فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهات مثلث متساوي الأضلاع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢٩٫٩ سنتيمترًا، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺃﺟ زائد المتجه ﺟﺏ.

في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ. نحن نعرف أن طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع هذا هو ٢٩٫٩ سنتيمترًا. علينا استخدام هذه المعطيات لتحديد قيمة حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ ومجموع المتجهين ﺃﺟ زائد ﺟﺏ. هذه المتجهات الثلاثة هي أطوال أضلاع المثلث المتساوي الأضلاع.

في الحقيقة، هناك عدة طرق يمكننا بها إيجاد قيمة هذا التعبير، وسنستعرض عددًا منها. الخطوة الأولى التي سنقوم بها هي رسم المثلث المتساوي الأضلاع. إذن، دعونا نبدأ برسم المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ؛ حيث نعلم أن طول كل ضلع من أضلاعه يساوي ٢٩٫٩ سنتيمترًا. وبما أن هذا مثلث متساوي الأضلاع، فإننا نعلم أيضًا أن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي ٦٠ درجة.

هذا يسمح لنا بإيجاد حاصل الضرب القياسي هذا بعدة طرق. وأسهل طريقة هي ملاحظة شيء مثير للاهتمام بشأن المتجه ﺃﺟ زائد المتجه ﺟﺏ. يبدأ المتجه ﺃﺟ عند النقطة ﺃ وينتهي عند النقطة ﺟ، أما المتجه ﺟﺏ، فيبدأ عند النقطة ﺟ وينتهي عند النقطة ﺏ. إذن، في الواقع، هذا المتجه بأكمله هو المتجه من ﺃ إلى ﺏ؛ حيث يبدأ عند ﺃ وينتهي عند ﺏ.

قد يكون من الأسهل ملاحظة ذلك على الشكل الموضح. يمكننا البدء بالمتجه الممتد من ﺃ إلى ﺟ. وبعد ذلك، يمكننا تحديد المتجه الممتد من ﺟ إلى ﺏ. ويمكننا هنا ملاحظة أن هذا هو نفسه المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺏ. في الواقع، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد حاصل الضرب القياسي المعطى لنا في السؤال مباشرة. بالتعويض عن المتجه ﺃﺟ زائد المتجه ﺟﺏ بالمتجه ﺃﺏ، كل ما علينا فعله هو حساب حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه ﺃﺏ في نفسه.

وفي الواقع، يوجد العديد من الطرق التي يمكننا بها حساب حاصل الضرب القياسي هذا. وأسهلها هي أن نسترجع حقيقة أن حاصل الضرب القياسي لأي متجه ﻕ في نفسه يساوي معيار المتجه ﻕ تربيع. ونحن نعرف معيار المتجه ﺃﺏ بالفعل لأنه يساوي طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع؛ حيث طول كل ضلع يساوي ٢٩٫٩ سنتيمترًا. ومن ثم، فإن ذلك يساوي ٢٩٫٩ تربيع. وعند حساب ذلك، نحصل على الإجابة النهائية وهي ٨٩٤٫٠١.

لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها حل هذا السؤال. كان بإمكاننا أيضًا الحل باستخدام خواص الضرب القياسي. سنبدأ بحاصل الضرب القياسي المطلوب منا حسابه. سنلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام هنا. سنحسب حاصل الضرب القياسي للمتجه في مجموع المتجهين. وهناك خاصية مفيدة نعرفها عن حالات كهذه. يوزع الضرب القياسي على المتجهات المجموعة. بعبارة أخرى، لأي ثلاثة متجهات ﻉ وﻕ وﻭ، فإن الضرب القياسي للمتجه ﻉ وﻕ زائد ﻭ يساوي ﻉ في ﻕ زائد ﻉ في ﻭ. فبدلًا من إجراء الضرب القياسي على مجموع المتجهين، فإننا نضرب في كل متجه على حدة ونجمع حاصلي الضرب.

بتطبيق هذا لإيجاد حاصل الضرب القياسي المطلوب، فإننا نوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺃﺟ، ثم نضيف إليه حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺟﺏ. ولدينا عدة خيارات لحساب حاصل الضرب القياسي لكل متجهين لدينا. ويتمثل أحدها في إيجاد كل متجه من هذه المتجهات على صورة مركبتيه. سنفعل ذلك باستخدام حساب المثلثات للمثلث المتساوي الأضلاع، وسينجح الأمر. نحن أيضًا نعلم قياس الزاوية المحصورة بين كل متجهين من هذه المتجهات. كما نعلم الصيغة التي تتضمن حاصل الضرب القياسي والزاوية المحصورة بين متجهين.

إننا نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻉ وﻕ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ مقسومًا على معيار ﻉ في معيار ﻕ. يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة بضرب الطرفين في معيار ﻉ في معيار ﻕ، لنجد بذلك أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي معيار ﻉ في معيار ﻕ مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻉ وﻕ.

يمكننا تطبيق ذلك لإيجاد كل من حاصلي الضرب القياسيين المتبقيين في التعبير لدينا. علينا أولًا ملاحظة أن جميع المتجهات الثلاثة المعطاة في هذا التعبير هي أطوال أضلاع المثلث. إذن، جميع هذه الأضلاع الثلاثة لها معيار يساوي ٢٩٫٩. بعد ذلك، يمكننا من الشكل لدينا ملاحظة أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺃﺟ يساوي ٦٠ درجة. في الواقع، ينطبق الأمر نفسه على المتجهين ﺃﺏ وﺟﺏ. لكن علينا أن ننتبه جيدًا هنا. لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين، علينا تكوين متجه يكافئ المتجه ﺟﺏ الذي يبدأ عند ﺃ. بعد ذلك، علينا إجراء بعض العمليات الهندسية لإثبات أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي ٦٠ درجة أيضًا.

يمكننا الآن استخدام الصيغة التي لدينا لإيجاد حاصلي الضرب القياسيين هذين. معيار كل من هذه المتجهات هو ٢٩٫٩، وقياس الزاوية المحصورة بين كل زوج من هذه المتجهات يساوي ٦٠ درجة. وبالطبع، نحن نعلم أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. وبهذا نحصل على ٢٩٫٩ في ٢٩٫٩ مضروبًا في نصف زائد ٢٩٫٩ في ٢٩٫٩ مضروبًا في نصف. وهذا يعطينا الناتج السابق نفسه وهو ٨٩٤٫٠١. لكن هذه الطريقة أصعب من الطريقة السابقة.

إذن، لقد استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢٩٫٩ سنتيمترًا، فإن هناك الكثير من الطرق التي يمكننا استخدامها لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺃﺟ زائد المتجه ﺟﺏ. وأيًّا كانت الطريقة التي سنستخدمها، فإننا سنحصل على إجابة واحدة وهي ٨٩٤٫٠١.