شارح الدرس: أطوال الأقواس الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: حساب طول القوس

أوجد طول القوس الأزرق إذا كان نصف قطر الدائرة يساوي ٨ سم، وقياس الزاوية موضَّح بالراديان. قرِّب الناتج لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذه المسألة، لدينا الزاوية المقابلة لقوس مقيسة بالراديان. لعلنا نتذكَّر أن طول القوس المقابل لزاوية ، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ، يُعطى بالصيغة:

نحن نعلم من السؤال أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي ٨ سم. ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بالقيمتين ، في الصيغة، لنحصل على:

وبما أن المطلوب هو تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية، إذن يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد العدد العشري المكافئ ثم تقريبه، وهو ما يُعطينا:

إذن، بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يكون طول القوس الأزرق ٣٣٫٥ سم.

مثال ٢: حل مسألة تطبيقية تتضمَّن طول القوس الذي يصنعه بندول

يتأرجح بندول طوله ٢٦ سم صانعًا زاوية قياسها . أوجد طول المسار الدائري الذي يقطعه البندول بالسنتيمترات، بدلالة .

الحل

في هذا السؤال، نعلم أن البندول يتبع مسارًا دائريًّا. هذا يعني أنه يمكننا تمثيل مسار البندول على صورة قوس دائرة. يرتكز البندول في دورانه حول نقطة واحدة؛ ومن ثَمَّ، فإن طول البندول يساوي نصف قطر الدائرة. ونحن نعلم من المُعطيات أن قياس الزاوية المركزية للقوس يساوي .

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ، وزاويته المركزية مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة:

إذن، بالتعويض بالقيمتين ، ، ثم التبسيط، نحصل على:

يمكننا ترك الناتج بدلالة لنحصل على طول المسار الدائري على الصورة سم.

وبتطبيق طريقة بديلة، يمكننا تحويل قياس الزاوية بالدرجات إلى قياسها بالراديان، ثم نستخدم الصيغة لإيجاد طول القوس المقابل لزاوية مقيسة بالراديان. نتذكَّر أنه لتحويل وحدة قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان، فإننا نضرب قياس الزاوية في . ومن ثَمَّ:

طول القوس المقابل لزاوية ، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ، يُعطى بالصيغة:

وبما أن البندول يصنع دائرة نصف قطرها ، فإنه يمكننا التعويض بذلك في الصيغة، لنحصل على:

كلتا الطريقتين تتيح لنا حساب طول المسار الدائري، وهو يساوي سم.

مثال ٣: إيجاد محيط القطاع

دائرة نصف قطرها ٧ سم، والزاوية المركزية لقطاع فيها قياسها . أوجد محيط القطاع لأقرب سنتيمتر.

الحل

يمكننا رسم هذا القطاع الدائري بالطريقة الآتية:

محيط القطاع؛ أي المسافة المحيطة بالحافة الخارجية، يساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس الذي يكوِّن القطاع:

نحن نعلم من السؤال أن طول نصف القطر يساوي ٧ سم، لكن علينا حساب طول القوس.

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ، وزاويته المركزية مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة:

نحن نعلم أن ، وقياس الزاوية المركزية . ومن ثَمَّ، بالتعويض بذلك في الصيغة السابقة، نحصل على:

يمكننا الاحتفاظ بهذه القيمة بدلالة للجزء التالي من العملية الحسابية.

لإيجاد المحيط، نعوِّض بطول نصف القطر وطول القوس في العملية الحسابية للمحيط:

ومن ثَمَّ، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تقريب هذه القيمة لأقرب سنتيمتر، ليكون الناتج أن محيط القطاع يساوي ١٩ سم.

مثال ٤: إيجاد نصف قطر القطاع الدائري بمعلومية الزاوية المركزية ومحيط القطاع

محيط قطاع دائري ٦٧ سم، وزاويته المركزية ٠٫٣١ راديان. أوجد نصف قطر القطاع لأقرب سنتيمتر.

