تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الحركة في خط مستقيم والتكامل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق التكامل لحل المسائل التي تتضمَّن الحركة في خط مستقيم.

عندما يتحرَّك الجسيم في خط مستقيم، يُوصف موقعه بإحداثي واحد في اتجاه الحركة. من خلال تسمية هذا الاتجاه بالمحور 𞸎، يمكننا وصف موضع الجسيم عند الزمن 𞸍 باستخدام الدالة 𞸎(𞸍). تُعرَّف الإزاحة 𞸐 للجسيم على أنها التغير في الموضع؛ ومن ثَمَّ، فإن: 𞸐(𞸍)=𞸎(𞸍)𞸎(٠) هي إزاحة الجسيم عند الزمن 𞸍 بدءًا من الزمن 𞸍=٠.

نحن نعلم أن السرعة اللحظية هي معدل تغير الموضع بالنسبة إلى الزمن، 𞸏(𞸍)=𞸃𞸎𞸃𞸍. بما أننا نعمل هنا في بُعد واحد، فإن متجه السرعة عند 𞸍 هو: 󰄮𞸏(𞸍)=𞸏(𞸍)󰄮𞸉، حيث 󰄮𞸉 هو متجه وحدة في اتجاه المحور 𞸎. لذا، فإن 𞸏(𞸍) هي مركِّبة متجِه السرعة في اتجاه محور الحركة، المُعرَّف هنا على أنه المحور 𞸎. لاحظ أن متجهي الموضع والإزاحة يمكن تعريفهما بالطريقة نفسها: 󰄮󰄮󰄮𞸎(𞸍)=𞸎(𞸍)󰄮𞸉،󰄮󰄮𞸐(𞸍)=𞸐(𞸍)󰄮𞸉=(𞸎(𞸍)𞸎(٠))󰄮𞸉.

سنتعرف الآن على كيفية إيجاد التغير في الموضع، أي الإزاحة، بمعلومية الدالة 𞸏(𞸍).

إذا كانت السرعة 𞸏 ثابتة؛ فإننا نجد بسهولة أن الإزاحة خلال فترة ما Δ𞸍=𞸍𞸍٢١ هي: 𞸐=Δ𞸎=𞸏Δ𞸍.

إذا مثَّلنا السرعة بالنسبة إلى الزمن بيانيًا، فسنجد أن الإزاحة تساوي مساحة المستطيل الذي عرضه Δ𞸍 وارتفاعه 𞸏.

عندما تتغير السرعة مع الزمن، تظل الإزاحة هي المساحة الموجودة أسفل منحنى 𞸏(𞸍).

كيفية: إيجاد الإزاحة خلال فترة زمنية مُعطاة باستخدام دالة السرعة

بما أن 𞸏(𞸍)=𞸃𞸎(𞸍)𞸃𞸍، فإن الإزاحة، 𞸐، أي التغير في موضع جُسيم يتحرك في خط مستقيم من 𞸍١، إلى 𞸍٢، هي: 𞸐=𞸎󰁓𞸍󰁒𞸎󰁓𞸍󰁒=󰏅𞸃𞸎=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.٢١𞸎󰁓𞸍󰁒𞸎󰁓𞸍󰁒𞸍𞸍٢١٢١

نلاحظ أنه يمكننا إيجاد الإزاحة خلال فترة ما Δ𞸍=𞸍𞸍٢١ عن طريق تكامل دالة السرعة من 𞸍١، إلى 𞸍٢.

دعونا نستخدم ذلك في المثال الأول.

مثال ١: إيجاد الإزاحة خلال فترة زمنية مُعطاة بمعلومية دالة السرعة

بدأت سيارةٌ الحركةَ في خط مستقيم من نقطة ثابتة بَدْءًا من السكون. كانت سرعتها بعد 𞸍 ثانية مُعطاة بالعلاقة: 𞸏=󰁓٨𞸍+٦𞸍󰁒٢ م/ث، 𞸍٠.

احسب إزاحة السيارة عندما يكون 𞸍=٩انٍ.

