تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: أطوال الأقواس الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد طول القوس ومحيط القطاع الدائري، ونحل مسائل تتضمَّن مواقف حياتية.

نبدأ بتذكُّر المصطلحات المستخدَمة لوصف أجزاء الدائرة. بدايةً، لعلنا نتذكَّر أن قوس الدائرة هو جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين. لكن إذا كان لدينا نصفا قطرين، فإن هناك قوسين ممكنين يقعان بين نصفَي القطرين. يمكننا رؤية مثال على ذلك في الشكل الآتي:

كلا القوسين يمثِّل جزءًا من محيط الدائرة يقع بين نصفَي القطرين نفسهما، ولتفادي الخلط بينهما نُشير إلى القوس الأكبر طولًا باعتباره القوس الأكبر، وإلى القوس الأصغر طولًا باعتباره القوس الأصغر.

هذا يكافئ قولنا إنه إذا كان قياس الزاوية المركزية أقل من ٠٨١، أو 𝜋 راديان، فإننا نعلم أنه القوس الأصغر. وإذا كان قياس الزاوية أكبر من هاتين القيمتين، فإنه القوس الأكبر. إذن يمكننا تعريف القوسين الدائريين على النحو الآتي.

تعريف: قوس الدائرة

قوس الدائرة هو جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين.

بمعلومية نصفَي القطرين، نُشير إلى القوس الأكبر طولًا باعتباره القوس الأكبر، وإلى القوس الأصغر طولًا باعتباره القوس الأصغر. القوس الأكبر هو القوس ذو الزاوية المركزية الكبرى.

إذا كان القوسان متساويين في الطول، فإننا نُسمِّيهما قوسين نصف دائريين. ويحدث ذلك عندما يكون قياس الزاوية المركزية ٠٨١ أو 𝜋 راديان أو ما يكافئهما، عندما يُكوِّن نصفا القطرين قطرًا.

يمكننا الآن تناوُل كيفية إيجاد طول قوس الدائرة. نفترض أن لدينا القوس الآتي:

يمكننا إيجاد طول أي قوس مقابل لزاوية بأن نتذكَّر أولًا كيف نُوجِد محيط الدائرة؛ أي المسافة الخارجية المحيطة بالدائرة.

المحيط، ، للدائرة التي نصف قطرها ؈ يُعطى بالصيغة: =٢𝜋؈.

ويمكن حساب طول القوس الأصغر الموضَّح سابقًا بضرب المحيط، ٢𝜋؈، في ١٤. في العموم، بالنسبة إلى أي قوس زاويته المركزية 𝜃، يمثِّل هذا الجزء 𝜃٠٦٣ من محيط الدائرة، ويُحسب طوله كالآتي: لاس=٢𝜋؈×𝜃٠٦٣=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.

يمكننا فعل الأمر نفسه لأي زاوية مقيسة بالراديان. إذا كان قياس الزاوية المركزية يساوي 𝜃 راديان، فإن القوس هو الجزء الذي يمثِّل 𝜃٢𝜋 من المحيط. ومن ثَمَّ، طول القوس يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٢𝜋=؈𝜃.

هذا يُعطينا الصيغتين الآتيتين لإيجاد طول أي قوس دائرة.

تعريف: طول القوس

طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالدرجات، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.

طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=؈𝜃.

نتناول الآن بعض الأمثلة على كيفية تطبيق هاتين الصيغتين، بدايةً بكيفية إيجاد طول قوس بمعلومية زاوية مقيسة بالراديان.

مثال ١: حساب طول القوس

أوجد طول القوس الأزرق إذا كان نصف قطر الدائرة يساوي ٨ سم، وقياس الزاوية موضَّح بالراديان. قرِّب الناتج لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذه المسألة، لدينا الزاوية المقابلة لقوس مقيسة بالراديان. لعلنا نتذكَّر أن طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=؈𝜃.

نحن نعلم من السؤال أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي ٨ سم. ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض بالقيمتين ؈=٨، 𝜃=٤𝜋٣ في الصيغة، لنحصل على: لاس=٨×٤𝜋٣=٢٣𝜋٣.

