فيديو الدرس: الحركة في خط مستقيم والتكامل الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق التكامل لحل المسائل التي تتضمن الحركة في خط مستقيم. نبدأ باسترجاع طرق تكامل بعض الدوال الأساسية وعملية التكامل بالتعويض قبل أن نتناول كيف يرتبط التكامل بالحركة في خط مستقيم. نتناول بعد ذلك مجموعة من الأمثلة التي توضح هذه الأساليب.

فيما يأتي أساليب التفاضل والتكامل التي سنستخدمها في هذا الفيديو. علينا أن نعرف كيف نكامل قوى ﺱ. هذه دالة على الصورة ﺃﺱ أس ﻥ؛ حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان، وﻥ لا يساوي سالب واحد. نضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على هذه القيمة الجديدة. إذن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ يساوي ﺃﺱ أس ﻥ زائد واحد، مقسومًا على ﻥ زائد واحد، زائد ثابت التكامل ﺙ. وإذا كان ﻥ يساوي سالب واحد، فإننا نكامل دالة على الصورة ﺃ على ﺱ، وهو ما يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ، زائد ﺙ. سنتناول أيضًا الدوال الأسية والمثلثية الموضح تكاملاتها هنا. وأخيرًا، من المفيد أن تكون قادرًا على إجراء التكامل بالتعويض، لكن يمكنك استيعاب معظم هذا الفيديو حتى وإن لم تمتلك هذه المهارة.

حسنًا، ما علاقة التفاضل والتكامل بالحركة؟ وبالأخص الحركة المستقيمة. وهي الحركة في خط مستقيم. دعونا نتذكر تعريفات الإزاحة والسرعة والعجلة. الإزاحة، التي تكتب أحيانًا ﻑ على صورة دالة، هي المتجه الذي يصف موضع جسم يبعد مسافة معينة عن نقطة بداية معطاة. والسرعة هي معدل تغير إزاحة هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. والعجلة هي معدل تغير سرعة الجسم بالنسبة إلى الزمن. هذا يعني أنه إذا عرفنا ﻑ باعتباره دالة الإزاحة عند الزمن ﻥ، فإن السرعة هي مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. وباستخدام تعريف الدوال، تكون ﻑ شرطة ﻥ. وبصيغة ليبنتز، يمكنك كتابتها ﺩﻑ على ﺩﻥ.

وبالمثل، يمكننا القول إنه إذا كان ﻉ دالة لحساب السرعة عند الزمن ﻥ، فإن العجلة هي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ. وتكتب ﻉ شرطة ﻥ أو ﺩﻉ على ﺩﻥ. وبما أن ﻉ هو مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ، يمكننا القول إن العجلة أيضًا يمكن كتابتها باعتبارها المشتقة الثانية لـ ﻑ. فتصبح ﻑ شرطتين ﻥ. وبما أن التكامل هو العملية العكسية للتفاضل، يمكننا أن نرسم شكلًا توضيحيًّا بسيطًا يوضح العلاقة بين الإزاحة والسرعة والعجلة. لإيجاد تعبير دال على السرعة بمعلومية تعبير دال على العجلة بدلالة الزمن، نجري عملية التكامل. وبالمثل، لإيجاد تعبير دال على الإزاحة بمعلومية تعبير دال على السرعة بدلالة الزمن، نجري التكامل بالنسبة إلى الزمن. من المهم أن نتذكر أن المسافة والسرعة كميتان قياسيتان، ونسميهما أحيانًا «مقدار الإزاحة» و«مقدار السرعة»، على الترتيب.

دعونا الآن نتناول عددًا من الأمثلة التي توضح هذه الأمور.

يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث كانت سرعته عند الزمن ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة: ﻉ يساوي ١٥ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ متر لكل ثانية؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا كان موضع الجسيم الابتدائي من نقطة ثابتة ٢٠ مترًا، فأوجد تعبيرًا يدل على إزاحته بالنسبة إلى هذه النقطة الثابتة عند الزمن ﻥ ثانية.

تذكر أن السرعة هي معدل تغير إزاحة الجسم. هذا يعني أنه يمكننا اشتقاق دالة الإزاحة لإيجاد دالة السرعة. وعلى العكس، يمكننا القول إن تكامل دالة السرعة سيعطينا دالة الإزاحة. إذن لحل هذا السؤال، سنكامل الدالة بالنسبة إلى الزمن ﻥ، ثم نستخدم المعطيات حول الموضع الابتدائي لإيجاد تعبير كامل دال على الإزاحة. ‏ﻑ يساوي تكامل ١٥ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.

