فيديو الدرس: مجال ومدى الدوال المثلثية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد مجال دالة مثلثية ومداها.

١٣:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد مجال دالة مثلثية ومداها. سنبدأ بتذكر تعريفي مجال الدالة ومداها. مجال الدالة ﺩ في المتغير ﺱ هو مجموعة كل القيم الممكنة لـ ﺱ؛ بحيث يكون التعبير ﺩ لـ ﺱ معرفًا. مدى الدالة ﺩ لـ ﺱ هو مجموعة كل القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها التعبير ﺩ لـ ﺱ؛ حيث ﺱ هي أي عدد من مجال الدالة. وبوجه خاص، يمكننا إيجاد مجال الدالة ومداها من تمثيلها البياني. بمعلومية التمثيل البياني لدالة، يكون المجال هو الجزء من المحور الأفقي الذي ينتمي إلى منحنى الدالة، ويكون المدى هو الجزء من المحور الرأسي الذي ينتمي إلى منحنى الدالة.

دعونا نبدأ بالنظر إلى منحنى الدالة ﺹ يساوي جا ﺱ لقيم ﺱ من سالب ٣٦٠ إلى ٣٦٠ درجة. نلاحظ أن الدالة معرفة تمامًا لكل قيم ﺱ. هذا يعني أن مجال جا ﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية. يمكننا أيضًا كتابة هذا على صورة مجموعة الأعداد في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. نلاحظ أن المنحنى يتذبذب بين سالب واحد وواحد. القيمة العظمى للمنحنى هي واحد، والقيمة الصغرى هي سالب واحد. هذا يعني أن القيم الممكنة لـ جا ﺱ تقع بين هاتين القيمتين. ومدى هذه الدالة هو مجموعة القيم في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. ينطبق الأمر نفسه على دالة جيب التمام. مرة أخرى، هذه الدالة لها مجال يتكون من جميع الأعداد الحقيقية، ولها مدى من سالب واحد إلى واحد، يتضمن ذلك هذين العددين.

يمكننا تلخيص ذلك كما يأتي. مجال دالتي الجيب وجيب التمام لـ ﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية، ويرمز لذلك كما هو موضح. لاحظ أنهما تكتبان عادة على الصورة: جا 𝜃 وجتا 𝜃؛ حيثما تكون الدالة ﺩ لـ 𝜃. ومدى دالتي الجيب وجيب التمام لـ ﺱ هو مجموعة الأعداد في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. دعونا نتناول الآن كيفية إيجاد مجال أي دالة دورية ومداها من تمثيلها البياني.

يوضح التمثيل البياني الآتي الدالة ﺩ لـ 𝜃. افترض أن طول دورة الدالة يساوي اثنين ‏𝜋‏‎. ما مجال ﺩ لـ 𝜃؟ ما مدى ﺩ لـ 𝜃؟

نعلم أن جميع خصائص الدالة الدورية تكون متضمنة خلال فترة من هذا الطول. في هذا السؤال، علمنا أن طول الدورة يساوي اثنين ‏𝜋‏‎. لذا، علينا فقط النظر إلى التمثيل البياني بين صفر واثنين ‏𝜋‏‎. مجال أي دالة هو مجموعة كل القيم المدخلة الممكنة. ونلاحظ من التمثيل البياني أن الدالة معرفة جيدًا عند جميع قيم 𝜃. إذن يمكننا استنتاج أن مجال ﺩ لـ 𝜃 هو جميع الأعداد الحقيقية مكتوبة على صورة الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞.

مدى أي دالة هو مجموعة كل القيم المخرجة. من التمثيل البياني، نلاحظ أن الدالة تتذبذب وتكون متصلة بين سالب سبعة وثلاثة. القيمة العظمى لمنحنى الدالة هي ثلاثة، والقيمة الصغرى لمنحنى الدالة هي سالب سبعة. إذن يمكننا استنتاج أن مدى ﺩ لـ 𝜃 هو مجموعة القيم في الفترة المغلقة من سالب سبعة إلى ثلاثة. إذن إجابتا هذا السؤال هما الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞، والفترة المغلقة من سالب سبعة إلى ثلاثة.