وبما أن المطلوب هو تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية، إذن يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد العدد العشري المكافئ ثم تقريبه، وهو ما يُعطينا: لاس=٠١٥٫٣٣٥٫٣٣.

إذن، بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يكون طول القوس الأزرق ٣٣٫٥ سم.

في المثال الآتي، نُوجِد طول القوس في سياق واقعي.

مثال ٢: حل مسألة تطبيقية تتضمَّن طول القوس الذي يصنعه بندول

يتأرجح بندول طوله ٢٦ سم صانعًا زاوية قياسها ٨٥. أوجد طول المسار الدائري الذي يقطعه البندول بالسنتيمترات، بدلالة 𝜋.

الحل

في هذا السؤال، نعلم أن البندول يتبع مسارًا دائريًّا. هذا يعني أنه يمكننا تمثيل مسار البندول على صورة قوس دائرة. يرتكز البندول في دورانه حول نقطة واحدة؛ ومن ثَمَّ، فإن طول البندول يساوي نصف قطر الدائرة. ونحن نعلم من المُعطيات أن قياس الزاوية المركزية للقوس يساوي ٨٥.

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ؈، وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.

إذن، بالتعويض بالقيمتين ؈=٦٢، 𝜃=٨٥، ثم التبسيط، نحصل على: لاس=٢𝜋(٦٢)(٨٥)٠٦٣=٦١٠٣𝜋٠٦٣=٧٧٣𝜋٥٤.

يمكننا ترك الناتج بدلالة 𝜋 لنحصل على طول المسار الدائري على الصورة ٧٧٣٥٤𝜋 سم.

وبتطبيق طريقة بديلة، يمكننا تحويل قياس الزاوية بالدرجات إلى قياسها بالراديان، ثم نستخدم الصيغة لإيجاد طول القوس المقابل لزاوية مقيسة بالراديان. نتذكَّر أنه لتحويل وحدة قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان، فإننا نضرب قياس الزاوية في 𝜋٠٨١. ومن ثَمَّ: ٨٥=٨٥𝜋٠٨١.

طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=؈𝜃.

وبما أن البندول يصنع دائرة نصف قطرها ؈=٦٢، فإنه يمكننا التعويض بذلك في الصيغة، لنحصل على: لاس=٦٢×٨٥𝜋٠٨١=٨٠٥١𝜋٠٨١=٧٧٣٥٤𝜋.

كلتا الطريقتين تتيح لنا حساب طول المسار الدائري، وهو يساوي ٧٧٣٥٤𝜋 سم.

يمكننا توسيع نطاق عملية إيجاد طول قوس دائرة ليشمل إيجاد محيط القطاع الدائري. أي قطاع في الدائرة هو جزء من الدائرة محصور بنصفَي قطرين والقوس بينهما. يمكننا تذكُّر أن محيط الشكل هو المسافة المحيطة بالحافة الخارجية.

محيط القطاع يساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس. يمكننا تعريف ذلك بالأسفل.

تعريف: محيط القطاع

محيط قطاع الدائرة التي نصف قطرها ؈، ويحصر زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات، هو: ا=٢𝜋؈𝜃٠٦٣+٢؈.

محيط قطاع الدائرة التي نصف قطرها ؈، ويحصر زاوية 𝜃 مقيسة بالراديان، هو: ا=؈𝜃+٢؈.

في المثال التالي، نتناول كيف يمكننا إيجاد محيط قطاع دائري بإيجاد طول القوس أولًا.

مثال ٣: إيجاد محيط القطاع

دائرة نصف قطرها ٧ سم، والزاوية المركزية لقطاع فيها قياسها ٠٤. أوجد محيط القطاع لأقرب سنتيمتر.

الحل

يمكننا رسم هذا القطاع الدائري بالطريقة الآتية:

محيط القطاع؛ أي المسافة المحيطة بالحافة الخارجية، يساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس الذي يكوِّن القطاع: الاس=٢؈+.

نحن نعلم من السؤال أن طول نصف القطر يساوي ٧ سم، لكن علينا حساب طول القوس.

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ؈، وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.

