شارح الدرس: مجال ومدى الدوال المثلثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدد مجال دالة مثلثية ومداها.

دعونا نبدأ بتذكر تعريفَي مجال الدالة ومداها.

وبوجه خاصٍّ، يمكننا إيجاد مجال الدالة ومداها من تمثيلها البياني. بمعلومية التمثيل البياني لدالة، يكون مجالها هو الجزء من المحور الأفقي الذي ينتمي إلى منحنى الدالة، ويكون مداها هو الجزء من المحور الرأسي الذي ينتمي إلى منحنى الدالة.

إحدى الخصائص المهمة لتمثيل الدالة المثلثية بيانيًّا هي أن نمط التمثيل البياني يتكرر إلى ما لا نهاية. عندما يتكرر سلوك الدالة خلال فترة طولها ، فإننا نقول إن الدالة دورية وطول دورتها . بعبارة أخرى، أي دالة دورية وطول دورتها يجب أن تحقق: لأي قيم في المجال.

لدراسة مجال أي دالة دورية ومداها، علينا أولًا فهم مجال الدالة ومداها خلال فترة طولها ، على سبيل المثال . يمكننا اختيار أي فترة طولها ، لكن سيكون من المناسب في معظم الحالات تناول الفترة . بما أن الدالة دورية وطول دورتها ، فإن الدالة ستكرر السلوك نفسه خارج هذه الفترة. ومن ثَمَّ، فإن مدى الدالة الدورية سيكون مداها نفسه خلال . علاوة على ذلك، إذا كانت الدالة معرَّفة لجميع القيم في الفترة ، فإن الدالة ستكون معرَّفة أيضًا لأي قيمة من القيم التي تقع خارج هذه الفترة بسبب دوريتها. في هذه الحالة، يكون مجال الدالة الدورية هو جميع الأعداد الحقيقية، ويُشار إلى ذلك بالرمز أو على صورة .

في المثال الأول، سنحدد مجال دالة دورية ومداها من تمثيلها البياني المعطى.

مثال ١: تحديد مجال دالة ومداها من التمثيل البياني

انظر التمثيل البياني الآتي للدالة .

1. ما مجال ؟
2. ما مدى ؟

الحل

قبل الإجابة عن الأسئلة حول مجال الدالة ومداها، نلاحظ أن التمثيل البياني للدالة يتكرر إلى ما لا نهاية. هذا يعني أن الدالة دالة دورية. نلاحظ أن للدالة قيمة صغرى محلية عند وتعود إلى الموضع نفسه عند . وبذلك، تكرر الدالة القيم نفسها. هذا يعني أن طول دورة هذه الدالة هو .

الجزء الأول

في هذا الجزء، علينا تحديد مجال دالة دورية من التمثيل البياني المعطى. لاحظنا أن طول دورة الدالة هو . نتذكر أنه إذا كانت أي دالة دورية معرَّفة ضمن فترة ما طولها يساوي طول الدورة، فإن الدالة تكون معرَّفة لجميع الأعداد الحقيقية. من التمثيل البياني المعطى، يمكننا ملاحظة أن الدالة معرَّفة لجميع القيم ضمن الفترة ، وطولها يساوي طول الدورة .

ومن ثَمَّ، يكون مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية، أو .

الجزء الثاني

في هذا الجزء، علينا تحديد مدى دالة دورية من التمثيل البياني المعطى. لاحظنا أن طول دورة الدالة هو . نتذكر أنه إذا كان مدى الدالة الدورية هو نفسه مدى الدالة خلال فترة طولها يساوي طول الدورة، فإن الدالة تكون معرفة لجميع الأعداد الحقيقية. من التمثيل البياني المعطى، نلاحظ أن القيمة الصغرى للدالة خلال الفترة هي ، وقيمتها العظمى خلال هذه الفترة هي ٦. وبما أن الدالة تأخذ جميع القيم بين القيمتين العظمى والصغرى، فإن مدى الدالة خلال هذه الفترة هو .