الحل

نحن نعلم أن السرعة هي مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن؛ ومن ثَمَّ، فيمكننا الحصول على التغير في الموضع من 𞸍=٠، إلى 𞸍=٩انٍ عن طريق تكامل دالة السرعة بين هذين الزمنين كما يلي: 𞸐=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍𞸐=󰏅󰁓٨𞸍+٦𞸍󰁒𞸃𞸍𞸐=󰂗٨٣𞸍+٣𞸍󰂖𞸐=٨٣×٩+٣×٩󰂔٨٣×٠+٣×٠󰂓𞸐=٧٨١٢.٩٠٩٠٢٣٢٩٠٣٢٣٢م

بما أن السرعة مقيسة بوحدة م/ث، ونحن نجري التكامل بالنسبة إلى 𞸍 بوحدة الثانية، فإن الإزاحة تكون مقيسة هنا بوحدة المتر.

إزاحة السيارة عندما يكون 𞸍=٩انٍ هي: ٢‎ ‎١٨٧ م.

إذا كانت السرعة اللحظية 𞸏(𞸍) هي مشتقة 𞸎(𞸍) بالنسبة إلى الزمن، فإن الموضع 𞸎(𞸍) هو المشتقة العكسية للسرعة 𞸏(𞸍). ويمكن كتابته باستخدام تكامل غير محدد على الصورة التالية: 𞸎(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.

إذا كانت الإزاحة 𞸐(𞸍) معرَّفة على أنها التغير في الموضع بدءًا من الموضع عند زمن معين، 𞸎٠، فإن 𞸐(𞸍)=𞸎(𞸍)𞸎٠. وعليه، 𞸃𞸐𞸃𞸍=𞸃𞸎𞸃𞸍=𞸏(𞸍)، ودالة الإزاحة 𞸐(𞸍) تكون أيضًا مشتقة عكسية لـ 𞸏(𞸍): 𞸐(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.

لا يمكن تعريف المشتقة العكسية بشكل فريد من دالة مشتقتها؛ لأن إضافة أي ثابت للدالة لا يغير مشتقتها. ونقول إنه يمكن تعريف تكامل جميع الدوال البدائية بإضافة ثابت جمعي، يُسمى ثابت التكامل. سيتيح لنا الشرط الابتدائي للموضع (أي الموضع عند زمن معين) أو للإزاحة إيجاد ثابت التكامل هذا؛ ومن ثَمَّ الدالة الصحيحة للموضع أو الإزاحة.

هيا نَرَ كيف نفعل ذلك من خلال المثال الآتي.

مثال ٢: إيجاد دالة الإزاحة بمعلومية دالة السرعة

يتحرَّك جسيم في خط مستقيم؛ حيث كانت سرعته عند الزمن 𞸍 ثانية تُعطَى بالعلاقة: 𞸏=󰁓٥١𞸍٨𞸍󰁒/٢مث، 𞸍٠.

إذا كان موضع الجسيم الابتدائي من نقطة ثابتة ٢٠ م، فأوجد تعبيرًا يدل على إزاحته بالنسبة إلى هذه النقطة الثابتة عند الزمن 𞸍 ثانية.

الحل

تعرَّف إزاحة الجسيم عند الزمن 𞸍 ثانية على أنها التغير في الموضع بالنسبة إلى نقطة ثابتة مُعطاة. عندما يتحرك الجسيم في خط مستقيم، تُوصف إزاحته بدالة الإزاحة، 𞸐(𞸍)، وهي مشتقة عكسية لـ 𞸏(𞸍): 𞸐(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.

بالتعويض بالتعبير المُعطى لـ 𞸏(𞸍)، نحصل على: 𞸐(𞸍)=󰏅󰁓٥١𞸍٨𞸍󰁒𞸃𞸍.٢

الحل العام للمشتقة العكسية لـ 𞸏(𞸍) هو ٥𞸍٤𞸍+𞸖٣٢، حيث 𞸖 هو ثابت التكامل.

نحن نعلم من المعطيات أن الموضع الابتدائي للجسيم من النقطة الثابتة هو ٢٠ م؛ وهو ما يعني أن الإزاحة عند 𞸍=٠ث هي ٢٠ م. ومن ثَمَّ، نجد أن: 𞸐(٠)=٥×٠٤×٠+𞸖=٠٢٣٢؛ أي إن: 𞸖=٠٢.

