القوس ومحيط القطاع الدائري، ونحل مسائل تتضمن مواقف حياتية.

٢١:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول القوس ومحيط القطاع الدائري، ونحل مسائل تتضمن مواقف حياتية. دعونا نبدأ أولًا بتذكر كيفية وصف أجزاء الدائرة.

يعرف قوس الدائرة بأنه جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفي قطرين. حسنًا، لدينا هنا نصف قطر متصل بالدائرة عند النقطة ﺃ، ونصف قطر آخر متصل بالدائرة عند النقطة ﺏ. لكن بالنظر إلى الدائرة، نلاحظ أن هناك قوسين. لدينا هذا القوس الصغير الذي يقع في المسافة القصيرة بين ﺃ وﺏ، وهذا القوس الكبير. يعرف كل من هذين القوسين بالطريقة نفسها؛ فكلاهما جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفي قطرين. يمكننا التصرف في مشكلة التعريف هذه بتوضيح أن القوس الأصغر طولًا يطلق عليه: «القوس الأصغر»، والقوس الأكبر طولًا يطلق عليه: «القوس الأكبر». إذا كانت لدينا حالة فيها نصفا قطر، أو أن قياس الزاوية المركزية يساوي ١٨٠ درجة أو 𝜋 راديان، فإننا نقول إن لدينا قوسين نصف دائريين.

يمكننا الآن التفكير في كيفية إيجاد طول أي من هذين القوسين. دعونا نأخذ هذه المسألة مثالًا. لدينا نصفا قطرين يحصران جزءًا من الدائرة، وقياس الزاوية الواقعة عند المركز هنا يساوي ٩٠ درجة. ما نريد فعله هو إيجاد طول هذا القوس الأصغر. لمساعدتنا، يمكننا تذكر أن المحيط؛ وهو المسافة الخارجية المحيطة بالدائرة، يحسب بالصيغة: اثنين في 𝜋 في نصف القطر. لكننا في الواقع لا نريد حساب المسافة الكلية المحيطة بهذه الدائرة. إننا نريد هذا الجزء فقط. ونحن نعرف أن هذا الجزء يساوي ربع الدائرة. لذا، فإننا سنضرب ربعًا في اثنين في 𝜋 في نصف القطر.

تصلح هذه الطريقة مع أي زاوية مركزية معطاة، فبدلًا من أن يكون لدينا زاوية قياسها ٩٠ درجة، سيكون لدينا زاوية قياسها 𝜃، وحينئذ سنضرب المحيط في هذه النسبة؛ 𝜃 على ٣٦٠. يمكننا تعريف ذلك بطريقة أكثر منهجية بالقول إن طول القوس الذي يقابل الزاوية 𝜃 المقيسة بالدرجات في دائرة نصف قطرها نق، يعطى بالصيغة: طول القوس يساوي اثنين 𝜋نق𝜃 على ٣٦٠.

قد تلاحظ أن هذا المصطلح يوضح أن الزاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات؛ وذلك لأن هناك طرقًا أخرى يمكننا بها قياس الزوايا. إحدى هذه الطرق هي القياس بالراديان. ويمكننا أيضًا إيجاد طول القوس عندما يكون قياس الزاوية معطى بالراديان. إذا كان قياس هذه الزاوية المركزية هو 𝜃 راديان، فإنه بتذكر أن اثنين 𝜋 راديان يساوي ٣٦٠ درجة، سنجد أننا نضرب المحيط اثنين 𝜋نق في النسبة 𝜃 على اثنين 𝜋. يمكننا تبسيط هذه العملية الحسابية بالقسمة على العامل اثنين 𝜋 بسطًا ومقامًا، ليتبقى لدينا نق𝜃.

والآن، أصبح لدينا تعريف آخر مشابه. هذه المرة، طول القوس عندما تكون الزاوية المركزية مقيسة بالراديان يعطى بالصيغة: طول القوس يساوي نق𝜃. يمكننا تطبيق أي من هاتين الصيغتين، ويتوقف ذلك على ما إذا كان قياس الزاوية معطى بالدرجات أو بالراديان. في المثال الأول، سنرى كيف يمكننا إيجاد طول قوس عندما يكون قياس الزاوية معطى بالراديان.

أوجد طول القوس الأزرق، إذا كان نصف قطر الدائرة يساوي ثمانية سنتيمترات، وقياس الزاوية موضح بالراديان. قرب الناتج لأقرب منزلة عشرية.