تذكر أن تكامل مجموع دالتين أو أكثر، أو الفرق بينهما، يساوي مجموع تكامل كل منهما أو الفرق بين تكامليهما. إذن يمكننا أن نكامل ١٥ﻥ تربيع وسالب ثمانية ﻥ كل على حدة. نحن نعلم أنه لكي نكامل حدًّا على هذه الصورة، فإننا نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على هذا العدد الجديد. وبذلك، فإن تكامل ١٥ﻥ تربيع يصبح ١٥ﻥ تكعيب مقسومًا على ثلاثة. وفي الواقع، نحصل على ثابت تكامل أيضًا. لكن سنتناوله بعد قليل.

تكامل سالب ثمانية ﻥ يساوي سالب ثمانية ﻥ تربيع مقسومًا على اثنين. بعد ذلك، نجمع ثابتي التكامل الناتجين عن تكامل ١٥ﻥ تربيع وسالب ثمانية ﻥ. وبذلك نجد أن ﻑ يساوي ١٥ﻥ تكعيب على ثلاثة زائد سالب ثمانية ﻥ تربيع على اثنين زائد ﺙ. ويمكننا تبسيط هذا قليلًا. وبذلك نحصل على المعادلة العامة لإزاحة الجسم. وهي خمسة ﻥ تكعيب ناقص أربعة ﻥ تربيع زائد ﺙ. والآن يمكننا أن نوجد المعادلة المحددة لإزاحة الجسم. وهذا يتضمن إيجاد قيمة ﺙ. يمكننا فعل ذلك، لأننا نعرف الموضع الابتدائي من نقطة ثابتة؛ أو بعبارة أخرى الإزاحة الابتدائية. عرفنا أن الموضع الابتدائي للجسيم من نقطة ثابتة يساوي ٢٠ مترًا. إذن، عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻑ يساوي ٢٠.

فلنعوض بهاتين القيمتين في النتيجة التي حصلنا عليها. لدينا ٢٠ يساوي خمسة في صفر تكعيب ناقص أربعة في صفر تربيع زائد ﺙ. ويبسط ذلك إلى ٢٠ يساوي ﺙ. إذن الإجابة هي ﻑ يساوي خمسة ﻥ تكعيب ناقص أربعة ﻥ تربيع زائد ٢٠ متر. تذكر أنه يمكننا عكس هذه العملية واشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى ﻥ لنتأكد من الحل. وبذلك نحصل على ﺩﻑ على ﺩﻥ. وهو ما يساوي ثلاثة في خمسة ﻥ تربيع ناقص اثنين في أربعة ﻥ، ويبسط ذلك إلى ١٥ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ، كما هو معطى.

سنتناول الآن كيف يمكننا تكرار التكامل مرتين لحل المسائل التي تتضمن حركة مستقيمة.

يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث عجلته عند الزمن ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة ﺟ يساوي اثنين ﻥ ناقص ١٨ مترًا لكل ثانية مربعة، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا كانت سرعة الجسيم الابتدائية ٢٠ مترًا لكل ثانية، وإزاحته الابتدائية صفرًا متر، فأوجد تعبيرًا يدل على إزاحته عند الزمن ﻥ.

تذكر أن العجلة هي معدل تغير سرعة الجسم. هذا يعني أننا نشتق دالة السرعة لإيجاد دالة العجلة. وعلى العكس، يمكننا القول إن تكامل دالة العجلة سيعطينا دالة السرعة. وبالمثل، السرعة تساوي مشتقة الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. ومن ثم، يمكننا القول إنه لإيجاد الإزاحة، نشتق دالة السرعة بالنسبة إلى الزمن.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نكامل دالة العجلة بالنسبة إلى الزمن مرتين. وخلال هذه العملية، يمكننا استخدام السرعة الابتدائية المعطاة والإزاحة الابتدائية. هذا سيساعدنا في إيجاد تعبير دال على الإزاحة. إذن السرعة هي التكامل غير المحدد لاثنين ﻥ ناقص ١٨ بالنسبة إلى ﻥ. وتكامل اثنين ﻥ يساوي اثنين ﻥ تربيع على اثنين. تكامل سالب ١٨ يساوي سالب ١٨ﻥ. وعلينا ألا ننسى ثابت التكامل ﺙ. وبذلك، نجد أن ﻉ يساوي ﻥ تربيع ناقص ١٨ﻥ زائد ﺙ. ويعرف هذا بالمعادلة العامة. لكننا نعلم أن سرعة الجسيم الابتدائية تساوي ٢٠ مترًا لكل ثانية. إذن يمكننا القول إنه عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻉ يساوي ٢٠.

يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد التعبير الدال على السرعة. نعوض عن ﻥ بصفر وعن ﻉ بـ ٢٠ في هذه المعادلة. وبذلك نحصل على ٢٠ يساوي صفر تربيع ناقص ١٨ في صفر زائد ﺙ، وهو ما يعطينا ٢٠ يساوي ﺙ. ومن ثم، أصبح لدينا تعبير دال على السرعة عند الزمن ﻥ. وهو ﻥ تربيع ناقص ١٨ﻥ زائد ٢٠. يمكننا إجراء التكامل مرة أخرى لإيجاد تعبير دال على الإزاحة. وهو تكامل ﻥ تربيع ناقص ١٨ﻥ زائد ٢٠ بالنسبة إلى ﻥ.

هذه المرة، تكامل ﻥ تربيع يساوي ﻥ تكعيب على ثلاثة. وتكامل سالب ١٨ﻥ يساوي سالب ١٨ﻥ تربيع على اثنين. وتكامل ٢٠ يساوي ٢٠ﻥ، ولدينا ثابت التكامل. لاحظ أنني استخدمت الحرف ﺩ بدلًا من ﺙ؛ لأننا استخدمنا ﺙ من قبل في هذا السؤال. إذن ﻑ يساوي ﻥ تكعيب على ثلاثة ناقص تسعة ﻥ تربيع زائد ٢٠ﻥ زائد ﺩ. مرة أخرى، لدينا المعطيات الكافية لحساب قيمة ﺩ. نحن نعلم أن الإزاحة الابتدائية تساوي صفرًا متر. إذن عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻑ يساوي صفرًا. نعوض بهاتين القيمتين. فنحصل على صفر يساوي صفرًا تكعيب على ثلاثة ناقص تسعة في صفر تربيع زائد ٢٠ في صفر زائد ﺩ، وهو ما يعطينا صفر يساوي ﺩ. ها قد انتهينا! لقد أوجدنا تعبيرًا دالًّا على إزاحة الجسيم عند الزمن ﻥ. وهو ﻥ تكعيب على ثلاثة ناقص تسعة ﻥ تربيع زائد ٢٠ﻥ متر.

في المثال الآتي، سنعرف كيف يمكننا استخدام التكامل لحل المسائل التي تتضمن الحل الأمثل.

بدأ جسيم حركته في خط مستقيم. عجلة الجسيم عند الزمن ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة: ﺟ يساوي سالب خمسة ﻥ تربيع زائد خمسة أمتار لكل ثانية مربعة، عندما يكون ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد السرعة القصوى للجسيم ﻉ القصوى، والمسافة ﺱ التي قطعها قبل وصوله إلى هذه السرعة، إذا كانت السرعة الابتدائية للجسيم صفرًا متر لكل ثانية.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أولًا أنه يمكننا إيجاد تعبير دال على السرعة من خلال تكامل التعبير الدال على العجلة بالنسبة إلى الزمن. وبالمثل، يمكننا إيجاد تعبير دال على الإزاحة من خلال تكامل التعبير الدال على السرعة بالنسبة إلى الزمن. علينا أن نتذكر أيضًا أنه يمكننا إيجاد أي قيمة عظمى عن طريق البحث أولًا عن النقاط الحرجة للدالة، وهي النقاط التي تكون عندها مشتقة الدالة تساوي صفرًا أو غير موجودة.

لإيجاد النقاط الحرجة والسرعة القصوى، علينا أن نحسب قيمة ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي صفرًا. لكن ﺩﻉ على ﺩﻥ يمثل العجلة. فلنساو التعبير الدال على ﺟ بصفر، ونحل لإيجاد قيمة ﻥ. لدينا سالب خمسة ﻥ تربيع زائد خمسة يساوي صفرًا. بإضافة خمسة ﻥ تربيع إلى الطرفين، نحصل على خمسة ﻥ تربيع يساوي خمسة. وبقسمة الطرفين على خمسة، نحصل على ﻥ تربيع يساوي واحدًا. الخطوة الأخيرة هي حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. تذكر أنه لا داعي للقلق بشأن إيجاد الجذر التربيعي الموجب والسالب لواحد، لأن الزمن قيمة موجبة دائمًا. إذن ﻥ يساوي واحدًا. وبذلك أوجدنا نقطة حرجة لدالة السرعة، وهي عند ﻥ يساوي واحدًا.