إذن، دالة الإزاحة هي: 𞸐(𞸍)=󰁓٥𞸍٤𞸍+٠٢󰁒.٣٢م

تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا حل المثال السابق باستخدام تكامل محدد بين الزمن المُعطى في الشرط الابتدائي، 𞸍٠، والزمن، 𞸍. نحن نعلم بالفعل أن: 𞸎(𞸍)𞸎󰁓𞸍󰁒=󰏅𞸃𞸎=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍،٠𞸎(𞸍)𞸎󰁓𞸍󰁒𞸍𞸍٠٠ ومن ثَمَّ، فإن: 𞸎(𞸍)=𞸎󰁓𞸍󰁒+󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.٠𞸍𞸍٠

ينطبق الأمر نفسه على دالة الإزاحة. في المثال السابق، يمكننا كتابة 𞸐(𞸍)=𞸐(٠)+󰏅󰁓٥١𞸍٨𞸍󰁒𞸃𞸍𞸐(𞸍)=٠٢+󰁖٥𞸍٤𞸍󰁕𞸐(𞸍)=٠٢+٥𞸍٤𞸍󰁓٥×٠٤×٠󰁒𞸐(𞸍)=󰁓٥𞸍٤𞸍+٠٢󰁒.𞸍٠٢٣٢𞸍٠٣٢٣٢٣٢م

الطريقتان متماثلتان تمامًا. لكن غالبًا ما يكون من الأسرع إيجاد المشتقة العكسية أولًا ثم استخدام الشرط الابتدائي لإيجاد ثابت التكامل، خاصةً عندما يكون الشرط الابتدائي المُعطى ليس عند 𞸍=٠ث.

دعونا نلخص طريقة إيجاد دالة الإزاحة باستخدام دالة السرعة.

كيفية: إيجاد دالة الإزاحة باستخدام دالة السرعة

بما أن 𞸐(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍، فإننا نوجد أولًا المشتقة العكسية لـ 𞸏(𞸍) على الصورة 󰎨(𞸍)+𞸖، حيث 󰎨(𞸍) هي دالة في 𞸍، بحيث 󰎨(𞸍)=𞸏(𞸍)، 𞸖 هو ثابت.

بعد ذلك، نستخدم الشرط الابتدائي المُعطى 𞸐󰁓𞸍󰁒=𞸐٠٠ لإيجاد 𞸖 بحل المعادلة: 𞸐󰁓𞸍󰁒=󰎨󰁓𞸍󰁒+𞸖=𞸐.٠٠٠

هيا نُلْقِ نظرة على عجلة جسيم يتحرك في خط مستقيم. العجلة اللحظية هي مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن. وهذا يعني أن التغير غير الصفري في السرعة تصاحبه عجلة غير صفرية، تمامًا مثلما تُصاحب التغير غير الصفري في الموضع سرعة غير صفرية. فنلاحظ أنه يمكن تطبيق العلاقات بين السرعة والموضع على العجلة والسرعة.

كيفية: إيجاد التغير في السرعة خلال فترة زمنية مُعطاة بمعلومية دالة العجلة

التغير في سرعة جسيم يتحرك في خط مستقيم بين زمنين، 𞸍١، 𞸍٢ هو: Δ𞸏=󰏅𞸃𞸏=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍.𞸏𞸏𞸍𞸍٢١٢١

دعونا نطبِّق ذلك على المثال الآتي.

مثال ٣: إيجاد السرعة الابتدائية بمعلومية دالة العجلة والسرعة عند زمن معين

يتحرك جسيم في اتجاه المحور 𞸎. عند الزمن 𞸍 ثانية، تُعطى عجلته بالعلاقة 𞸢=(٤𞸍+٦)/مث٢، 𞸍٠.