سنتناول الآن كيف يؤثر تحويل الدوال المثلثية على المجال والمدى. لعلنا نتذكر أن دالة الجيب لها مجال ومدى، كما هو موضح. أي تحويل لهذه الدالة لن يغير مجالها. لكن ستؤثر تحويلات معينة على مدى الدالة.

دعونا نتناول الدالة ﺩ لـ ﺱ، التي تساوي ﺃ جا ﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان. بضرب أي دالة في الثابت موجب ﺃ، ينتج تمدد أو تمديد رأسي بمعامل القياس ﺃ. سيغير هذا مدى الدالة من الفترة المغلقة سالب واحد، واحد إلى الفترة المغلقة سالب ﺃ، ﺃ. لكن بضرب الدالة في ثابت سالب ينتج انعكاس على المحور ﺱ، وتمدد بمقدار معامل قياس القيمة المطلقة لـ ﺃ. هذا يعني أن مدى الدالة ﺃ جا ﺱ يساوي الفترة المغلقة من سالب القيمة المطلقة لـ ﺃ إلى موجب القيمة المطلقة لـ ﺃ.

بعد ذلك، نعلم أن إضافة ﺏ إلى الدالة ينتج عنه إزاحة رأسية لأعلى إذا كان ﺏ أكبر من صفر، ولأسفل إذا كان ﺏ أصغر من صفر. إذن يمكننا استنتاج أن مدى الدالة ﺃ جا ﺱ زائد ﺏ هو الفترة المغلقة من سالب القيمة المطلقة لـ ﺃ زائد ﺏ إلى موجب القيمة المطلقة لـ ﺃ زائد ﺏ. دعونا الآن نتناول كيفية تطبيق ذلك عمليًّا.

انظر الدالة ﺩ لـ ﺱ يساوي أربعة جتا سبعة ﺱ زائد ‏𝜋‏‎ زائد خمسة. ما مجال ﺩ لـ ﺱ؟ ما مدى ﺩ لـ ﺱ؟

نبدأ بتذكر أن مجال أي دالة هو مجموعة كل القيم المدخلة الممكنة، وأن مجال جتا 𝜃 هو جميع القيم الحقيقية. في هذا السؤال، يوجد التعبير سبعة ﺱ زائد ‏𝜋‏‎ ضمن دالة جيب التمام. وبما أن هذا التعبير معرف لأي أعداد حقيقية، فإن مجال ﺩ لـ ﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية، وهو ما يمكن كتابته على صورة الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. نعلم أن المدى هو مجموعة القيم المخرجة. بما أن مدى التعبير سبعة ﺱ زائد ‏𝜋‏‎ هو جميع الأعداد الحقيقية، فإنه يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية. وعليه سنجعل ذلك يساوي 𝜃؛ بحيث يصبح لدينا أربعة جتا 𝜃 زائد خمسة.

نعلم أن جتا 𝜃 له مدى في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. لذا علينا التفكير في الكيفية التي تؤثر بها تحويلات هذه الدالة لأربعة جتا 𝜃 زائد خمسة على المدى. أولًا، ضربنا الدالة في أربعة، وهو ما ينتج عنه تمديد المدى رأسيًّا بالمعامل أربعة. هذا يعطينا الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى أربعة. بإضافة خمسة إلى هذا التعبير، تنتج إزاحة للدالة بمقدار خمسة. سالب أربعة زائد خمسة يساوي واحدًا، وأربعة زائد خمسة يساوي تسعة. هذا يعني أن مدى ﺩ لـ ﺱ هو الفترة المغلقة من واحد إلى تسعة.

كان بإمكاننا حل الجزء الثاني جبريًّا بالاستعانة بمعرفتنا عن المتباينات. نعلم أن جتا 𝜃 يكون أكبر من أو يساوي سالب واحد وأصغر من أو يساوي واحدًا. بضرب الطرفين في أربعة، يصبح لدينا: أربعة جتا 𝜃 أكبر من أو يساوي سالب أربعة وأصغر من أو يساوي أربعة. بإضافة خمسة إلى كل حد في المتباينة، يصبح لدينا: أربعة جتا 𝜃 زائد خمسة أكبر من أو يساوي واحدًا وأصغر من أو يساوي تسعة. هذا يناظر الفترة المغلقة من واحد إلى تسعة. مجال الدالة أربعة جتا لسبعة ﺱ زائد ‏𝜋‏‎ زائد خمسة هو الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞، ومداها هو الفترة المغلقة من واحد إلى تسعة.

