شارح الدرس: الضرب القياسي لمتجهين الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين بطريقتين: باستخدام مركِّبات المتجهين، وباستخدام مقدارَيِ المتجهين والزاوية المحصورة بينهما.

الضرب القياسي عملية يُمكِن إجراؤها على متجهين للحصول على كمية قياسية.

تذكَّر أنه بينما يكون للمتجه مقدار واتجاه، فإنَّ للكمية القياسية مقدارًا فقط.

يُستخدَم الضرب القياسي في العديد من مجالات الفيزياء المختلفة. أحد الأمثلة التي يكون فيها الضرب القياسي مُفيدًا هو حساب الشغل المبذول بواسطة قوة على جسم يتحرَّك إزاحة معيَّنة.

افترض أن شخصًا يدفع صندوقًا على الأرض، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

القوة المؤثِّرة على الصندوق ، ويتحرَّك الإزاحة . تؤثِّر القوة في نفس اتجاه الإزاحة. في هذه الحالة، الشغل المبذول بواسطة القوة ، يساوي ببساطة مقدار القوة ، مضروبًا في مقدار الإزاحة :

ولكن ماذا إنْ لم تؤثِّر القوة في نفس اتجاه الإزاحة (ربما لأن الشخص الذي يدفع الصندوق يدفعه للأسفل قليلًا أيضًا)، كما هو موضَّح في الشكل الآتي؟

في هذه الحالة، لا يُمكننا استخدام لحساب الشغل المبذول بواسطة القوة. وبدلًا من ذلك، علينا حساب الضرب القياسي لـ ، .

لاحِظ أن ترميز الضرب القياسي يحتوي على نقطة في المنتصف بين المتجهين:

ولهذا يُطلَق على الضرب القياسي أيضًا الضرب النقطي. ويُطلَق عليه أيضًا أحيانًا الضرب الداخلي.

ثمة طريقتان لتعريف الضرب القياسي لمتجهين. الطريقة الأولى هي الطريقة الهندسية.

تعريف: الضرب القياسي لمتجهين

افترض أن لدينا المتجهين ، . الزاوية المحصورة بين المتجهين . وهذا موضَّح في الشكل الآتي.

حاصل الضرب القياسي لـ ، يساوي مقدار مضروبًا في مقدار مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما ، وهو ما يُمكن كتابته على الصورة:

كتابة خطين مستقيمين على جانبَيْ رمز المتجه، على سبيل المثال ، يعني حساب مقدار المتجه. يُمكننا كتابة هذا التعريف بطريقة أبسط، إذا قلنا إن هو مقدار ، هو مقدار :

يُمكننا التفكير في ذلك على أنه مقياس لمدى كِبَر المتجهين ومدى إشارتهما إلى نفس الاتجاه. إذا كان أيٌّ من ، كبيرًا؛ فسيكون حاصل الضرب القياسي كبيرًا، ويُمكننا ملاحظة كيف يتغيَّر حاصل الضرب القياسي بتغيُّر الزاوية ، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين، بالنظر إلى التمثيل البياني الآتي لـ ، كما هو موضَّح بالأسفل.

عندما تكون تساوي ، فإن يساوي 1، وهي أقصى قيمة تُنتِجها دالة جيب التمام. إذن عندما يُشير المتجهان إلى الاتجاه نفسه، كما هو موضَّح في الشكل الآتي، يكون حاصل ضربهما القياسي عند أقصى قيمة له.

وعندما تكون تساوي ، فإن يساوي 0. إذن عندما تكون الزاوية بين المتجهين زاوية قائمة، كما هو موضَّح فيما يأتي، يكون حاصل ضربهما القياسي صفرًا.

أمَّا عندما تكون تساوي ، فإن يساوي ، وهي أدنى قيمة تُنتِجها دالة جيب التمام. لذا عندما يُشير المتجهان إلى اتجاهين متعاكسَيْن، كما هو موضَّح فيما يأتي، فإن حاصل الضرب القياسي يكون له قيمة تساوي القيمة نفسها عندما تكون تساوي ، ولكن بإشارة سالبة.

ومن ثَمَّ؛ كلما كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين أصغر، زادت قيمة حاصل الضرب القياسي، وكلما كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين أكبر، قلَّت قيمة حاصل الضرب القياسي.

لاحِظ أنه بما أن ، ، وهو ما يعني أن . بعبارة أخرى، الترتيب الذي نُجرِي الضرب القياسي وفقًا له ليس مُهمًّا؛ لأن ، يُنتجِان القيمة نفسها.

لنلقِ نظرةً على مثال.

