نسخة الفيديو النصية
وجود النهايات
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نحدد ما إذا كانت نهاية الدالة عند نقطة معينة موجودة أم لا. ثمة بعض الأسباب التي قد تجعل النهاية غير موجودة. سنستعرض هذه الأسباب ونستخدمها لاستنتاج ما إذا كانت بعض النهايات موجودة أم لا. إذا فكرنا في النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، فسنجد بعض الأسباب التي قد تجعل هذه النهاية غير موجودة. أولًا: أن تكون النهاية غير محدودة. في حالة ﺩﺱ هذه، يمكننا ملاحظة أنه عندما يقترب ﺱ من
الصفر، فإن ﺩﺱ تقترب من موجب أو سالب ما لا نهاية بناء على إذا ما
كنا نقترب من الصفر من ناحية اليمين أم من ناحية اليسار. ويرجع السبب في كون هذه النهاية غير موجودة إلى أن النهاية يجب أن تقترب من نقطة محددة. ولا يمكننا اعتبار أن ما لا نهاية نقطة محددة؛ لأن ما لا نهاية غير موجودة في الحقيقة؛ فما هي
إلا مفهوم.
دعونا نر بسرعة بعض الحالات الاستثنائية التي يكون لدينا فيها نهاية غير محدودة. في حالة الدالة ﻕﺱ، يمكننا ملاحظة أن كلتا النهايتين اليسرى
واليمنى، عندما يقترب ﺱ من الصفر، تقتربان من موجب ما لا نهاية. بما أن كلتا النهايتين اليسرى واليمنى تقتربان من ما لا نهاية لها الإشارة نفسها، يمكننا القول
إن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﻕﺱ تساوي أيضًا
ما لا نهاية. ولكن، علينا ملاحظة أن هذه النهاية ما زالت غير موجودة؛ لأن ما لا نهاية ليست عددًا؛ بل هي
مجرد مفهوم. بالمثل، يمكننا ملاحظة أنه في حالة الدالة ﺭﺱ، تقترب النهايتان
اليسرى واليمنى كلتاهما من سالب ما لا نهاية عندما يقترب ﺭ من صفر. ومن ثم، يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﺭ لـ
ﺱ تساوي سالب ما لا نهاية. لكن مرة أخرى، ما زالت هذه النهاية غير موجودة. ومع ذلك، من المهم تذكر هذا لأن معرفة ما إذا كانت نهاية معينة تقترب من ما لا نهاية لها إشارة
معينة، أفضل من الحالة التي يقترب فيها أحد طرفي نهاية ﺩﺱ من موجب
ما لا نهاية ويقترب الآخر من سالب ما لا نهاية.
دعونا الآن نتناول حالة أخرى من الحالات التي تجعل النهاية غير موجودة. يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ غير موجودة إذا لم تقترب النهاية من نقطة محددة. وهذا يحدث في حالة بعض الدوال المتذبذبة. فيما يلي مثال على الدالة المتذبذبة ﺩﺱ حيث النهاية غير
موجودة. وهذه النهاية هي عندما يقترب ﺱ من صفر. يمكننا ملاحظة أنه كلما اقتربت قيم ﺱ من صفر، تزداد سرعة تذبذب قيم الدالة لدينا
لأعلى ولأسفل. قيم هذه الدالة تتذبذب بين القيمتين سالب واحد وواحد. فكلما اقترب ﺱ من الصفر، ازدادت سرعة تذبذب قيم الدالة بين سالب واحد وواحد. لذا يمكننا القول إن الدالة لا تقترب من قيمة محددة عندما يقترب ﺱ من الصفر؛ وذلك
لأنه كلما اقترب ﺱ من الصفر، تزداد سرعة تغير قيم الدالة بين واحد وسالب واحد. وعليه، يمكننا القول إن ﺩﺱ لا تقترب من نقطة محددة عندما يقترب
ﺱ من الصفر. ومن ثم، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لـ ﺩﺱ
غير موجودة.
