نسخة الفيديو النصية
الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة ﻙ عند ﺱ أقل من سالب خمسة، ود ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ١١٦ عند ﺱ أكبر من سالب خمسة لها نهاية عندما تقترب ﺱ من سالب خمسة. فما قيمة ﻙ؟
هذا السؤال يعطينا الدالة متعددة التعريف د ﺱ. ونعرف من المعطيات أن هذه الدالة د ﺱ لها نهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة. وعلينا إيجاد قيمة ﻙ التي تجعل ذلك ممكنًا. نتذكر أننا نقول إن نهاية الدالة د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ، موجودة في حالة تحقق الشروط التالية. علينا بحث وجود كل من نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليسار، ونهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليمين. ويجب أن تكون هاتان النهايتان متساويتين. ونعرف من المعطيات أن هذا ينطبق على الدالة د ﺱ عند قيمة ﺃ تساوي سالب خمسة. إذن، نجعل ﺃ يساوي سالب خمسة في التعريف الذي لدينا.
وبما أننا نعرف أن قيمة نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة، موجودة، فإن جميع الشروط يجب أن تتحقق. فيجب أن تكون نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليسار، ونهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليمين، موجودتين، ويجب أن تكونا متساويتين. لذا، هيا نحاول إيجاد قيمتي هاتين النهايتين. سنبدأ بنهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليسار. بما أن ﺱ يقترب من سالب خمسة من اليسار، فستكون قيم ﺱ أقل من سالب خمسة. ويمكننا أن نلاحظ من التعريف المتعدد للدالة د ﺱ أنه إذا كانت قيم ﺱ أقل من سالب خمسة، فإن الدالة د ﺱ تساوي الدالة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﻙ بالضبط.
إذن، بما أن الدالة د ﺱ تساوي بالضبط الدالة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﻙ لجميع قيم ﺱ الأقل من سالب خمسة، فإن نهايتيهما، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليسار، تتساويان. والآن نلاحظ أن تلك نهاية دالة كثيرة حدود. يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بسالب خمسة، نحصل على سالب خمسة تربيع ناقص تسعة ﻙ. وبما أن سالب خمسة تربيع يساوي ٢٥، يمكننا تبسيط هذا التعبير إلى ٢٥ ناقص تسعة ﻙ. لنفعل الأمر نفسه لإيجاد قيمة نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليمين.
بما أن ﺱ يقترب من سالب خمسة من اليمين، فستكون قيم ﺱ أكبر من سالب خمسة. ومرة أخرى، من خلال التعريف المتعدد للدالة د ﺱ لقيم ﺱ الأكبر من سالب خمسة، فإن الدالة د ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ١١٦. وبما أننا نحسب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليمين، يمكننا إعادة كتابة الدالة د ﺱ على صورة اثنين ﺱ زائد ١١٦. ويمكننا الآن ملاحظة أننا ببساطة نوجد نهاية دالة خطية. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض المباشر.
بالتعويض عن ﺱ بسالب خمسة، نحصل على اثنين في سالب خمسة زائد ١١٦. ويمكننا حساب ذلك لنحصل على ١٠٦. والآن، نتذكر أنه بما أن هذه النهاية موجودة، فإننا نعرف أن نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليسار، ونهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة من اليمين، يجب أن تكونا متساويتين. ونعرف من ذلك أن ٢٥ ناقص تسعة ﻙ يساوي ١٠٦. من ثم، علينا الآن حل المعادلة ٢٥ ناقص تسعة ﻙ يساوي ١٠٦. سنطرح ٢٥ من كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا سالب تسعة ﻙ يساوي ٨١. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على سالب تسعة. وهذا يعطينا ﻙ يساوي سالب تسعة.
وبذلك نكون قد أوجدنا أنه إذا كانت الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة ﻙ عند ﺱ أقل من سالب خمسة، ود ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ١١٦ عند ﺱ أكبر من سالب خمسة لها نهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة. فإن قيمة ﻙ يجب أن تساوي سالب تسعة.