ومن ثَمَّ، يكون مدى الدالة هو .

في المثال السابق، تناولنا مجال دالة دورية ومداها من التمثيل البياني المعطى. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد مجال دالتي الجيب وجيب التمام ومداهما. نتذكر أن قياس الزاوية راديان يمثل دورة كاملة في دائرة الوحدة. هذا يعني أن قيمتي النسبتين المثلثيتين، الجيب وجيب التمام، في دائرة الوحدة ستظلان كما هما إذا أضفنا راديان إلى أي زاوية. هذا يعني أنه لأي زاوية راديان:

هذا يوضح أن دالَّتَيِ الجيب وجيب التمام دوريتان وطول دورتهما يساوي راديان. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مجال دالتي الجيب وجيب التمام ومداهما بالنظر إلى التمثيل البياني لهاتين الدالتين خلال فترة طولها . انظر إلى التمثيلين البيانيين للدالتين ، .

كلا التمثيلين البيانيين بالأعلى خلال الفترة ، لكننا نحتاج فقط إلى التمثيل البياني خلال فترة طولها . لذا، يمكننا النظر إلى هذا التمثيل البياني خلال الفترة لإيجاد مجال هاتين الدالتين ومداهما. بما أن كلتا الدالتين معرَّفتان في كل موضع في الفترة ، فإننا نعلم أن مجالي كل من دالتي الجيب وجيب التمام جميع الأعداد الحقيقية.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن القيمة الصغرى لكلتا الدالتين خلال الفترة هي ، والقيمة العظمى هي ١. وبما أن كلتا الدالتين تأخذان جميع القيم بين القيمتين العظمى والصغرى، فإن مدى دالتي الجيب وجيب التمام خلال هذه الفترة؛ ومن ثَمَّ خلال مجالَيْهما، هو: .

نلخص هذه النتائج على النحو الآتي.

حددنا فيما سبق مجال دالتي ، ومداهما باستخدام التمثيل البياني والدورية لهاتين الدالتين المثلثتين. في المثال الآتي، سنستخدم الطريقة نفسها لتحديد مجال دالة دورية ومداها.

مثال ٢: إيجاد مجال دالة دورية ومداها من تمثيلها البياني

يوضح التمثيل البياني الآتي الدالة . افترض أن طول دورة الدالة يساوي .

1. ما مجال ؟
2. ما مدى ؟

الحل

نعلم أن جميع خصائص الدالة الدورية تكون متضمنة في التمثيل البياني للدالة خلال فترة طولها يساوي طول الدورة. هذه الدالة طول دورتها يساوي ؛ ومن ثَمَّ علينا فقط النظر إلى تمثيلها البياني خلال فترة طولها . في هذا المثال، الدالة ممثلة بيانيًا خلال فترة طولها أكبر من ؛ ومن ثَمَّ، يوفر ذلك معلومات كافية لتحديد مجال الدالة ومداها.

الجزء الأول

مجال أي دالة هو مجموعة كل القيم المدخلة الممكنة. نلاحظ من التمثيل البياني المعطى أن الدالة معرفة جيدًا عند أي قيمة من قيم . ومن ثَمَّ، يكون مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية، أو .

الجزء الثاني

مدى أي دالة هو مجموعة كل قيم الدالة الممكنة. نلاحظ من التمثيل البياني المعطى أن هذه الدالة تتذبذب بين و٣؛ حيث تأخذ جميع القيم بينهما. لن ينخفض مطلقًا التمثيل البياني أسفل أو يرتفع أعلى من ٣ على المحور الرأسي. ومن ثَمَّ، يكون مدى الدالة هو .

عندما يكون لدينا مقادير جبرية لدوال مثلثية، فإنه يمكننا استخدام التحويلات الهندسية للدوال من أجل إيجاد مدى أي دالة بتمثيل الدوال بيانيًّا أو لأي ثابتين ، . دعونا نتناول فقط مدى الدوال من النوع ؛ لأن مدى الدالة الثانية سيكون متطابقًا.