إذا كانت سرعة الجسيم عند 𞸍=٢ث تساوي ٢٨ م/ث، فما سرعته الابتدائية؟

الحل

لدينا هنا دالة العجلة وقيمة السرعة عند الزمن 𞸍=٢ث. عندما يتحرك جسيم في خط مستقيم، فإننا نعلم أن تكامل دالة العجلة بين زمنين يعطينا التغير في السرعة كما يلي: Δ𞸏=𞸏󰁓𞸍󰁒𞸏󰁓𞸍󰁒=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍.٢١𞸍𞸍٢١

نفترض أن الزمن الابتدائي 𞸍=٠١ (بما أن 𞸍٠)، وأن 𞸍=٢٢ث؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد السرعة الابتدائية المجهولة. بعد ذلك، نعوض بالتعبير المُعطى لـ 𞸢(𞸍) لنحصل على: 𞸏(٢)𞸏(٠)=󰏅(٤𞸍+٦)𞸃𞸍𞸏(٢)𞸏(٠)=󰁖٢𞸍+٦𞸍󰁕𞸏(٢)𞸏(٠)=٢×٢+٦×٢󰁓٢×٠+٦×٠󰁒𞸏(٢)𞸏(٠)=٠٢.٢٠٢٢٠٢٢

بما أن 𞸏(٢)=٨٢/مث، فإن: ٨٢𞸏(٠)=٠٢، وعليه، نجد أن: 𞸏(٠)=٨٢٠٢=٨/.مث

إذن، السرعة الابتدائية للجسيم تساوي ٨ م/ث.

كيفية: إيجاد دالة السرعة باستخدام دالة العجلة

بالطريقة نفسها التي يمكننا بها إيجاد دالة الموضع أو دالة الإزاحة من خلال دالة السرعة، يمكننا إيجاد دالة السرعة من خلال دالة العجلة بما أن السرعة 𞸏(𞸍) هي المشتقة العكسية للعجلة 𞸢(𞸍): 𞸏(𞸍)=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍.

دعونا نتناول في المثال الآتي كيفية إيجاد دالة السرعة باستخدام دالة العجلة لحل مسألة ما.

مثال ٤: إيجاد الزمن اللازم للوصول إلى سرعة معينة بمعلومية دالتَيِ العجلة والسرعة

يتسارع جسيم بمُعدَّل ٢𞸍+٧ م/ث٢ بعد 𞸍 ثانية من الحركة في خط مستقيم. إذا كانت 𞸏(٠)=٨/مث، فما المدة الزمنية التي تستغرقها السرعة للوصول إلى ٥٠ م/ث؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لدينا هنا دالة العجلة والسرعة الابتدائية، والمطلوب منا هو إيجاد المدة الزمنية التي تستغرقها السرعة للوصول إلى ٥٠ م/ث. بعبارة أخرى، بما أن الزمن الابتدائي هو 𞸍=٠، فإننا نريد إيجاد الزمن 𞸍 الذي تكون عنده 𞸏(𞸍)=٠٥/مث. سنتمكن من إيجاد ذلك إذا أوجدنا دالة السرعة أولًا، 𞸏(𞸍)، ثم حللنا 𞸏(𞸍)=٠٥/مث.

بما أن الجسيم يتحرك في خط مستقيم، فإن: 𞸏(𞸍)=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍. بالتعويض بالتعبير المُعطى لـ 𞸢(𞸍)، نجد أن: 𞸏(𞸍)=󰏅(٢𞸍+٧)𞸃𞸍𞸏(𞸍)=𞸍+٧𞸍+𞸖.٢

بعد ذلك، يمكننا إيجاد ثابت التكامل، 𞸖، باستخدام معلومة أن 𞸏(٠)=٨/مث: 𞸏(٠)=٠+٧×٠+𞸖=٨𞸖=٨.٢

إذن، دالة السرعة للجسيم هي: 𞸏(𞸍)=󰁓𞸍+٧𞸍٨󰁒/.٢مث

نحن نريد إيجاد قيمة 𞸍 التي تكون عندها 𞸏(𞸍)=٠٥/مث، أي عندما تكون: 𞸏(𞸍)=𞸍+٧𞸍٨=٠٥.٢

بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على: 𞸍+٧𞸍٨٥=٠.٢

وباستخدام صيغة المميز، نجد أن هذه المعادلة لها حلان: 𞸍=٧󰋴٧٤×(٨٥)٢=٨٨٫١١،𞸍=٧+󰋴٧٤×(٨٥)٢=٨٨٫٤.١٢٢٢ثث

بما أن 𞸍 هو الزمن المنقضي بالثانية، فهو موجب. إذن، 𞸍١ لا يمكن أن يكون حلًّا. وبذلك، نكون قد استنتجنا أن الجسيم يستغرق ٤٫٨٨ ثوانٍ للوصول إلى السرعة ٥٠ م/ث.

