فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين على شبكة رسم الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يتحرك جسم في خط مستقيم. أثناء حركة الجسم تؤثر عليه قوة ثابتة. يوضح التمثيل البياني الإزاحة ‪𝐝‬‏ للجسم، والقوة المؤثرة عليه ‪𝐅‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا بوحدتي المتر والنيوتن. احسب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏.

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني يوضح متجهين يرمز لهما بـ ‪𝐝‬‏ و‪𝐅‬‏. ونعلم من السؤال أن ‪𝐝‬‏ هي إزاحة جسم ما، و‪𝐅‬‏ هي القوة المؤثرة على هذا الجسم. نعلم من المعطيات أيضًا أن هذه القوة ‪𝐅‬‏ ثابتة؛ وهو ما يعني أنها لا تتغير مع الزمن. المطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏. إذن، المطلوب هو إيجاد حاصل الضرب القياسي للقوة ‪𝐅‬‏ المؤثرة على الجسم في الإزاحة ‪𝐝‬‏ لهذا الجسم.

يمكننا تذكر أن حاصل الضرب القياسي للقوة في الإزاحة يعطينا الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة. وإذا كانت القوة تقاس بوحدة النيوتن، والإزاحة تقاس بالمتر، فإن حاصل الضرب القياسي للقوة في الإزاحة سيكون بوحدة النيوتن متر، وهي تساوي الجول؛ أي وحدة قياس الطاقة. وبما أن هذا السؤال يطلب منا حساب حاصل الضرب القياسي، فعلينا أن نتذكر أيضًا تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين.

سنتناول متجهين عامين سنرمز لهما بـ ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. إذا افترضنا أن هذين المتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، فإنه يمكننا كتابتهما بدلالة مركبتيهما؛ بحيث تكون مركبة ‪𝑥‬‏، التي يرمز إليها بحرف ‪𝑥‬‏ أسفلها، مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات زائد مركبة ‪𝑦‬‏، التي يرمز إليها بحرف ‪𝑦‬‏ أسفلها، مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات. تذكر أن ‪𝐢‬‏ هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور ‪𝑥‬‏، و‪𝐣‬‏ هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور ‪𝑦‬‏. إذن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ في مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ زائد مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ في مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏. بعبارة أخرى، حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي ‪𝑥‬‏ للمتجهين زائد حاصل ضرب مركبتي ‪𝑦‬‏ لهما.

هذا التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين يوضح أننا إذا أردنا إيجاد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏، فعلينا إيجاد مركبتي ‪𝑥‬‏ ومركبتي ‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐅‬‏ و‪𝐝‬‏. هذان المتجهان معطيان في صورة سهمين مرسومين على تمثيل بياني. ونعلم من السؤال أن طول ضلع كل مربع في هذا الشكل يساوي واحدًا بوحدتي المتر والنيوتن. هذا يعني أنه في حالة المتجه ‪𝐝‬‏، المربع الواحد في الشكل يساوي مترًا واحدًا، وفي حالة المتجه ‪𝐅‬‏، المربع الواحد يساوي واحدًا نيوتن.

إذا أضفنا محورين إلى التمثيل البياني؛ بحيث تكون نقطة الأصل عند ذيل المتجهين، فسنتمكن بسهولة من عد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاه المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وبما أننا نعلم أنه بالنسبة إلى المتجه ‪𝐝‬‏ كل مربع يساوي مترًا واحدًا، وبالنسبة إلى المتجه ‪𝐅‬‏ كل مربع يساوي واحدًا نيوتن؛ فإن عدد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاهي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ يعطينا مباشرة مركبتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لهذا المتجه.

لذلك، هيا نعد المربعات التي يشغلها كل متجه. لنبدأ بالمتجه ‪𝐅‬‏. نلاحظ أن المتجه ‪𝐅‬‏ يمتد بمقدار مربعين في الاتجاه الموجب من المحور ‪𝑥‬‏، وبمقدار أربعة مربعات في الاتجاه الموجب من المحور ‪𝑦‬‏. وبما أنه في حالة المتجه ‪𝐅‬‏ المربع الواحد يساوي واحدًا نيوتن؛فإننا نعلم أن مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐅‬‏ تساوي اثنين نيوتن، ومركبة ‪𝑦‬‏ تساوي أربعة نيوتن. إذن المتجه ‪𝐅‬‏، بدلالة مركبتيه، يساوي اثنين نيوتن ‪𝐢‬‏ هات زائد أربعة نيوتن ‪𝐣‬‏ هات.

سنفعل الآن الأمر نفسه مع المتجه ‪𝐝‬‏. نلاحظ أن ‪𝐝‬‏ يمتد بمقدار ثمانية مربعات في الاتجاه الموجب من المحور ‪𝑥‬‏، وبمقدار ثلاثة مربعات في الاتجاه الموجب من المحور ‪𝑦‬‏. بالنسبة إلى المتجه ‪𝐝‬‏، المربع الواحد يساوي مترًا واحدًا. إذن مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐝‬‏ تساوي ثمانية أمتار، ومركبة ‪𝑦‬‏ تساوي ثلاثة أمتار. إذن المتجه ‪𝐝‬‏، بدلالة مركبتيه، يساوي ثمانية أمتار ‪𝐢‬‏ هات زائد ثلاثة أمتار ‪𝐣‬‏ هات.

والآن بعد كتابة كل من المتجهين ‪𝐅‬‏ و‪𝐝‬‏ بدلالة مركبتيهما، صرنا مستعدين لحساب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل الضرب القياسي، نلاحظ أن الحد الأول يساوي حاصل ضرب مركبتي ‪𝑥‬‏ للمتجهين. إذن لإيجاد حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏، نضرب مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐅‬‏، التي تساوي اثنين نيوتن، في مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐝‬‏، التي تساوي ثمانية أمتار. ثم نضيف إلى ذلك الحد الثاني الذي يساوي حاصل ضرب مركبتي ‪𝑦‬‏. في الحالة التي لدينا، هذا يساوي حاصل ضرب مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐅‬‏، التي تساوي أربعة نيوتن، في مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐝‬‏، التي تساوي ثلاثة أمتار.

كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة هذا التعبير. الحد الأول يساوي اثنين نيوتن مضروبًا في ثمانية أمتار، وهو ما يعطينا 16 نيوتن متر. والحد الثاني يساوي أربعة نيوتن مضروبًا في ثلاثة أمتار، وهو ما يعطينا 12 نيوتن متر. وبجمع 16 نيوتن متر و12 نيوتن متر، نحصل على الناتج 28 نيوتن متر.

لقد ذكرنا من قبل أننا عندما نحسب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏، فإننا نحصل على الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة. هذا الشغل المبذول يكون بوحدة الطاقة، وعندما تقاس القوة بالنيوتن وتقاس الإزاحة بالمتر تحديدًا، فإن الشغل المبذول سيقاس بوحدة الجول؛ لأن النيوتن متر الواحد يساويواحدًا جول. هذا يعني أننا يمكننا كتابة الناتج 28 نيوتن متر في صورة 28 جول. إذن، الإجابة النهائية هي أن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐅‬‏ في ‪𝐝‬‏، الذي يعطينا مقدار الشغل المبذول بواسطة القوة ‪𝐅‬‏ على الجسم، يساوي 28 جول.