الآن، دعونا نستعرض سببًا آخر قد يجعل النهاية غير موجودة. عند إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ، من الضروري جدًا أن نضع في الحسبان النهايتين اليسرى واليمنى. وهذا لأنه إذا كانت النهاية اليسرى أو اليمنى غير موجودة، أو إذا كانت النهايتان موجودتين
ولكنهما غير متساويتين، فهذا يعني أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ
ﺩﺱ غير موجودة. إذا نظرنا إلى الدالة ﺩﺱ، يمكننا ملاحظة أن ﺩﺱ دالة متعددة التعريف، معرفة بين القيمتين ﺃ وﺟ. دعونا نوجد نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من
ﺃ. يمكننا ملاحظة أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من ناحية اليمين تساوي
قيمة ﺩﺃ. لكن، عندما يقترب ﺱ من ﺃ من ناحية اليسار، تكون قيمة ﺩ
غير معرفة. ومن ثم، فإن هذه النهاية من اليسار غير موجودة.
هذا يخبرنا بأن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ غير موجودة. دعونا الآن نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺏ لـ ﺩﺱ. لإيجاد هذه النهاية، دعونا نسم جزأي التمثيل البياني لدينا. سنطلق على الجزء من ﺃ إلى ﺏ الدالة ﻕﺱ
وعلى الجزء من ﺏ إلى ﺟ الدالة ﺭﺱ. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺏ من اليمين ستساوي قيمة ﺭﺏ لأننا على يمين النقطة ﺏ، وقيمة ﺩﺱ
ستتحرك على طول منحنى الدالة ﺭﺱ.
والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺏ من اليسار ستساوي قيمة ﻕﺏ، بما أن قيمة ﺩﺱ تقترب أكثر فأكثر من
ﺏ من ناحية اليسار، وتتحرك على طول منحنى الدالة ﻕﺱ. ومن ثم ستساوي قيمة ﻕﺏ. وبما أن قيمتي ﺭﺏ وﻕﺏ غير متساويتين،
نستنتج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺏ لـ ﺩﺱ غير موجودة. ها قد تناولنا كل الأسباب التي قد تجعل النهاية غير موجودة. يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تكون موجودة، إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى موجودتين، وكانت قيمة النهاية
اليسرى تساوي قيمة النهاية اليمنى. يمكننا أيضًا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي ثابتًا ما ﻝ حيث ﻝ يساوي كذلك النهايتين اليسرى
واليمنى. أصبحنا الآن مستعدين لحل بعض الأمثلة.
ابحث وجود النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة للدالة ﺩﺱ،
إذا كانت ﺩﺱ تساوي ١٣ﺱ زائد سبعة عندما يكون
ﺱ أكبر من واحد وأصغر من سبعة، وتساوي ١٤ﺱ زائد سبعة عندما يكون
ﺱ أكبر من أو يساوي سبعة وأصغر من ثمانية.
في هذا المثال، ﺩﺱ دالة متعددة التعريف. والمطلوب منا هو إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة. سبعة يمثل قيمة ﺱ التي يتغير عندها تعريف الدالة ما بين ١٣ﺱ زائد سبعة
و١٤ﺱ زائد سبعة. لكي نعرف إذا ما كانت النهاية موجودة أم لا، علينا التأكد مما إذا كانت النهايتان اليمنى
واليسرى موجودتين ومتساويتين أم لا. سنبدأ بإيجاد قيمة النهاية اليسرى. بما أن ﺱ يقترب من السبعة من الأسفل، فلا بد أن تكون قيمة ﺱ أقل من
السبعة. وبما أن قيمة ﺱ أقل من سبعة، يمكننا أن نلاحظ من تعريف الدالة متعددة التعريف أن
ﺩﺱ تساوي ١٣ﺱ زائد سبعة.