نحن نعلم أن ؈=٧، وقياس الزاوية المركزية 𝜃=٠٤. ومن ثَمَّ، بالتعويض بذلك في الصيغة السابقة، نحصل على: لاس=٢𝜋(٧)(٠٤)٠٦٣=٠٦٥𝜋٠٦٣=٤١𝜋٩.

يمكننا الاحتفاظ بهذه القيمة بدلالة 𝜋 للجزء التالي من العملية الحسابية.

لإيجاد المحيط، نعوِّض بطول نصف القطر ؈=٧ وطول القوس =٤١𝜋٩ في العملية الحسابية للمحيط: الاس=٢؈+.

ومن ثَمَّ، نحصل على: ا=٢(٧)+٤١𝜋٩=٤١+٤١𝜋٩=٦٨٨٫٨١.

يمكننا بعد ذلك تقريب هذه القيمة لأقرب سنتيمتر، ليكون الناتج أن محيط القطاع يساوي ١٩ سم.

في المثال التالي، نستخدم معلومات عن محيط القطاع لإيجاد نصف قطره.

مثال ٤: إيجاد نصف قطر القطاع الدائري بمعلومية الزاوية المركزية ومحيط القطاع

محيط قطاع دائري ٦٧ سم، وزاويته المركزية ٠٫٣١ راديان. أوجد نصف قطر القطاع لأقرب سنتيمتر.

الحل

محيط القطاع هو المسافة المحيطة بحافته الخارجية. ويساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس الذي يكوِّن القطاع. يمكننا تعريف طول القوس باعتباره 𞸋، ونكتب ذلك على الصورة: ا=٢؈+𞸋.

نحن نعلم من السؤال أن المحيط يساوي ٦٧ سم، وبذلك تصبح لدينا المعادلة: ٧٦=٢؈+𞸋.

يمكننا استخدام المُعطى عن الزاوية المركزية للقطاع من أجل مساعدتنا في حساب طول القوس، 𞸋، مع ملاحظة أن قياس الزاوية بالراديان. نتذكَّر أن طول القوس، 𞸋، المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: 𞸋=؈𝜃.

نعوِّض الآن بالزاوية المُعطاة، 𝜃=١٣٫٠، في هذه المعادلة لإيجاد 𞸋 على الصورة: 𞸋=؈×١٣٫٠=١٣٫٠؈.

بعد ذلك، بالتعويض بقيمة 𞸋=١٣٫٠؈ في المعادلة ٢؈+𞸋=٧٦، نحصل على: ٢؈+١٣٫٠؈=٧٦١٣٫٢؈=٧٦؈=٧٦١٣٫٢=٤٠٠٫٩٢.

وأخيرًا، بالتقريب لأقرب سنتيمتر، تكون الإجابة هي أن نصف قطر القطاع يساوي ٢٩ سم.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا استخدام معلومات عن تقاطع مماسين لإيجاد طول قوس.

مثال ٥: إيجاد طول القوس بمعلومية مماسين متقاطعين وزاوية تقاطعهما

إذا كان 𞹟󰌑󰏡=٦٧، ونصف قطر الدائرة يساوي ٣ سم، فأوجد طول القوس الأكبر 𞸁𞸢.

الحل

القوس الأكبر 𞸁𞸢 سيكون هو القوس الذي له الطول الأكبر في القوسين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

من أجل إيجاد طول القوس الأكبر أو الأصغر 𞸁𞸢، علينا إيجاد قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس. يمكننا رسم نصفَي قطرين من النقطتين 𞸁، 𞸢 إلى مركز الدائرة 𞸅.

نتذكَّر أن المماس لدائرة عند نقطة 𞸌 يقطع نصف قطر الدائرة المرسوم من 𞸌 صانعًا زاوية قياسها ٠٩، إذن 𞹟󰌑𞸁=٠٩، 𞹟󰌑𞸢=٠٩. يمكننا إضافة هذه المعلومات إلى الشكل، بالإضافة إلى المُعطى الذي لدينا بأن 𞹟󰌑󰏡=٦٧.