في هذا السؤال، علينا حساب طول هذا القوس الأزرق، وهو أكبر القوسين؛ ويعرف أيضًا باسم القوس الأكبر. نحن نعلم من السؤال أن قياس الزاوية معطى بالراديان. ونعرف أن طول القوس الذي يقابل الزاوية 𝜃 المقيسة بالراديان في دائرة نصف قطرها نق يعطى بالصيغة: طول القوس يساوي نق𝜃. يمكننا بعد ذلك التعويض بالمعلومات المعطاة. نصف القطر يساوي ثمانية سنتيمترات، وقياس الزاوية يساوي أربعة 𝜋 على ثلاثة. سنضرب هذه القيم معًا. هذا يعطينا ٣٢𝜋 على ثلاثة. ولأنه طول، فإن وحدة القياس هي السنتيمتر.

يمكننا ترك الناتج بهذه الصورة. لكن هذا السؤال يطلب منا تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية. لذا علينا استخدام الآلة الحاسبة. هذا يعطينا القيمة ٣٣٫٥١٠ سنتيمترًا مع توالي الأرقام، ويمكننا تقريبها لأقرب منزلة عشرية لتصبح ٣٣٫٥ سنتيمترًا. إذن الإجابة هي أن طول القوس الأزرق يساوي ٣٣٫٥ سنتيمترًا.

في السؤال الآتي، سنرى كيف يمكننا إيجاد طول قوس في سياق واقعي.

يتأرجح بندول طوله ٢٦ سنتيمترًا بزاوية قياسها ٥٨ درجة. أوجد طول المسار الدائري الذي يقطعه البندول، واكتب الناتج بالسنتيمتر بدلالة 𝜋.

في هذا السؤال، علمنا أن لدينا بندولًا طوله ٢٦ سنتيمترًا. هذا يعني أن طول الخيط من النقطة المحورية هنا بالأعلى إلى الكرة في نهايته يساوي ٢٦ سنتيمترًا. ونحن نعلم من المعطيات أن قياس الزاوية التي يتأرجح بها البندول يساوي ٥٨ درجة. وعلمنا أنه يتحرك في مسار دائري. يمكننا رسم مخطط صغير لهذا البندول، وهذا يتيح لنا توضيح أنه إذا كان هذا البندول يتأرجح حول المسار المحيط بالكامل، فإنه في الواقع يصنع دائرة. وطول الخيط، الذي يساوي ٢٦ سنتيمترًا، سيكون نصف قطر الدائرة.

الطول الذي علينا إيجاد قيمته محدد باللون الأخضر، وهو قوس في الدائرة. وبما أن قياس الزاوية المركزية معطى بالدرجات، سنوجد طول قوس الدائرة التي نصف قطرها نق بهذه الصيغة: طول القوس يساوي اثنين 𝜋نق𝜃 على ٣٦٠؛ حيث إن قياس الزاوية المركزية 𝜃 معطى بالدرجات. يمكننا تذكر أن هذه الصيغة هي ناتج ضرب المحيط، الذي يساوي اثنين 𝜋نق، في النسبة 𝜃 على ٣٦٠ درجة.

كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بهذه القيم، نصف القطر يساوي ٢٦ سنتيمترًا، وقياس الزاوية 𝜃؛ أي الزاوية المركزية، يساوي ٥٨ درجة. يمكننا، إذا أردنا، القسمة على العامل المشترك اثنين قبل البدء في التبسيط لنحصل على الناتج؛ وهو أن طول القوس يساوي ٣٧٧ على ٤٥𝜋 سنتيمتر. في بعض الأسئلة، قد يطلب منا تقريب الطول لأقرب منزلة عشرية. لكن هذا السؤال يطلب منا إيجاد الطول بدلالة 𝜋. لذا سنترك الناتج كما هو. إذن طول المسار الدائري يساوي ٣٧٧ على ٤٥𝜋 سنتيمتر.

