شارح الدرس: وجود النهايات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: بحث وجود نهاية دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة

ابحث وجود ، إذا كانت:

الحل

بما أن هذه دالة متعدِّدة التعريف، ويقع على الحد بين مجالين جزئيين، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد نهاية هذه الدالة عندما يقترب من ٧ عن طريق التحقُّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة موجودتان ومتساويتان.

نبدأ بـ ، وبما أن هذه هي النهاية اليسرى، يكون لدينا للقيم المُدخَلة، وعند إيجاد قيمة هذه النهاية، تقترب قيم جدًا من ٧؛ لذا، يمكننا افتراض أن دون التأثير على قيمة النهاية. عندما تقع قيم في هذه الفترة، فإن ، وهذا يعطينا:

ويمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض المباشر:

يمكننا فعل الأمر نفسه مع النهاية اليمنى؛ فتقييد قيم لتكون في الفترة لا يؤثِّر على قيمة النهاية، وهو ما يعطينا:

لكي تكون نهاية عند موجودة، لا بد أن تكون النهايتان اليسرى واليمنى متساويتين. لكننا أوضحنا أنهما غير متساويتين.

ومن ثَمَّ، فإن النهاية غير موجودة؛ لأن .

مثال ٢: بحث وجود نهاية دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة

ابحث وجود ، إذا كان:

الحل

بما أن هذه دالة متعدِّدة التعريف، يقع عند الحد الفاصل بين مجالين جزئيين، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد نهاية هذه الدالة عندما يقترب من ٣ عن طريق التحقُّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة موجودتان ومتساويتان.

لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب من ٣ من اليسار، نلاحظ أنه عندما يكون ، يكون لدينا . عند إيجاد قيمة هذه النهاية، تقترب قيم جدًا من ٣؛ لذا، يمكننا افتراض أن دون التأثير على قيمة النهاية. وهذا يعطينا:

يمكننا إيجاد قيمة نهاية دوال المقياس (القيمة المطلَقة) بالتعويض المباشر، وهو ما يعطينا:

بعد ذلك، لإيجاد قيمة ، يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ، يكون لدينا ، وهذا يعطينا:

وبما أن هذه دالة كسرية، إذن يمكننا محاولة إيجاد قيمتها بالتعويض المباشر:

هذه صيغة غير معيَّنة؛ لذا، علينا تبسيط الدالة الكسرية بالتحليل. تذكَّر أنه يمكننا حذف العامل المشترك، ، من كلٍّ من بسط ومقام النهاية؛ لأنه يؤثِّر على قيمة الدالة فقط عند ، وليس عندما يقترب جدًا من ٣ من اليمين:

وبذلك، نكون قد أثبتنا أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة عند موجودتان، وأن كلًّا منهما تساوي ٤.

ومن ثَمَّ، تكون موجودة وتساوي ٤.

مثال ٣: إيجاد نهاية دالة متعدِّدة التعريف عند نقطة

أوجد ؛ حيث

الحل

بما أن هذه دالة متعدِّدة التعريف، ويقع على الحد الفاصل بين مجالين جزئيين، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. بدلًا من ذلك، نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد نهاية هذه الدالة عندما يقترب من عن طريق التحقُّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة موجودتان ومتساويتان.

نبدأ بـ . عندما يكون ، نعرف أن ؛ ومن ثَمَّ:

إذن، عندما يكون ، يكون لدينا ، وهذا يعني أن نهايتيها عندما يقترب من من اليمين يجب أن تكونا متساويتين، وهو ما يعطينا:

وبالمثل، عندما يكون ، يكون لدينا . وهذا يعني أن:

بما أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة موجودتان وتساويان ، إذن يمكننا استنتاج أن:

مثال ٤: بحث وجود نهاية مقلوب دالة مقياس عند نقطة

ابحث وجود .

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا تحديد نهاية هذه الدالة عندما يقترب من ٢ عن طريق التحقُّق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة عند موجودتان ومتساويتان. لتحديد قيمة هذه النهاية، يمكننا تمثيل بيانيًا. بدايةً، يمكننا رسم على أنه انتقال لـ بمقدار وحدتين إلى اليمين، ثم نلاحظ أن ؛ ولذلك، نعكس الأجزاء السالبة من المنحنى حول المحور ، وهو ما يعطينا الآتي:

سيكون للمنحنى خط تقارب رأسي عند . إذا نظرنا إلى مُخرَجات الدالة على يسار ويمين ، نلاحظ أنه عندما تقترب قيم من ٢ من أيِّ طرف من الطرفين، تتزايد مُخرَجات الدالة دون حدٍّ.

في سياق النهايات، هذا يخبرنا أن:

تذكَّر أن قول إن النهاية تساوي ما لا نهاية يعني أن النهاية غير موجودة. لكن بما أن النهايتين اليسرى واليمنى متساويتان، إذن يمكننا قول إن .

ومن ثَمَّ، غير موجودة، لكن .

مثال ٥: فهم النهايات وسلوك التذبذب

ابحث سلوك ؛ عندما يقترب من الصفر.

1. أكمل جدول قيم لقيم التي تقترب من الصفر.

2. إلام يُشير ذلك بالنسبة إلى منحنى بالقرب من الصفر؟
   1. يتزايد دون حدٍّ.
   2. يتناقص دون حدٍّ.
   3. يتغيَّر عشوائيًّا.
   4. يقترب من ٢.
   5. يتذبذب سريعًا بين و٢.
3. بناءً على ذلك، أوجد .

الحل

الجزء الأول

نُوجِد كل قيمة للدالة في الجدول بالتعويض بالقيمة المُعطاة لـ في الدالة . على سبيل المثال:

إن دالة جيب التمام دورية وطول دورتها ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا التبسيط:

وبالمثل:

يمكننا اتباع هذه العملية مع جميع القيم في الجدول لنحصل على الآتي:

الجزء الثاني

في الجدول، يمكننا، من اليمين إلى اليسار، ملاحظة أن قيم تقترب من الصفر. ومع هذا، لا تقترب مُخرَجات الدالة من أيِّ قيمة، وبدلًا من ذلك تتذبذب المُخرَجات بين و٢.

وبناءً على ذلك، يُشير الجدول إلى أن المنحنى يتذبذب سريعًا بين و٢، وهو الخيار (هـ).

الجزء الثالث

الجدول في الجزء الأول يُشير إلى أن لا تتقارب إلى أيِّ قيمة؛ وبدلًا من ذلك تتذبذب المُخرَجات بين و٢. وهذا يعني أن النهاية اليمنى للدالة عند غير موجودة. لكي تكون نهاية عند موجودة، لا بد أن تكون النهايتان اليسرى واليمنى متساويتين.

ومن ثَمَّ، فإن النهاية غير موجودة.