فيديو الدرس: الضرب القياسي في بعدين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

الضرب القياسي في بعدين

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في بعدين. وسنرى إحدى طرق تفسير ذلك من الناحية الهندسية. سنتناول أيضًا كيفية استخدام ذلك لإيجاد الخواص المختلفة للمتجهات، مثل معيار متجهين، والزاوية المحصورة بينهما، وكيفية تحديد إذا ما كان المتجهان متعامدين. أولًا: ينبغي علينا مناقشة ما نعنيه تحديدًا بحاصل الضرب القياسي لمتجهين. فلنبدأ بأن المتجه ﻝ يساوي المتجه ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، والمتجه ﻉ يساوي المتجه ﺱ اثنين، ﺹ اثنين.

لقد رأينا بالفعل إحدى طرق ضرب المتجهات. فنعلم، على سبيل المثال، كيفية ضرب متجه في عدد ثابت. في هذه الحالة، ما علينا إلا أن نضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في العدد الثابت. لكن هذا ضرب متجه وعدد ثابت. أما الضرب القياسي، فهو طريقة لضرب متجهين معًا. ونمثل الضرب القياسي بنقطة بين المتجهين. وهذا يشير إلى الضرب القياسي للمتجه ﻝ والمتجه ﻉ. ولإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، ينبغي علينا إيجاد مجموع حاصلي ضرب كل مركبتين متناظرتين للمتجهين. ومن ثم في حالة المتجهين ﻝ وﻉ، يكون حاصل الضرب القياسي لهما ﺱ واحدًا في ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد في ﺹ اثنين. كل ما علينا فعله هو ضرب كل مركبتين متناظرتين ثم جمع حاصلي الضرب معًا.

ثمة شيء تجدر الإشارة إليه هنا. أولًا: نلاحظ أننا نبدأ بمتجهين. ولكن ناتج ذلك سيكون عددًا. ولأننا نحصل في النهاية على عدد ثابت أو كمية قياسية، يطلق على ذلك حاصل الضرب القياسي. بعد ذلك، نرى في التعريف الذي ذكرناه أننا بحاجة إلى ضرب المركبات المتناظرة معًا. لذا لا يمكن حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين إلا إذا كان لهما نفس عدد المركبات، أو بعبارة أخرى يلزم أن يكونا في البعد نفسه. ثمة أمر آخر تجدر الإشارة إليه هنا، وهو موضع النقطة في الضرب القياسي. نكتب هذه النقطة في المنتصف، وليس عند قاعدة المتجهين. أخيرًا، من الجدير بالذكر أنه يمكننا في الواقع التوسع في هذا التعريف ليشمل المتجهات في عدد أكبر من الأبعاد.

فبدلًا من المتجهين ﻝ وﻉ، إذا كان لدينا المتجهان ﻝ ستار وﻉ ستار؛ حيث تكون مركبات ﻝ ستار ﻝ واحد، ﻝ اثنين وصولًا إلى ﻝﻥ ومركبات ﻉ ستار ﻉ واحد، ﻉ اثنين وصولًا إلى ﻉﻥ، فسيمكننا حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين بالطريقة نفسها بالضبط. نحسب حواصل ضرب المركبات المتناظرة ثم نجمعها معًا. ‏ﻝ ستار ضرب قياسي ﻉ ستار يساوي ﻝ واحدًا ﻉ واحدًا زائد ﻝ اثنين ﻉ اثنين وصولًا إلى زائد ﻝﻥ ﻉﻥ. وبالطبع، لا يكون هذا منطقيًّا إلا إذا كان المتجهان ﻝ ستار وﻉ ستار في البعد نفسه. ولكننا سنركز في هذا الفيديو على حالة البعدين. لنر الآن مثالًا لكيفية حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين.

إذا كان المتجه ﻉ يساوي سبعة، اثنين، والمتجه ﻝ يساوي ثلاثة، ستة، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ.

في هذا السؤال، لدينا متجهان، ويمكننا ملاحظة أن كليهما في بعدين. هذا لأن كل متجه له مركبتان. ومطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. لنبدأ إذن بتذكر كيفية حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين في بعدين. نتذكر أنه إذا كان ﻝ هو المتجه ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، وﻉ هو المتجه ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فلحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ، نجمع حاصلي ضرب كل مركبتين متناظرتين. بعبارة أخرى، ﻝ ضرب قياسي ﻉ يساوي ﺱ واحدًا في ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد في ﺹ اثنين.

نعلم من السؤال أن ﻝ هو المتجه ثلاثة، ستة. إذن نجعل ﺱ واحدًا يساوي ثلاثة، وﺹ واحدًا يساوي ستة. ونعلم أيضًا أن ﻉ هو المتجه سبعة، اثنان. إذن نجعل ﺱ اثنين يساوي سبعة، وﺹ اثنين يساوي اثنين. بذلك نكون جاهزين لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ. علينا إيجاد حاصلي ضرب كل مركبتين متناظرتين ثم جمعهما معًا. ويكون ذلك، في هذه الحالة، ثلاثة في سبعة زائد ستة في اثنين. هذا يعطينا ٢١ زائد ١٢، وهو ما يساوي ٣٣. بذلك نكون قد تمكنا من إيضاح أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ هو ٣٣.