سنتناول الآن كيفية استخدام ما نعرفه عن طول القوس لإيجاد محيط قطاع دائري. لقد عرفنا حتى الآن أن هناك صيغتين بديلتين لإيجاد طول القوس في قطاع ما. وهاتان الصيغتان تعتمدان على ما إذا كان قياس الزاوية المركزية معطى بالدرجات أو بالراديان. لكن بالطبع قد نحتاج أحيانًا إلى إيجاد محيط القطاع. وتذكر أن ذلك هو المسافة الخارجية المحيطة. وبما أن الطولين الإضافيين هما نصفا قطر في الدائرة، فإنه لإيجاد المحيط في كل حالة، سواء أكان قياس الزاوية معطى بالدرجات أم بالراديان، سنضيف اثنين نق إلى صيغة حساب طول القوس. دعونا نتناول مثالًا على كيفية القيام بذلك.

نصف قطر دائرة يساوي سبعة سنتيمترات، وقياس الزاوية المركزية لقطاع يساوي ٤٠ درجة. أوجد محيط القطاع لأقرب سنتيمتر.

سنبدأ برسم هذا القطاع الدائري. لإيجاد المحيط؛ أي المسافة الخارجية المحيطة بالقطاع، سيكون لدينا هذان الطولان المستقيمان، وهما نصفا قطري الدائرة، وأيضًا هذا الطول؛ وهو طول قوس الدائرة. لإيجاد طول قوس دائرة عندما يكون قياس الزاوية المركزية 𝜃 معطى بالدرجات، فإننا نحسب قيمة اثنين 𝜋نق𝜃 على ٣٦٠؛ حيث نق هو نصف القطر. يمكننا بعد ذلك التعويض بالقيم الموجودة لدينا في هذه الصيغة. نصف القطر يساوي سبعة سنتيمترات، وقياس الزاوية المركزية يساوي ٤٠، والناتج المبسط سيساوي ١٤𝜋 على تسعة. ولأن هذا هو الطول، ستكون الوحدة هي السنتيمتر.

تذكر أن ما حسبناه هو طول القوس فقط، وما زال علينا حساب قيمة المحيط. لحساب المحيط، سنأخذ طول القوس الذي حسبناه بدلالة 𝜋 لنحصل على ناتج أكثر دقة. وسنضيف إليه اثنين مضروبًا في طول نصف القطر؛ وهو ما يساوي اثنين في سبعة. عندما نحسب قيمة ١٤𝜋 على تسعة زائد ١٤، يمكننا جعل الناتج بدلالة 𝜋، لكن هذه المرة مطلوب منا إيجاد الناتج لأقرب سنتيمتر، لذا علينا إيجاد عدد عشري مكافئ لقيمة المحيط، وهو ١٨٫٨٨٦ سنتيمترًا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذه القيمة لأقرب سنتيمتر، نجد أن محيط هذا القطاع يساوي ١٩ سنتيمترًا.

سنتناول الآن مثالًا معطى فيه محيط القطاع، وعلينا حساب نصف القطر.

محيط قطاع دائري يساوي ٦٧ سنتيمترًا، وقياس الزاوية المركزية يساوي ٠٫٣١ راديان. أوجد نصف قطر القطاع، مع تقريب الناتج لأقرب سنتيمتر.

يمكننا رسم هذا القطاع الدائري كما هو موضح؛ حيث قياس زاويته المركزية يساوي ٠٫٣١ راديان. وعلمنا من السؤال أن محيط هذا القطاع يساوي ٦٧ سنتيمترًا. كما نعرف أن المحيط هو المسافة الخارجية المحيطة. لإيجاد المحيط، لدينا هذان الطولان المستقيمان، وهما طولا نصفي قطري الدائرة، وسنعرفهما بـ نق، زائد هذه الحافة الخارجية، وهي طول القوس. يمكننا تعريف طول القوس هذا بالحرف ﻝ. إذن لحساب المحيط، سيكون لدينا اثنان مضروبًا في نصف القطر؛ أي اثنين نق، زائد ﻝ. بمعلومية أن المحيط يساوي ٦٧ سنتيمترًا، ستكون المعادلة لدينا هي ٦٧ يساوي اثنين نق زائد ﻝ.