الحل

محيط القطاع هو المسافة المحيطة بحافته الخارجية. ويساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس الذي يكوِّن القطاع. يمكننا تعريف طول القوس باعتباره ، ونكتب ذلك على الصورة:

نحن نعلم من السؤال أن المحيط يساوي ٦٧ سم، وبذلك تصبح لدينا المعادلة:

يمكننا استخدام المُعطى عن الزاوية المركزية للقطاع من أجل مساعدتنا في حساب طول القوس، ، مع ملاحظة أن قياس الزاوية بالراديان. نتذكَّر أن طول القوس، ، المقابل لزاوية ، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ، يُعطى بالصيغة:

نعوِّض الآن بالزاوية المُعطاة، ، في هذه المعادلة لإيجاد على الصورة:

بعد ذلك، بالتعويض بقيمة في المعادلة ، نحصل على:

وأخيرًا، بالتقريب لأقرب سنتيمتر، تكون الإجابة هي أن نصف قطر القطاع يساوي ٢٩ سم.

مثال ٥: إيجاد طول القوس بمعلومية مماسين متقاطعين وزاوية تقاطعهما

إذا كان ، ونصف قطر الدائرة يساوي ٣ سم، فأوجد طول القوس الأكبر .

الحل

القوس الأكبر سيكون هو القوس الذي له الطول الأكبر في القوسين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

من أجل إيجاد طول القوس الأكبر أو الأصغر ، علينا إيجاد قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس. يمكننا رسم نصفَي قطرين من النقطتين ، إلى مركز الدائرة .

نتذكَّر أن المماس لدائرة عند نقطة يقطع نصف قطر الدائرة المرسوم من صانعًا زاوية قياسها ، إذن ، . يمكننا إضافة هذه المعلومات إلى الشكل، بالإضافة إلى المُعطى الذي لدينا بأن .

نلاحظ أن لدينا الآن شكلًا رباعيًّا، ، وقياسات ثلاث زوايا بداخله. مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي شكل رباعي يساوي ؛ ومن ثَمَّ:

بالتعويض بقيم قياسات الزوايا ثم التبسيط، نحصل على:

يمكننا الآن استخدام هذه المعلومة؛ أي ، لمساعدتنا في إيجاد طول القوس الأكبر .

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ، وزاويته المركزية مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة:

إذا استخدمنا هنا ، فإن هذا يُعطينا طول القوس الأصغر . هناك خياران بديلان لإيجاد طول القوس الأكبر. في الطريقة الأولى، نُوجِد قياس الزاوية المنعكسة بحساب . وبالتعويض بالقيمتين ، في الصيغة، نحصل على:

يمكننا الاحتفاظ بهذه القيمة بدلالة ، أو بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد العدد العشري المكافئ، وهو سم، وتقريبه إلى أقرب منزلة عشرية للحصول على طول القوس الأكبر ، وهو ١٣٫٤ سم.

في الطريقة البديلة الثانية، عندما حسبنا في البداية أن ، كان يمكننا إيجاد طول القوس الأصغر بالتعويض بقيمة ، ونصف القطر ، للحصول على طول القوس الأصغر على الصورة:

إذا كان لدينا طول أيٍّ من القوسين، ونرغب في إيجاد طول القوس الآخر، فإننا نَعرِف أن مجموع طولَي القوسين يساوي محيط الدائرة. بالنسبة إلى الدائرة التي نصف قطرها ، فإن المحيط، ، يُعطى بالصيغة:

لإيجاد المحيط، نعوِّض بطول نصف القطر في الصيغة، وهو ما يُعطينا:

والآن، لإيجاد طول القوس الأكبر ، يمكننا حساب:

لقد أوضحتْ إحدى الطريقتين أن طول القوس الأكبر ، لأقرب منزلة عشرية، يساوي ١٣٫٤ سم.