فيديو السؤال: إيجاد قيمة مجهول في دالة جيب معطاة بمعلومية مداها الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

مدى الدالة ﺩ 𝜃 تساوي ﺃ جا اثنين 𝜃 هو الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى خمسة. أوجد قيمة ﺃ؛ حيث ﺃ أكبر من صفر.

نحن نعلم من السؤال مدى هذه الدالة ﺩ 𝜃، ومطلوب منا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة المجهول ﺃ. لعلنا نتذكر أن دالة الجيب دالة دورية وطول دورتها اثنان ‏𝜋‏‎، ويتذبذب منحناها بين سالب واحد وموجب واحد. بعبارة أخرى، مدى دالة الجيب هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى موجب واحد.

نحن لا نتعامل مع دالة الجيب فقط في هذا السؤال. نحن نتعامل مع تحويل لهذه الدالة. ‏ﺩ 𝜃 تساوي ﺃ مضروبًا في جا اثنين 𝜃. أجري تغييران. أولًا: المتغير 𝜃 حل محله اثنان 𝜃. هذا يناظر تمددًا أفقيًّا للدالة بمعامل قياس مقداره نصف. وبما أن هذا التحويل له تأثير أفقي، فليس له أي تأثير على مدى الدالة.

التحويل الآخر هو ضرب الدالة في الثابت ﺃ. هذا يناظر تمددًا رأسيًّا للدالة بمعامل قياس ﺃ. عندما تتمدد الدالة رأسيًّا بمعامل قياس مقداره ﺃ، سيكون لهذا تأثير ضرب قيم مداها في ﺃ. ومن ثم، إذا كان مدى دالة الجيب هو الفترة المغلقة من سالب واحد إلى موجب واحد، فإن مدى الدالة ﺩ 𝜃 تساوي ﺃ جا اثنين 𝜃 هو الفترة المغلقة من سالب ﺃ إلى ﺃ. ونعلم من السؤال أن هذا المدى يساوي الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى خمسة.

من المهم حقًّا ملاحظة أن السؤال يوضح لنا أن قيمة ﺃ موجبة. هذا يعني أنه عند ضرب دالة الجيب في ﺃ، سيكون تأثير هذا تمدد الدالة بمعامل مقداره ﺃ. وإذا كانت قيمة ﺃ سالبة، فستتمدد الدالة بمعامل يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ، وستنعكس أيضًا حول المحور ﺱ. هذا يعني أن القيمة الصغرى في المدى ستحول إلى القيمة العظمى في المدى الجديد، والعكس صحيح. ومن ثم، سيتبدل طرفا الفترة بعد تغيير إشارتيهما. لكن بما أن قيمة ﺃ موجبة، فالأمر ليس كذلك هنا. لذا، يمكننا فقط مقارنة الطرف السفلي لكل من الفترتين وأيضًا الطرف العلوي لكل من الفترتين. وعندما نفعل ذلك، نجد أن قيمة ﺃ تساوي خمسة.