بما أن هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة، فيمكننا القول إنها في الغالب قيمة عظمى. ولكن سنتحقق من صحة هذا من خلال إيجاد المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية أقل من صفر عند ﻥ يساوي واحدًا، فسيكون لدينا بالتأكيد قيمة عظمى. وبالطبع المشتقة الثانية للسرعة بالنسبة إلى الزمن تساوي المشتقة الأولى للعجلة بالنسبة إلى الزمن. المشتقة الأولى لسالب خمسة ﻥ تربيع زائد خمسة تساوي سالب ١٠ﻥ. وعلينا إيجاد قيمة ذلك عند ﻥ يساوي واحدًا. إذن لدينا سالب ١٠ في واحد، وهو ما يساوي سالب ١٠. وبما أن سالب ١٠ أقل من صفر، فلدينا بالتأكيد قيمة عظمى عند ﻥ يساوي واحدًا.

في الواقع، نريد إيجاد السرعة القصوى للجسيم. ونعلم أنها تكون عند ﻥ يساوي واحدًا. إذن دعونا نوجد دالة السرعة، ونحسب قيمتها عند ﻥ يساوي واحدًا. ذكرنا أن هذا هو تكامل دالة العجلة. إذن نكامل سالب خمسة ﻥ تربيع زائد خمسة. وبذلك نحصل على سالب خمسة ﻥ تكعيب على ثلاثة زائد خمسة ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ. ويمكننا حساب قيمة ثابت التكامل هذا باستخدام حقيقة أن السرعة الابتدائية للجسيم تساوي صفرًا متر لكل ثانية. بعبارة أخرى، عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن ﻉ يساوي صفرًا. وبالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على صفر يساوي سالب خمسة في صفر تكعيب على ثلاثة زائد خمسة في صفر زائد ﺙ. ومن ثم، فإن صفرًا يساوي ﺙ. والتعبير النهائي لدالة السرعة هو سالب خمسة ﻥ تكعيب على ثلاثة زائد خمسة ﻥ.

نريد أن نعرف السرعة القصوى. وعرفنا أنها تكون عند ﻥ يساوي واحدًا. لذلك سنعوض عن ﻥ بواحد في هذا التعبير. فيصبح لدينا سالب خمسة في واحد تكعيب على ثلاثة زائد خمسة في واحد، وهو ما يساوي ١٠ أثلاث متر لكل ثانية. وهكذا نكون قد حصلنا على الجزء الأول من الحل. فالقيمة العظمى تساوي ١٠ أثلاث. من الضروري أن ندرك أنه لا توجد قيمة عظمى أخرى عند نقطة النهاية؛ حيث ﻥ يساوي صفرًا، طالما أنه لا توجد نقاط تحول أخرى في الفترة من صفر إلى واحد.

والآن سنحسب المسافة ﺱ التي قطعها الجسيم قبل وصوله إلى هذه السرعة. علينا أن نتعامل بحرص هنا. المسافة هي القيمة القياسية للإزاحة. إنها القيمة المطلقة للإزاحة. ونعلم أنه يمكن أن نكامل دالة السرعة لإيجاد دالة الإزاحة. بعد ذلك، نحسب قيمة التكامل بين واحد وصفر لإيجاد الإزاحة الكلية. لكي نعرف إذا ما كان ذلك سيعطينا نفس قيمة المسافة، علينا النظر إلى شكل التمثيل البياني. إذا كان المنحنى يقع بالكامل فوق المحور ﺱ أو أسفله، فإن القيمة المطلقة للإزاحة تساوي المسافة. بين صفر وواحد، يقع المنحنى بالكامل فوق المحور ﺱ، أو المحور ﻥ في هذه الحالة.