نلاحظ أن لدينا الآن شكلًا رباعيًّا، 󰏡𞸁𞸅𞸢، وقياسات ثلاث زوايا بداخله. مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي شكل رباعي يساوي ٠٦٣؛ ومن ثَمَّ: 𞹟󰌑󰏡+𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸅+𞹟󰌑𞸢=٠٦٣.

بالتعويض بقيم قياسات الزوايا ثم التبسيط، نحصل على: ٦٧+٠٩+𞹟󰌑𞸅+٠٩=٠٦٣٦٥٢+𞹟󰌑𞸅=٠٦٣𞹟󰌑𞸅=٠٦٣٦٥٢=٤٠١.

يمكننا الآن استخدام هذه المعلومة؛ أي 𞹟󰌑𞸅=٤٠١، لمساعدتنا في إيجاد طول القوس الأكبر 𞸁𞸢.

طول قوس الدائرة التي نصف قطرها ؈، وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات، يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.

إذا استخدمنا هنا 𝜃=٤٠١، فإن هذا يُعطينا طول القوس الأصغر 𞸁𞸢. هناك خياران بديلان لإيجاد طول القوس الأكبر. في الطريقة الأولى، نُوجِد قياس الزاوية المنعكسة 󰌑𞸅 بحساب ٠٦٣٤٠١=٦٥٢. وبالتعويض بالقيمتين 𝜃=٦٥٢، ؈=٣ في الصيغة، نحصل على: لاسا=٢𝜋(٣)(٦٥٢)٠٦٣=٦٣٥١𝜋٠٦٣=٤٦𝜋٥١.

يمكننا الاحتفاظ بهذه القيمة بدلالة 𝜋، أو بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد العدد العشري المكافئ، وهو ٤٠٤٫٣١ سم، وتقريبه إلى أقرب منزلة عشرية للحصول على طول القوس الأكبر 𞸁𞸢، وهو ١٣٫٤ سم.

في الطريقة البديلة الثانية، عندما حسبنا في البداية أن 𞹟󰌑𞸅=٤٠١، كان يمكننا إيجاد طول القوس الأصغر 𞸁𞸢 بالتعويض بقيمة 𝜃=٤٠١، ونصف القطر ؈=٣، للحصول على طول القوس الأصغر على الصورة: لاسا=٢𝜋(٣)(٤٠١)٠٦٣=٦٢𝜋٥١.

إذا كان لدينا طول أيٍّ من القوسين، ونرغب في إيجاد طول القوس الآخر، فإننا نَعرِف أن مجموع طولَي القوسين يساوي محيط الدائرة. بالنسبة إلى الدائرة التي نصف قطرها ؈، فإن المحيط، ، يُعطى بالصيغة: =٢𝜋؈.

لإيجاد المحيط، نعوِّض بطول نصف القطر ؈=٣ في الصيغة، وهو ما يُعطينا: =٢𝜋×٣=٦𝜋.

والآن، لإيجاد طول القوس الأكبر 𞸁𞸢، يمكننا حساب: لاساااةلاسا==٦𝜋٦٢𝜋٥١=٤٦𝜋٥١.

لقد أوضحتْ إحدى الطريقتين أن طول القوس الأكبر 𞸁𞸢، لأقرب منزلة عشرية، يساوي ١٣٫٤ سم.

نلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • قوس الدائرة هو جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين.
  • القوس الأكبر طولًا من بين القوسين هو القوس الأكبر، والقوس الأصغر طولًا هو القوس الأصغر. إذا كان قياس الزاوية المركزية بين نصفَي القطرين أصغر من ٠٨١، أو 𝜋 راديان، فإنها تقابل القوس الأصغر، وإذا كان قياسها أكبر من هاتين القيمتين، فإنها تقابل القوس الأكبر. إذا كان قياس الزاوية يساوي ٠٨١ بالضبط، أو 𝜋 راديان، فسيكون هناك قوسان نصف دائريين.
  • طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالدرجات، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=٢𝜋؈𝜃٠٦٣.
  • طول القوس المقابل لزاوية 𝜃، مقيسة بالراديان، في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: لاس=؈𝜃.
  • محيط القطاع يساوي مجموع طولَي نصفَي القطرين وطول القوس الذي يكوِّن القطاع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.