دعونا نُلقِ نظرة الآن على مثال نستخدم فيه معنى المشتقات في سياق جسيم متحرك لإيجاد سرعته القصوى.

مثال ٥: إيجاد السرعة القصوى والمسافة المقطوعة المناظرة بمعلومية دالة العجلة والسرعة الابتدائية

بدأ جسيم حركته في خط مستقيم. عجلة الجسيم عند الزمن 𞸍 ثانية بعد أن بدأ حركته تُعطى بالعلاقة: 𞸢=󰁓٥𞸍+٥󰁒/٢٢مث، 𞸍٠. أوجد السرعة القصوى 󰂔𞸏󰂓اى للجُسيم، والمسافة 𞸎 التي قطعها قبل وصوله إلى هذه السرعة، إذا كانت سرعته الابتدائية تساوي ٠ م/ث.

الحل

المطلوب منا هو إيجاد السرعة القصوى للجسيم. في سياق الدوال، يعني هذا إيجاد قيمة قصوى للدالة، ونحصل عليها عندما تساوي مشتقتها صفرًا. مشتقة السرعة هي العجلة. لذا، فإننا نبحث عن الزمن 𞸍 الذي تكون عنده 𞸢(𞸍)=٠.

نحن نعلم من المعطيات أن 𞸢=󰁓٥𞸍+٥󰁒/٢٢مث، 𞸍٠، ومن ثم، فإن ٥𞸍+٥=٠٢ عندما يكون 𞸍=١٢، أي عندما يكون 𞸍=١ث بما أن 𞸍٠.

نلاحظ أن العجلة تكون موجبة بين 𞸍=٠، 𞸍=١ث، ثم تصبح سالبة بعد ذلك. يعني هذا أن الجسيم يبدأ التحرك من السكون في الاتجاه الموجب، وأن سرعته تزداد بين 𞸍=٠، 𞸍=١ث. لكن بدءًا من 𞸍=١ث، نجد أن العجلة سالبة؛ لذا تقل سرعة الجسيم إلى أن تصل إلى الصفر، فيصبح الجسيم في حالة سكون لحظي، وعند هذه النقطة يغير الجسيم اتجاه حركته ويبدأ في التحرك في الاتجاه السالب.

وبذلك، تصل السرعة بالفعل إلى قيمة عظمى عند 𞸍=١ث.

علينا الآن إيجاد دالة السرعة لحساب قيمتها (القصوى) عند 𞸍=١ث.

لدينا هنا دالة العجلة، 𞸢(𞸍)، ونحن نعلم أن الجسيم بدأ التحرك من السكون (أي إن 𞸏(٠)=٠). ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد دالة السرعة باستخدام: 𞸏(𞸍)=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍𞸏(𞸍)=󰏅󰁓٥𞸍+٥󰁒𞸃𞸍𞸏(𞸍)=٥٣𞸍+٥𞸍+𞸖،٢٣ حيث 𞸖 هو ثابت يُسمى ثابت التكامل.

بما أن 𞸏(٠)=٠، فإن: 𞸏(٠)=٥٣×٠+٥×٠+𞸖=٠.٣

إذن، 𞸖=٠، وهذا يعني أن: 𞸏(𞸍)=٥٣𞸍+٥𞸍.٣

السرعة القصوى، 𞸏اى، تكون عند 𞸍=١ث؛ ومن ثَمَّ، فإن: 𞸏=𞸏(١)=٥٣×١+٥×١𞸏=٠١٣/.اىاى٣مث

لإيجاد المسافة، 𞸎، التي قطعها الجسيم خلال أول ثانية، علينا ببساطة إيجاد مقدار الإزاحة بين 𞸍=٠، 𞸍=١ث، بما أن الجسيم كان يتحرك دائمًا في الاتجاه نفسه خلال هذه الفترة الزمنية. وهكذا، نجد أن: 𞸎=|𞸐|=󰍾󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍󰍾𞸎=󰍾󰏅󰂔٥٣𞸍+٥𞸍󰂓𞸃𞸍󰍾𞸎=󰍻󰂗٥٢١𞸍+٥٢𞸍󰂖󰍻𞸎=󰍻٥٢١×١+٥٢×١󰍻𞸎=٥٢٢١.١٠١٠٣٤٢١٠٤٢م

بذلك، نكون قد وجدنا أن: 𞸏=٠١٣/اىمث، 𞸎=٥٢٢١م.

تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن المسافة تكون دائمًا موجبة، يمكن أن تكون مركبة الإزاحة (وهي هنا في بُعد واحد) سالبة. على الرغم من أننا عرفنا أن الجسيم يتحرك في الاتجاه الموجب خلال أول ثانية، فقد استخدمنا خطي القيمة المطلقة في المثال السابق لنكون أكثر دقة.

لقد تناولنا حتى الآن دالة السرعة ودالَّة العجلة عندما يكونان دالتين في الزمن. لكن في بعض الأمثلة، يمكن أن تكون العجلة على صورة دالَّة في الموضع أو الإزاحة. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى حركة في خط مستقيم في اتجاه المحور 𞸎، وسنجد أن لدينا: 𞸢(𞸍)=𞸃𞸏(𞸍)𞸃𞸍.

يمكننا بعد ذلك تغيير المتغير باستخدام قاعدة السلسلة. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸢(𞸎(𞸍))=𞸃𞸏(𞸎(𞸍))𞸃𞸍=𞸃𞸏𞸃𞸎×𞸃𞸎𞸃𞸍.

بما أن: 𞸃𞸎𞸃𞸍=𞸏، نجد أن: 𞸢(𞸎)=𞸏𞸃𞸏𞸃𞸎.

بفصل المتغير 𞸎 في أحد الطرفين، والمتغير 𞸏 في الطرف الآخر، نحصل على: 𞸢(𞸎)𞸃𞸎=𞸏𞸃𞸏.

بعد ذلك، نكامل كل من الطرفين لنجد أن: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=󰏅𞸏𞸃𞸏، وهو ما يعطينا: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖،٢ حيث 𞸖 هو ثابت التكامل.

كيفية: إيجاد دالة السرعة باستخدام العجلة على صورة دالة في الإزاحة

يمكننا إيجاد دالة السرعة باستخدام العجلة على صورة دالة في الإزاحة عن طريق تكامل 𞸢(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎. وهذا يعطينا: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖،٢ حيث 𞸖 هو ثابت التكامل.

باستخدام الموضع الابتدائي 𞸎، والموضع النهائي 𞸎، والسرعة الابتدائية 𞸏، والسرعة النهائية 𞸏، يصبح لدينا: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=󰂗١٢𞸏󰂖.𞸎𞸎٢𞸏𞸏

دعونا نَرَ كيف نطبِّق ذلك في المثال الأخير.

مثال ٦: إيجاد سرعة جسيم بمعلومية عجلته على صورة دالة في الإزاحة

بدأ جسيم حركته من السكون في خط مستقيم. عجلته 𞸢 مقيسة بوحدة متر لكل ثانية مربعة، والمسافة 𞸎 من نقطة بداية الحركة مقيسة بوحدة المتر وكلتاهما تحققان المعادلة: 𞸢=𞸎٥١٢. أوجد سرعة الجسيم 𞸏 عندما تكون 𞸎=١١م.

الحل

لدينا هنا عجلة جسيم يتحرك في خط مستقيم على صورة دالة في الإزاحة. نحن نعلم أيضًا أن الجسيم بدأ حركته من السكون؛ وهو ما يعني أن 𞸏=٠٠ عند 𞸎=٠٠ بما أن 𞸎 مقيسة من نقطة البداية. تجدر الإشارة هنا إلى أن 𞸎 هي المسافة المقيسة من نقطة البداية. وعليه، بما أن العجلة دائمًا موجبة (𞸎٠٢ لكل قيم 𞸎)، لن يتغير اتجاه السرعة. إذن، السرعة المتجِهة هنا هي نفسها السرعة.