بما أن هذه دالة كثيرة حدود، يمكننا استخدام التعويض المباشر. لإيجاد قيمة هذه النهاية، يمكننا ببساطة التعويض بـ ﺱ يساوي سبعة في
١٣ﺱ زائد سبعة. وهكذا نحصل على قيمة النهاية اليسرى وتساوي ٩٨. بما أن النهاية هنا تساوي عددًا حقيقيًا ثابتًا، فهذه النهاية لا بد أنها موجودة. دعونا الآن نوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة من الأعلى. بما أن ﺱ يقترب من العدد سبعة من الأعلى، فهذا يعني أن ﺱ أكبر من
سبعة. ومن ثم فمن تعريف الدالة متعددة التعريف، نجد أن ﺩﺱ تساوي
١٤ﺱ زائد سبعة، وهي مجددًا دالة كثيرة حدود. وعليه، يمكننا التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سبعة في ١٤ﺱ زائد سبعة، نحصل على النهاية عندما
يقترب ﺱ من سبعة من اليمين، وتساوي ١٠٥. إذن، النهاية موجودة.
وجدنا إذن أن النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان. لكن، النهاية اليسرى تساوي ٩٨. والنهاية اليمنى تساوي ١٠٥. إذن، يمكننا استنتاج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سبعة لـ ﺩﺱ غير موجودة؛ لأن النهايتين اليسرى واليمنى غير متساويتين. في هذا المثال، لاحظنا أن النهاية تكون غير موجودة لأن النهايتين اليسرى واليمنى غير
متساويتين. ويرجع هذا إلى وجود قفزة في الدالة عند النقطة التي نحاول إيجاد قيمة النهاية عندها. ومن ثم لا يمكننا القول إن نهاية ﺩﺱ تقترب من نقطة محددة، لأنها
تعتمد على الاتجاه الذي نقترب منه للقيمة التي قد تساويها النهاية.
لننتقل الآن إلى مثال آخر.
ابحث وجود النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة للدالة ﺩﺱ،
إذا كانت ﺩﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين
زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين وأصغر من ثلاثة، وﺱ تربيع
زائد ستة ﺱ ناقص ٢٧ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص ثلاثة
ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من ثلاثة وأصغر من تسعة.
دعونا نوجد قيمتي النهايتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﺱ من ثلاثة في هذه الدالة
متعددة التعريف. بما أن ﺱ يقترب من ثلاثة من الأسفل، فإن قيمة ﺱ ستكون أقل من
ثلاثة. ومن ثم، فإن ﺩﺱ ستساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص
اثنين زائد ثلاثة. يمكننا التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية. سنجد أن الناتج يساوي أربعة. والآن، لننظر إلى النهاية اليمنى. بما أن ﺱ يقترب من الثلاثة من الأعلى، فإن قيمة ﺱ ستكون أكبر من
الثلاثة. إذن، ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص
٢٧ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ. إذا حاولنا استخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية، فسنجد أنها تساوي صفرًا على صفر
وهي صيغة غير معينة. لكن، بما أن هذه الدالة دالة كسرية تتضمن كثيرات حدود في البسط والمقام، حيث يساوي كل من البسط
والمقام صفرًا عند ثلاثة، فهذا يعني أنه يمكننا أخذ ﺱ ناقص ثلاثة عاملًا مشتركًا
بين البسط والمقام.
عندئذ نحصل على ﺱ زائد تسعة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على
ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. بعد ذلك، يمكننا ببساطة حذف ﺱ ناقص ثلاثة من بسط الكسر ومقامه. لكن علينا الانتباه إلى أننا بذلك نغير مجال ﺩﺱ بالفعل. عندما عوضنا فيما سبق بالقيمة ﺱ يساوي ثلاثة، حصلنا على قيمة غير معرفة. لكن إذا عوضنا الآن بـ ﺱ يساوي ثلاثة، فسنحصل على عدد. لذا علينا أن نطلق على هذه الدالة الجديدة ﻕﺱ، حيث إن
ﻕﺱ تتطابق مع ﺩﺱ في كل شيء ما عدا
المجال، حيث إنه يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي ثلاثة في ﻕﺱ ولكن لا يمكننا التعويض به في ﺩﺱ. يمكننا الآن استخدام التعويض المباشر في ﻕﺱ لإيجاد النهاية من
الأعلى.