هذه الطريقة الهندسية مُفيدة في حالة معرفتنا مقدارَيِ المتجهين والزاوية المحصورة بينهما، ولكن بدلًا من ذلك قد نعرف المركِّبتين الأفقية والرأسية للمتجهين. وفي هذه الحالة، يُمكننا استخدام الطريقة الثانية لتعريف الضرب القياسي، وهي الطريقة الجبرية.

لاحِظ مرة أخرى أن الترتيب غير مُهِمٍّ عند حساب الضرب القياسي. بما أن ، :

إذن .

هيَّا نلقِ نظرةً على بعض الأمثلة التي تتطلَّب استخدام هذه الطريقة.

مثال ٤: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين مُمثَّلين على شبكة بيانية

يوضِّح الشكل المتجهين ، . طول ضلع كلِّ مربع في شبكة الرسم يساوي 1. احسب .

الحل

بما أن المتجهين مرسومان على شبكة بيانية، يُمكننا إيجاد مركِّبتَيْهما. المتجه طوله الأفقي يساوي طول 3 أضلاع من مربعات الشبكة، وطوله الرأسي يساوي طول 3 أضلاع من مربعات الشبكة؛ لذا يُمكننا كتابته على الصورة . والمتجه طوله الأفقي يساوي طول 6 أضلاع من مربعات الشبكة، وطوله الرأسي يساوي طول ضلع مربع واحد من مربعات الشبكة؛ لذا يُمكننا كتابته على الصورة .

يمكننا الآن استخدام: لإيجاد حاصل الضرب القياسي. لنعوِّض بالقيم:

حاصل الضرب القياسي لـ ، يساوي 21.

مثال ٥: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين مُمثَّلين على شبكة بيانية

يوضِّح الشكل المتجهين ، . طول ضلع كلِّ مربع في شبكة الرسم يساوي 1. احسب .

الحل

ثمة طريقتان للوصول إلى إجابة هذا السؤال. تتمثَّل الطريقة الأولى في استخدام مركِّبتَيِ المتجهين لحساب حاصل الضرب القياسي.

بما أن المتجهين مرسومان على شبكة بيانية، يُمكننا إيجاد مركِّبتَيْهما. المتجه طوله الأفقي يساوي طول 5 أضلاع من مربعات الشبكة، وطوله الرأسي يساوي طول 0 من أضلاع مربعات الشبكة؛ لذا يُمكننا كتابته على الصورة . والمتجه طوله الأفقي يساوي طول 0 من أضلاع مربعات الشبكة، وطوله الرأسي يساوي طول 4 أضلاع من مربعات الشبكة؛ لذا يُمكننا كتابته على الصورة .

يُمكننا الآن استخدام: لإيجاد حاصل الضرب القياسي. نعوِّض بالقِيَم:

حاصل الضرب القياسي لـ ، يساوي صفرًا.

لكن هناك طريقة أسرع للوصول إلى الإجابة، وهي تذكُّر أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا إذا ما كان المتجهان متعامدين. يُمكننا أن نلاحِظ من الشكل أن هذين المتجهين متعامدان؛ حيث يُشير المتجه في اتجاه المحور ، ويُشير المتجه في اتجاه المحور ؛ وعليه حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.

للوهلة الأولى، لا يبدو أن هاتين الطريقتين المختلفتين لحساب حاصل الضرب القياسي تؤدِّيان إلى النتيجة نفسها، ولكنهما كذلك بالفعل. دعونا الآن نُطبِّق كلتا الطريقتين على المثال نفسه لنوضِّح أنهما تؤدِّيان إلى النتيجة نفسها.

يوضِّح الشكل الآتي متجهين.

يُمكننا كتابة على الصورة المركَّبة، كما يأتي ، وكذلك على الصورة المركَّبة، كما يأتي . يُمكننا الآن استخدام الطريقة الجبرية لإيجاد حاصل الضرب القياسي:

يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طولَيِ المتجهين. وعند القيام بذلك، نجد أن طول يساوي 17 بالضبط، وطول يساوي 13 بالضبط. الزاوية المحصورة بين المتجهين تساوي . لنقرِّب هذا العدد إلى الآن. يُمكننا الآن استخدام الطريقة الهندسية لإيجاد حاصل الضرب القياسي:

لاحِظ أن ذلك لا يساوي 171 بالضبط؛ وذلك لأننا اخترنا تقريب القيمة التي حصلنا عليها لـ . يُسهِّل ذلك التعامل مع العدد على الآلة الحاسبة، لكنه يقلِّل من دقة الناتج. أمَّا إن استخدمنا القيمة الفعلية للزاوية في العملية الحسابية، فستكون إجابتنا 171 بالضبط. وبدلًا من ذلك، يُمكننا ببساطة تقريب الناتِج الذي نحصل عليه باستخدام إلى 171.