قبل الانتقال إلى المثال الأخير، دعونا نتناول مجال دالة الظل ومداها. على عكس دوال الجيب وجيب التمام، فإن مجال دالة الظل يتضمن قيودًا. بالنظر إلى التمثيل البياني لـ ظا 𝜃 في الفترة من سالب ٣٦٠ درجة إلى ٣٦٠ درجة، أو سالب اثنين ‏𝜋‏‎ راديان إلى اثنين ‏𝜋‏‎ راديان، نلاحظ أن التمثيل البياني غير معرف عند ٩٠ درجة و٢٧٠ درجة وسالب ٩٠ درجة وسالب ٢٧٠ درجة. بما أن دالة الظل دورية، فإن هذا السلوك يتكرر كل ١٨٠ درجة إلى ما لا نهاية. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ﺱ غير معرف، وأن التمثيل البياني يتضمن خط تقارب عند قيم ﺱ تساوي ٩٠ درجة زائد ١٨٠ درجة مضروبًا في ﻥ؛ حيث ﻥ أي عدد صحيح.

وعليه، يمكننا كتابة مجال ظا ﺱ كما هو موضح. إنه يمثل جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ﺱ يساوي ٩٠ درجة زائد ١٨٠ درجة مضروبًا في ﻥ. ويمكننا أيضًا كتابة ذلك بالراديان على صورة ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين زائد ‏𝜋‏‎ﻥ. مرة أخرى، ﻥ يساوي أي عدد صحيح. مدى دالة الظل هو جميع القيم الحقيقية، وهو ما يمكن كتابته على صورة الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. في المثال الأخير، سنحدد القيم المدخلة التي تكون عندها دالة الظل غير معرفة.

أوجد قيم 𝜃 بالراديان بحيث تكون الدالة ﺩ لـ 𝜃 يساوي ظا ثلاثة 𝜃 غير معرفة.

نبدأ بتذكر أن مجال دالة الظل بالراديان يستثنى منه القيم التي تكون على الصورة: 𝜃 يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين زائد ﻥ‏𝜋‏‎؛ حيث ﻥ عدد صحيح. في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩ لـ 𝜃 يساوي ظا ثلاثة 𝜃، ونريد إيجاد القيم التي تكون عندها هذه الدالة غير معرفة. ومن ثم، يمكننا جعل ثلاثة 𝜃 يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين زائد ﻥ‏𝜋‏‎؛ حيث ﻥ عدد صحيح. بقسمة طرفي هذه المعادلة على ثلاثة، نحصل على 𝜃 يساوي ‏𝜋‏‎ على ستة زائد ﻥ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. مرة أخرى، هذا ينطبق على جميع قيم ﻥ الصحيحة. إذن ظا ثلاثة 𝜃 غير معرفة لجميع قيم 𝜃 التي تساوي ‏𝜋‏‎ على ستة زائد ﻥ‏𝜋‏‎ على ثلاثة؛ حيث ﻥ عدد صحيح.

سنختتم هذا الفيديو الآن بتلخيص النقاط الأساسية. مجال دالتي الجيب وجيب التمام لـ 𝜃 هو جميع الأعداد الحقيقية. ومدى هاتين الدالتين هو مجموعة الأعداد في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد. لأي ثابتين ﺃ وﺏ، مدى الدالتين ﺃ جا 𝜃 زائد ﺏ أو ﺃ جتا 𝜃 زائد ﺏ هو الفترة المغلقة من سالب القيمة المطلقة لـ ﺃ زائد ﺏ إلى القيمة المطلقة لـ ﺃ زائد ﺏ. مجال ظا 𝜃 المكتوب بالراديان هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 𝜃 يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين زائد ﻥ‏𝜋‏‎؛ حيث ﻥ عدد صحيح. يمكننا أيضًا كتابة ذلك بالدرجات؛ حيث ‏𝜋‏‎ على اثنين يساوي ٩٠ درجة، و‏𝜋‏‎ يساوي ١٨٠ درجة. وأخيرًا، مدى دالة الظل، ظا 𝜃، هو جميع الأعداد الحقيقية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.