نجد أن قيمة النهاية من الأعلى تساوي أربعة. عند مقارنة هذا مع النهاية من الأسفل، يمكننا ملاحظة أن هاتين القيمتين متساويتان. وبالتالي يمكننا استنتاج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ موجودة. وهي تساوي أربعة. في هذا المثال، لاحظنا كيف أن نهاية الدالة متعددة التعريف، عند النقطة التي يتغير عندها تعريف
الدالة، يمكن أن تكون موجودة إذا كانت النهايتان اليسرى واليمنى تتفقان في القيمة التي تساويها
النهاية.
دعونا ننظر إلى مثال آخر.
ابحث وجود النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد على القيمة المطلقة لـ
ﺱ ناقص اثنين.
لنبدأ بإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للقيمة المطلقة لـ
ﺱ ناقص اثنين، وهي تمثل مقام هذا الكسر. يمكننا إيجاد هذا بالتعويض المباشر. ومن ثم نحصل على صفر. هذا يخبرنا بأنه عندما يقترب ﺱ من اثنين، تصبح القيمة المطلقة لـ ﺱ
ناقص اثنين أصغر فأصغر بينما تقترب من الصفر. وبما أن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين تصبح أصغر، فإن هذا يعني أن قيمة المقلوب
واحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين تصبح أكبر فأكبر. وهذا يخبرنا بأن لدينا نهاية غير محدودة. ولذلك، فالنهاية لا تقترب من أي قيمة محددة، ومن ثم فالنهاية غير موجودة. وذلك لأن ما لا نهاية ليست عددًا، فهي ببساطة مجرد مفهوم. الآن، يمكننا استنتاج ما هو أكثر من أن النهاية غير موجودة. لذا، دعونا نرسم التمثيل البياني لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين.
سيتجه منحنى الدالة نحو ما لا نهاية عند ﺱ يساوي اثنين. ونحن نعرف أن المنحنى يجب أن يكون موجبًا لجميع قيم ﺱ؛ لأن المنحنى لدينا يتضمن
معيارًا أو قيمة مطلقة. وبما أن أي شيء ينتج عن القيمة المطلقة يكون موجبًا، فهذا يعني أن منحنى الدالة يجب أن يكون
موجبًا لجميع قيم ﺱ. يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أنه عندما يقترب ﺱ من اثنين من الأعلى ومن
الأسفل، تقترب الدالة من موجب ما لا نهاية. لذا يمكننا القول إن النهايتين اليسرى واليمنى، عندما يقترب ﺱ من اثنين، تساويان
ما لا نهاية. بما أن النهايتين تساويان موجب ما لا نهاية، يمكننا استنتاج أن النهاية عندما يقترب
ﺱ من اثنين لواحد على القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين تساوي موجب ما
لا نهاية أيضًا.
لكن علينا تذكر أن هذه النهاية ما زالت غير موجودة؛ لأن ما لا نهاية ليست عددًا. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد على القيمة
المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين غير موجودة. لكن قيمة النهاية تساوي ما لا نهاية. في هذا المثال، لاحظنا ما يحدث عندما تقترب النهاية من ما لا نهاية. لننظر الآن إلى مثال أخير.
ابحث سلوك الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين جتا واحد على
ﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر. (أ) أكمل جدول قيم ﺩﺱ لقيم ﺱ التي تقترب من الصفر.