لا يمكننا فعل الكثير في هذه المعادلة في الوقت الحالي؛ لأننا لا نعرف قيمة نق؛ أي نصف القطر. في الواقع، هذا ما علينا حسابه. إذن دعونا نر إذا كان بإمكاننا استخدام ﻝ؛ وهو طول القوس. إننا نعلم أنه لإيجاد طول القوس الذي يقابل الزاوية 𝜃 المقيسة بالراديان في دائرة نصف قطرها نق، فإننا نحسب طول القوس بالصيغة نق𝜃. حسنًا، طول القوس ﻝ يساوي نق𝜃، ونحن نعلم أن قياس 𝜃 يساوي ٠٫٣١ راديان. يمكننا إذن التعويض عن ﻝ بـ ٠٫٣١نق في المعادلة المذكورة سابقًا. هذا يعطينا ٦٧ يساوي اثنين نق زائد ٠٫٣١نق، وهو ما يبسط إلى ٦٧ يساوي ٢٫٣١نق. إذن لإيجاد قيمة نق، سنقسم الطرفين على ٢٫٣١.

يمكننا ترك الناتج في صورة كسر مبسط، لكن بما أن المطلوب هو إيجاد الناتج لأقرب سنتيمتر، دعونا نقرب الناتج لأقرب منزلة عشرية. حسنًا، نق يساوي ٢٩٫٠٠٤، وهكذا مع توالي الأرقام، وبما أن هذا طول، ونحن نتعامل بوحدة السنتيمتر، فإن نصف القطر نق سيكون بالسنتيمتر أيضًا. بتقريب هذا لأقرب سنتيمتر، نجد أن نصف قطر هذا القطاع يساوي ٢٩ سنتيمترًا.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نستخدم فيه المعلومات عن تقاطع مماسين لإيجاد طول قوس.

إذا كان قياس الزاوية ﺃ يساوي ٧٦ درجة، ونصف قطر الدائرة يساوي ثلاثة سنتيمترات، فأوجد طول القوس الأكبر ﺏ𝐶.

دعونا نبدأ بكتابة المعلومات المعطاة. قياس الزاوية ﺃ يساوي ٧٦ درجة، ونصف قطر الدائرة يساوي ثلاثة سنتيمترات. لعلنا نتذكر أن قوس الدائرة جزء من محيط الدائرة محصور بين نصفي قطرين. في الواقع، سيكون لدينا هنا قوسان، وكلاهما يمكن أن يطلق عليه القوس ﺏﺟ. ولهذا السبب، عندما يكون لدينا قوسان، يشار إلى القوس الأكبر طولًا بالقوس الأكبر، ويطلق على القوس الأصغر طولًا القوس الأصغر. في هذا السؤال، علينا حساب طول القوس الأكبر. لإيجاد طول القوس الأصغر أو القوس الأكبر ﺏﺟ، علينا تحديد قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس.

دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد قياس الزاوية 𝜃 باستخدام المعلومات التي نعرفها عن المماسات. يمكننا تذكر أن مماس الدائرة عند أي نقطة ﻡ يلتقي بنصف قطر الدائرة المرسوم إلى ﻡ عند ٩٠ درجة. هذا يعني أنه سيكون لدينا هنا زاوية قياسها ٩٠ درجة عند ﺟ، وزاوية قياسها ٩٠ درجة عند ﺏ. إذا أشرنا إلى مركز الدائرة بالحرف ﻭ، فسنلاحظ أن لدينا الشكل الرباعي ﺃﺏﻭﺟ. ونحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة. هذا يعني أنه يمكننا كتابة أن مجموع قياسات الزوايا الأربع في الشكل الرباعي؛ وهي ﺃ وﺏ وﻭ وﺟ، يجب أن يساوي ٣٦٠ درجة.

إذن يمكننا التعويض بقياسات الزوايا كما يأتي: قياس الزاوية ﺃ يساوي ٧٦ درجة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٩٠ درجة، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٩٠ درجة أيضًا. بالتبسيط، يصبح لدينا ٢٥٦ درجة زائد قياس الزاوية ﻭ يساوي ٣٦٠ درجة. بطرح ٢٥٦ درجة من الطرفين، نجد أن قياس الزاوية ﻭ يساوي ١٠٤ درجات. الآن وقد أوجدنا قياس الزاوية 𝜃؛ أي قياس الزاوية ﻭ، وهو ١٠٤ درجات، يمكننا حساب طول القوس. لكن لاحظ أننا إذا استخدمنا الزاوية التي قياسها ١٠٤ درجات، فسيكون طول القوس الذي نحسبه هو طول القوس الأصغر. حسنًا، هناك طريقتان لحل هذه المسألة وإيجاد طول القوس الأكبر بدلًا من ذلك.