إذن تعطى المسافة الكلية المقطوعة باعتبارها المساحة بين المنحنى والمحور ﻥ المحددة بالخطين ﻥ يساوي صفرًا وﻥ يساوي واحدًا. وهو التكامل المحدد بين صفر وواحد لدالة السرعة بالنسبة إلى الزمن. وبحساب التكامل، نحصل على سالب خمسة ﻥ أس أربعة على ١٢ زائد خمسة ﻥ تربيع على اثنين. وبحساب قيمة التكامل بين واحد وصفر، نحصل على سالب خمسة على ١٢ زائد خمسة على اثنين ناقص صفر، وهو ما يساوي ٢٥ على ١٢. ‏ﻉ القصوى يساوي ١٠ أثلاث متر لكل ثانية، والمسافة ﺱ التي قطعها الجسيم قبل وصوله إلى ﻉ القصوى هي ٢٥ على ١٢ مترًا.

عرفنا في هذا المثال أنه يمكننا استخدام التكامل المحدد لحساب المسافة الكلية التي قطعها جسيم. سنتناول مثالًا آخر بنفس الصورة.

يتحرك جسيم في اتجاه المحور ﺱ بسرعة ﻉ متر لكل ثانية؛ حيث ﻉ يساوي جتا ﻥ. أوجد المسافة الكلية التي قطعها الجسيم أثناء الفترة الزمنية صفر أقل من أو يساوي ﻥ؛ حيث ﻥ أقل من أو يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على ﻥ.

علينا أن نتعامل بحرص هنا. تذكر أن المسافة هي مقدار الإزاحة. ونحسب الإزاحة عن طريق حساب تكامل دالة السرعة. ويمكن اعتبارها المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ. إن الصعوبة التي تواجهنا هنا هي أن جتا ﻥ قيمة موجبة وسالبة على الفترة الزمنية ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، وأقل من أو يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. لذلك سنحسب قيمة هذه المساحة على جزأين.

المسافة الكلية المقطوعة تساوي مجموع مقدار الإزاحة بين ﻥ يساوي صفرًا وﻥ يساوي ‏𝜋‏ على اثنين، ومقدار الإزاحة بين ﻥ يساوي ‏𝜋‏ على اثنين وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. إن حساب مقدار الإزاحة بين ﻥ يساوي صفرًا وﻥ يساوي ‏𝜋‏ على اثنين عملية مباشرة وسهلة. فهو يساوي التكامل المحدد لـ جتا ﻥ بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين. أما حساب مقدار الإزاحة بين ‏𝜋‏ على اثنين وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين فهو أصعب قليلًا. بما أن هذا الجزء من المنحنى يقع أسفل المحور ﺱ، نعرف أننا سنحصل في النهاية على قيمة سالبة عند إجراء التكامل. وبذلك يمكننا القول إن مقدار الإزاحة يساوي سالب تكامل جتا ﻥ بين ‏𝜋‏ على اثنين وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، أو التكامل بين ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين و‏𝜋‏ على اثنين لـ جتا ﻥ.

تذكر أن عكس حدي التكامل يؤدي إلى تغيير إشارة الناتج. تكامل جتا ﺱ ﺩﺱ يساوي جا ﺱ زائد ﺙ. إذن تكامل جتا ﻥ يساوي جا ﻥ. ولا نحتاج إلى ثابت التكامل؛ لأننا نتعامل مع تكامل محدد. وبالتعويض بحدي التكامل في ناتج التكامل، نحصل على جا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص جا صفر زائد جا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين. جا ‏𝜋‏ على اثنين يساوي واحدًا، وجا صفر يساوي صفرًا. ونعلم أيضًا أن جا ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين يساوي سالب واحد. إذن لدينا واحد ناقص صفر زائد واحد ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. وبذلك يمكننا القول إن المسافة الكلية المقطوعة أثناء الفترة الزمنية ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأقل من أو يساوي ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين هي ثلاثة أمتار.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام التكامل لاستنتاج دالتي السرعة والإزاحة من دالتي العجلة والسرعة، على الترتيب. كما عرفنا أنه يمكن أن نكامل دالة العجلة مرتين لنتمكن من إيجاد دالة الإزاحة، لكننا نحتاج إلى القيمة الابتدائية لكل من السرعة والإزاحة لإيجاد حل محدد. عرفنا أيضًا أنه يمكن استخدام التكاملات المحددة لتساعدنا في إيجاد الإزاحة الكلية أو المسافة المقطوعة. لكن في حالة المسافة، علينا النظر إلى شكل التمثيل البياني قبل البدء في الحل.