نبدأ بالدالة التي مداها . بضرب أي دالة في الثابت الموجب ينتج تمدد رأسي (تمدد أو انكماش) بمعامل القياس ، وهو ما يغير مدى الدالة من إلى . أما بضرب الدالة في ثابت سالب، ينتج انعكاس على المحور متبوعًا بتمدد بمعامل القياس . في هذه الحالة، الانعكاس على المحور لا يغير مدى هذه الدالة؛ حيث إنها متماثلة بالنسبة للمحور . إذن، التمدد الرأسي بالمعامل يجعل مدى الدالة هو . نلاحظ أن هذا التعبير عن المدى صحيح سواءً أو .

بعد ذلك، نعلم أن إضافة إلى الدالة ينتج عنه إزاحة رأسية (لأعلى إذا كان ولأسفل إذا كان ) بمقدار من الوحدات. بما أن مدى الدالة هو ، فإن أي إزاحة رأسية بمقدار من الوحدات ستغير هذا المدى إلى:

على سبيل المثال، دعونا نفكر في مدى الدالة باستخدام الشكل الآتي.

في الشكل، المنحنى الأزرق المتصل يمثل الدالة الذي مداها . بضرب في ٢ يتغير المدى من إلى . تشير الأسهم الزرقاء من جهتين الموضحة في الشكل إلى تمدد المنحنى الأصلي رأسيًّا بمعامل ٢ للحصول على منحنى الدالة ، وهو ما يعطينا المنحنى المتقطع. وكما لاحظنا سابقًا، نرى أن مدى الدالة هو . بإضافة ١ إلى الدالة يزاح المدى لأعلى بمقدار ١، وهو ما يؤدي إلى المدى الجديد . يشير السهم الرأسي الأحمر إلى أن منحنى الدالة أزيح لأعلى للحصول على منحنى الدالة . يمكننا ملاحظة أن مدى هذا المنحنى الأحمر هو ، كما هو متوقَّع.

في المثال الآتي، سنحدد مدى دالة الجيب من مقدارها الجبري.

في المثال التالي، سنحدد مجال دالة جيب التمام ومداها باستخدام الطريقة نفسها.

في المثال التالي، سنحدد ثابت مجهول في دالة مثلثية عندما يكون لدينا مدى الدالة.

لقد تناولنا حتى الآن أمثلة تتعامل مع مجال ومدى الدوال التي تتضمن الجيب وجيب التمام. دعونا ننتقل إلى دالة الظل. نتذكر أن دالة الظل تعرف باعتبارها النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام:

هذا يعني أن دالة الظل تتضمن قيودًا على مجالها عندما تساوي دالة جيب التمام صفرًا. انظر إلى التمثيل البياني للدالة خلال الفترة راديان.

من التمثيل البياني، نلاحظ أن دالة الظل تتكرر خلال راديان. ومن ثَمَّ، يكون طول دورة دالة الظل هو راديان، وهو ما يختلف عن طول دورة دالتي الجيب وجيب التمام. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد مجال دالة الظل ومداها بالنظر إلى تمثيلها البياني خلال الفترة . خلال هذه الفترة، نلاحظ أن دالة الظل تكون غير معرَّفة عند: . وبما أن هذه الدالة طول دورتها ؛ فهذا يعني أن دالة الظل غير معرَّفة عند كل بدءًا من النقطة ، كما نرى في التمثيل البياني. بعبارة أخرى، تكون الدالة غير معرَّفة عند

لإيجاد مدى الدالة ، يمكننا أيضًا النظر إلى تمثيلها البياني خلال الفترة . يمكننا ملاحظة أن منحنى الدالة على هذه الفترة يرتفع إلى موجب ما لا نهاية وينخفض إلى سالب ما لا نهاية. هذا يعني أن مدى الدالة هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية.

سنلخص هذه النتائج كما يلي.

في المثال الأخير، سنحدد القيم المدخلة التي تكون عندها دالة الظل غير معرَّفة.

دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط المهمة المستخلصة من الشارح.