لحل هذا الجزء الأول، يمكننا ببساطة التعويض بقيم ﺱ في ﺩﺱ. سنجد أن ﺩ لواحد على ٩٩𝜋 تساوي سالب اثنين. وﺩ لواحد على ١٠٠𝜋 تساوي اثنين. إذا تابعنا بهذه الطريقة، يمكننا إكمال باقي الجدول، وبهذا نكون قد حللنا الجزء (أ).
الجزء (ب): إلام يشير ذلك بالنسبة إلى منحنى ﺩ بالقرب من الصفر؟
يشير الجدول إلى أنه كلما اقتربنا من الصفر أكثر فأكثر، تزداد سرعة تذبذب منحنى ﺩﺱ بين سالب اثنين واثنين. دعونا نفكر في سبب حدوث ذلك. نحن نعلم أنه عندما يقترب ﺱ من الصفر من أعلى، فإن قيمة واحد على ﺱ
ستقترب من ما لا نهاية. وعندما يقترب ﺱ من الصفر من الأسفل، فإن قيمة واحد على ﺱ ستقترب من
سالب ما لا نهاية. هذا يعني أنه كلما قلت قيمة ﺱ، زادت قيمة واحد على ﺱ أكثر فأكثر في
الاتجاه الموجب أو السالب، بناء على اتجاه اقترابنا من الصفر. كلما اقتربنا من الصفر أكثر فأكثر، سيزداد معدل زيادة قيمة واحد على ﺱ.
نحن نعلم أن دالة جيب التمام تتذبذب أيضًا بين سالب واحد وواحد بمعدل ثابت. لكن، بما أن معدل زيادة واحد على ﺱ يزداد، فهذا يعني أن قيمة جيب تمام واحد على
ﺱ ستكون متذبذبة بين سالب واحد وواحد بمعدل متزايد. إذن، هذا هو السبب في تذبذب منحنى الدالة بسرعة بين سالب اثنين واثنين.
الجزء (ج): بناء على ذلك، أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر للدالة
ﺩﺱ.
في الجزء (ب) لاحظنا أنه عندما يقترب ﺱ من الصفر، سيتذبذب منحنى ﺩﺱ بسرعة أكبر وأكبر بين سالب اثنين واثنين. لذا فعندما يقترب ﺱ من الصفر، لا يمكننا استنتاج القيمة المحددة التي ستقترب منها
ﺩﺱ؛ لأن منحنى الدالة سيتغير بين سالب اثنين واثنين أسرع
فأسرع. وبما أن الدالة لا تقترب من أي نقطة محددة عندما يقترب ﺱ من صفر، يمكننا استنتاج
أن النهاية غير موجودة. ها قد رأينا السبب الذي قد يجعل نهاية الدالة المتذبذبة غير موجودة.
كما تناولنا بعض الأمثلة التي توضح الأسباب التي قد تجعل النهاية موجودة أو غير موجودة. دعونا الآن نلخص النقاط الأساسية في هذا الفيديو.
إذا كانت قيمة الدالة تقترب من ما لا نهاية عند نقطة ما، فإن نهاية الدالة عند هذه النقطة غير
موجودة. لكي تكون النهاية موجودة، لا بد أن تقترب من نقطة محددة. لذا، في حالة بعض الدوال المتذبذبة، قد تبدأ هذه الدوال في التذبذب بسرعة كبيرة عندما تقترب من
نقطة ما. ومن ثم، ستكون النهاية غير موجودة. إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الأسفل لـ ﺩﺱ غير موجودة، أو إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ
من الأعلى لـ ﺩﺱ غير موجودة، أو إذا كانت قيمة النهاية من الأسفل
لا تساوي قيمة النهاية من الأعلى، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ
ﺩﺱ غير موجودة. إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الأسفل لـ ﺩﺱ والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الأعلى كلتاهما
موجودتان، وكانت النهاية من الأسفل تساوي النهاية من الأعلى وتساوي ثابتًا ما ﻝ،
فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ
موجودة. ويمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي ﻝ.