نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث تعطى سرعته عند اللحظة ﻥ ثانية بالعلاقة ﻉ تساوي سالب جا أربعة ﻥ زائد ١٤ متر لكل ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا كان موضعه الابتدائي ر صفر يساوي ١٣ مترًا، فأوجد تعبيرًا لموضعه عند اللحظة ﻥ ثانية.
تخبرنا المسألة أن جسيمًا يتحرك في خط مستقيم بحيث تكون سرعته بعد ﻥ ثانية تساوي سالب جا أربعة ﻥ زائد ١٤ متر لكل ثانية. ونعرف من المعطيات أن هذا ينطبق فقط عندما تكون قيمة ﻥ أكبر من أو تساوي صفرًا. ونعرف أيضًا أن الموضع الابتدائي للجسيم، ر صفر، يساوي ١٣ مترًا. والمطلوب منا في السؤال هو استخدام هذه المعطيات لإيجاد تعبير لموضع الجسيم بعد ﻥ ثانية.
نظرًا لأننا نعرف سرعة الجسيم، فيمكننا تذكر أن سرعة الجسيم هي معدل التغير في الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. فالسرعة هي مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. ومع ذلك، فإن عكس هذه العبارة صحيح أيضًا. فإزاحة الجسيم بعد ﻥ ثانية هي مشتقة عكسية للسرعة بالنسبة إلى الزمن. وبما أن الجسيم يتحرك في خط مستقيم، يمكننا قياس موضعه بقياس الإزاحة. ومن ثم، إذا أجرينا تكامل سالب جا أربعة ﻥ زائد ١٤ بالنسبة إلى ﻥ، فسنحصل على تعبير لدالة الإزاحة في نهايته ثابت التكامل.
لإيجاد قيمة هذا التكامل، نتذكر أنه إذا كان لدينا ثابتان ﺃ وﺏ، حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل ﺃ في جا ﺏﻥ بالنسبة إلى ﻥ يساوي سالب ﺃ في جتا ﺏﻥ على ﺏ زائد ثابت التكامل ﺙ. ومن ثم، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة التكامل. فنحصل على سالب واحد في سالب جتا أربعة ﻥ على أربعة. نتذكر أن المشتقة العكسية لأي ثابت تساوي هذا الثابت في ﻥ. وعليه، نجد أن تكامل ١٤ هو ١٤ﻥ. ثم نضيف ثابتًا للتكامل، ونطلق عليه ﺙ.
يمكننا تبسيط هذا التعبير. نعرف أن سالب واحد في سالب واحد يساوي واحدًا. بهذا نكون قد أوضحنا أن إزاحة الجسيم بعد مرور الزمن ﻥ تساوي جتا أربعة ﻥ على أربعة زائد ١٤ﻥ زائد ﺙ. ونطلق على ذلك حلًّا عامًّا؛ لأننا لا نعرف قيمة ﺙ. ولمساعدتنا في إيجاد قيمة ﺙ، نتذكر أن الموضع الابتدائي للجسيم، ر صفر، يساوي ١٣. بالتعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في معادلة الإزاحة، نحصل على ﻑ عند صفر يساوي جتا أربعة في صفر على أربعة زائد ١٤ في صفر زائد ﺙ. وﻑ عند صفر هي إزاحة الجسيم بعد صفر ثانية. وهي الإزاحة الابتدائية للجسيم. ونعرف أنها تساوي ١٣.
يمكننا تبسيط هذا التعبير. ١٤ في صفر يساوي صفرًا، وأربعة في صفر يساوي صفرًا. ونعرف أن جتا صفر يساوي واحدًا. إذن لدينا الآن الإزاحة الابتدائية التي قيمتها ١٣ تساوي ربعًا زائد ﺙ. بطرح ربع من كلا طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺙ يساوي ١٣ ناقص ربع. ويمكننا حساب ذلك لنحصل على ٥١ على أربعة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن ﺙ يساوي ٥١ على أربعة. ويمكننا التعويض بذلك في معادلة إزاحة الجسيم بعد ﻥ ثانية. وهذا يعطينا ﻑ لـ ﻥ يساوي ١٤ﻥ زائد ربع في جتا أربعة ﻥ زائد ٥١ على أربعة.
وبما أن جميع الوحدات معطاة بالمتر والثانية، وهذا التعبير يمثل الإزاحة بعد ﻥ ثانية، إذن يمكننا إضافة وحدة المتر. وبهذا نكون قد أوجدنا موضع الجسيم إذا كان هذا الجسيم يتحرك في خط مستقيم، حيث سرعته بعد ﻥ ثانية تساوي سالب جا أربعة ﻥ زائد ١٤ متر لكل ثانية، وحيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، وموضعه الابتدائي ١٣ مترًا. فإزاحة هذا الجسيم بعد ﻥ ثانية تساوي ١٤ﻥ زائد ربع في جتا أربعة ﻥ زائد ٥١ على أربعة متر.