علينا هنا إيجاد السرعة عندما تكون: 𞸎=١١م.

دعونا نتذكر أن تكامل العجلة 𞸢(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 يعطينا: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖،٢ حيث 𞸖 هو ثابت التكامل.

باستخدام الشرطين الابتدائيين، نجد أن: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=󰂗١٢𞸏󰂖󰏅𞸎٥١𞸃𞸎=󰂗١٢𞸏󰂖󰃄𞸎٥٤󰃃=١٢𞸏١٢×٠١١٥٤=١٢𞸏𞸏=٢×١١٥٤.𞸎𞸎٢𞸏𞸏١١٠٢٢𞸏٠٣١١٠٢٢٣٢٢٣

بما أننا نعرف أن: 𞸏 موجبة، فإن: 𞸏=󰋺٢×١١٥٤𞸏=󰋺٢×١١×١١٥×٩𞸏=١١٣󰋺٢٢٥𞸏=١١٥١󰋴٠١١/.٣٢مث

عندما تكون 𞸎=١١م، فإن سرعة الجسيم هي: 𞸏=١١٥١󰋴٠١١/مث.

في المثال السابق، كان يمكننا أيضًا إيجاد دالة السرعة. باستخدام: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖،٢ حيث 𞸖 هو ثابت التكامل، نجد أن: 󰏅𞸎٥١𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖𞸎٥٤=١٢𞸏+𞸖.٢٢٣٢

لإيجاد الثابت 𞸖، فإننا نستخدم الشرطين الابتدائيين المُعطيين، 𞸏=٠ عند 𞸎=٠، وهو ما يعطينا: 𞸎٥٤=١٢𞸏+𞸖٠٥٤=١٢×٠+𞸖𞸖=٠.٣٢٣٢

وبذلك، يصبح لدينا: 𞸎٥٤=١٢𞸏٣٢؛ أي إن: 𞸏=٢𞸎٥٤.٢٣

في هذا المثال، كان لدينا معلومة أن: 𞸏 دائمًا موجبة. لهذا السبب، تمكننا من أخذ الجذر التربيعي الموجب لـ ٢𞸎٥٤٣ لإيجاد مقدار يعبر عن 𞸏(𞸎). ولكن بوجه عام، علينا النظر إلى الجذرين الممكنين، ثم استخدام البيانات المُعطاة لتحديد الجذر الصحيح.

دعونا نلخِّص الآن النقاط الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الإزاحة، 𞸐، لجسيم يتحرك في خط مستقيم بين زمنين 𞸍١، 𞸍٢ تُعطى بالعلاقة: 𞸐=𞸎󰁓𞸍󰁒𞸎󰁓𞸍󰁒=󰏅𞸃𞸎=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.٢١𞸎󰁓𞸍󰁒𞸎󰁓𞸍󰁒𞸍𞸍٢١٢١
  • الموضع، 𞸎(𞸍)، والإزاحة، 𞸐(𞸍)، لجسيم يتحرك في خط مستقيم هما مشتقتان عكسيتان للسرعة، 𞸏(𞸍): 𞸎(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍،𞸐(𞸍)=󰏅𞸏(𞸍)𞸃𞸍.
  • التغير في سرعة جسيم يتحرك في خط مستقيم بين زمنين 𞸍١، 𞸍٢ يُعطى بالعلاقة: Δ𞸏=󰏅𞸃𞸏=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍.𞸏𞸏𞸍𞸍٢١٢١
  • السرعة 𞸏(𞸍)، هي مشتقة عكسية للعجلة 𞸢(𞸍): 𞸏(𞸍)=󰏅𞸢(𞸍)𞸃𞸍.
  • تكامل العجلة 𞸢(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 يعطينا: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=١٢𞸏+𞸖،٢ حيث 𞸖 هو ثابت التكامل.
  • باستخدام الموضع الابتدائي 𞸎، والموضع النهائي 𞸎، والسرعة الابتدائية 𞸏، والسرعة النهائية 𞸏، نجد أن: 󰏅𞸢(𞸎)𞸃𞸎=󰂗١٢𞸏󰂖.𞸎𞸎٢𞸏𞸏

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.