الطريقة الأولى لحل هذه المسألة هي التفكير في قياس الزاوية المنعكسة ﻭ واستخدامها مباشرة لحساب طول القوس الأكبر. بما أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة، فإذا طرحنا ١٠٤ درجات من ٣٦٠، فسنحصل على ٢٥٦ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية المركزية في القوس الأكبر ﺏﺟ يساوي ٢٥٦ درجة. لحساب طول القوس في دائرة نصف قطرها نق، وقياس الزاوية المركزية 𝜃 بالدرجات، فإننا نحسب ذلك بهذه الصيغة؛ طول القوس يساوي اثنين 𝜋نق𝜃 على ٣٦٠. سنعوض بعد ذلك بالمعلومات الموجودة لدينا. نصف القطر نق يساوي ثلاثة سنتيمترات. ونحن نعرف أن قياس هذه الزاوية المركزية 𝜃 يساوي ٢٥٦ درجة.

بتبسيط ذلك، نحصل على طول القوس وهو ٦٤𝜋 على ١٥ سنتيمتر. يمكننا الاحتفاظ بهذا الناتج بدلالة 𝜋، أو إيجاد العدد العشري المكافئ وهو ١٣٫٤٠٤، وهكذا مع توالي الأرقام، والذي بتقريبه لأقرب منزلة عشرية نحصل على طول ﺏﺟ؛ وهو ١٣٫٤ سنتيمترًا. دعونا نكتب هذا الناتج، ونستعرض الطريقة البديلة لحساب طول القوس الأكبر. سنعود إلى الخطوة التي حسبنا فيها قياس هذه الزاوية المنفرجة؛ ﻭ يساوي ١٠٤ درجات. وبدلًا من حساب طول القوس الأكبر مباشرة، دعونا نحسب طول هذا القوس الصغير؛ أي طول القوس الأصغر. قيمة نصف القطر التي نعوض بها في الصيغة ستظل كما هي؛ ثلاثة سنتيمترات، لكن قياس الزاوية المركزية هذه المرة سيكون ١٠٤ درجات. عندما نحسب ذلك ونبسط، نحصل على الناتج ٢٦𝜋 على ١٥ سنتيمتر.

إذن كيف يمكننا إيجاد طول القوس الأكبر بعدما أوجدنا طول القوس الأصغر؟ حسنًا، تتمثل العلاقة بين طولي القوس الأكبر والقوس الأصغر في أننا إذا جمعناهما معًا، فسنحصل على محيط الدائرة. هذه هي المسافة المحيطة بالحافة الخارجية. يحسب المحيط بالصيغة: اثنان في 𝜋 في نصف القطر. في هذه الحالة، بما أن نصف القطر يساوي ثلاثة، فسيكون لدينا اثنان في 𝜋 في ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة 𝜋 سنتيمتر.

ومن ثم، لحساب طول القوس الأكبر ﺏﺟ، سيكون لدينا المحيط ناقص طول القوس الأصغر ﺏﺟ. عندما نعوض بالقيمتين اللتين أوجدناهما، يصبح لدينا ستة 𝜋 ناقص ٢٦𝜋 على ١٥، ثم نبسط، فنحصل على القيمة ٦٤𝜋 على ١٥ سنتيمتر. وهذا يعطينا القيمة نفسها التي حصلنا عليها بعد التقريب لأقرب منزلة عشرية؛ وهي ١٣٫٤ سنتيمترًا. وبذلك، نكون قد تأكدنا من الإجابة؛ وهي أن طول القوس الأكبر ﺏﺟ يساوي ١٣٫٤ سنتيمترًا، وذلك لأقرب منزلة عشرية.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد بدأنا بتعريف أن قوس الدائرة جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفي قطر. وعلمنا أنه إذا كان لدينا قوسان، فإن القوس الأكبر طولًا يعرف باسم «القوس الأكبر»، والقوس الأصغر طولًا يعرف باسم «القوس الأصغر». يمكننا الاستفادة من قياسات الزوايا المركزية لمساعدتنا في تحديد إذا ما كان القوس هو الأكبر أو الأصغر. عرفنا بعد ذلك كيف يمكننا استنتاج صيغتين لإيجاد طول القوس، واستخدام أي منهما يعتمد على ما إذا كانت الزاوية المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات أو بالراديان. وأخيرًا، عرفنا أن محيط القطاع يساوي مجموع طولي نصفي قطر وطول القوس الذي يصنع القطاع.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.