ولكن ثمة سؤال آخر يمكننا طرحه هنا. ماذا لو طلب منا، بدلًا من ذلك، حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻝ؟ لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻝ، سنجري الضرب القياسي بالطريقة نفسها بالضبط. ولكن مع تبديل دوري ﻝ وﻉ. فلحساب حاصل الضرب القياسي هذه المرة، علينا ضرب كل مركبتين متناظرتين وجمع الناتجين. وهو ما يعطينا سبعة في ثلاثة زائد اثنين في ستة. لكن يمكننا هنا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. نعلم أن الضرب عملية إبدالية؛ لذا كان من الممكن كتابة ذلك بالترتيب المعاكس. وعندئذ سنحصل على نفس العبارة بالضبط التي حصلنا عليها في الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ. ولأن الضرب عملية إبدالية دائمًا، يمكننا دومًا فعل ذلك.

لذا في حالة لهذين المتجهين تحديدًا، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻝ يساوي ٣٣. لكن الأهم من ذلك هو أنه في حالة أي متجهين ﻝ وﻉ، يكون حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ مساويًا لحاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻝ. وبالطبع، تجدر الإشارة هنا إلى أن نفس العبارة تنطبق على المتجهات في عدد أكبر من الأبعاد.

دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام الضرب القياسي لحساب معيار متجه.

‏ﺃ ضرب قياسي ﺃ يساوي (فراغ).

في هذا السؤال، لدينا المتجه ﺃ ومطلوب منا إيجاد مقدار يعبر عن حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه في نفسه. توجد بضع طرق مختلفة لحساب ذلك. لنبدأ بافتراض أن المتجه ﺃ ثنائي الأبعاد. ولنقل إن ﺃ متجه مركبته الأفقية ﺃ واحد، ومركبته الرأسية ﺃ اثنان. نريد إيجاد مقدار يعبر عن حاصل الضرب القياسي لـ ﺃ في نفسه. نتذكر هنا أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا ضرب كل مركبتين متناظرتين ثم جمع كل حواصل الضرب. لذا، في هذه الحالة، نضرب أول مركبتين معًا. ‏ﺃ واحد في ﺃ واحد. ونضيف بعد ذلك حاصل ضرب ثاني مركبتين معًا. وهو ﺃ اثنان في ﺃ اثنين. وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك إلى ﺃ واحد تربيع زائد ﺃ اثنين تربيع.

يمكننا ترك الإجابة على هذا النحو في حالة المتجهات الثنائية الأبعاد. لكن هذا في الواقع يساوي ناتجًا مفيدًا للغاية. يجب ملاحظة أن هذا يظهر في مقياس ﺃ. تذكر أننا نحصل على مقياس أي متجه بجمع مربعي مركبتيه ثم أخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة. في هذه الحالة، مقياس ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ واحد تربيع زائد ﺃ اثنين تربيع. وهذا بالطبع الجذر التربيعي للتعبير الذي لدينا لحاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في نفسه.

ومن ثم عند تربيع مقياس ﺃ، فسنلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. مقياس ﺃ تربيع يساوي ﺃ واحدًا تربيع زائد ﺃ اثنين تربيع، أي مجموع مربعي مركبتيه. بذلك نكون قد أوضحنا أنه في حالة الأبعاد الثنائية، حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في نفسه يساوي مقياس ﺃ تربيع. وفي الواقع، يمكننا إثبات صحة النتيجة نفسها للمتجهات في أي عدد من الأبعاد. فإذا افترضنا أن المتجه ﺃ له عدد ﻥ من الأبعاد ويساوي ﺃ واحدًا، ﺃ اثنين وصولًا إلى ﺃﻥ، فسيمكننا حساب حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في نفسه بالطريقة ذاتها بالضبط. نضرب المركبات المتناظرة ثم نجمع حواصل الضرب. فيكون لدينا ﺃ واحد في ﺃ واحد زائد ﺃ اثنين في ﺃ اثنين، ثم نجمع وصولًا إلى ﺃﻥ في ﺃﻥ.

ويمكننا تبسيط كل حد بنفس الطريقة التي اتبعناها من قبل. وكما حدث بالضبط من قبل، سيكون مجموع مربعات المركبات هو مقياس ﺃ تربيع. بذلك نكون قد تمكنا من توضيح أن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في نفسه يساوي مقياس ﺃ تربيع.

لنر الآن كيف يمكننا استخدام هذه النتيجة لمساعدتنا في إثبات صيغة مفيدة جدًّا تتعلق بالضرب القياسي. نريد استخدام الضرب القياسي لمساعدتنا في إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. دعونا إذن نفكر في المتجهين التاليين: المتجه ﻝ والمتجه ﻉ. علينا أن نتذكر هنا أن الذي يهمنا في المتجهات هو معيارها واتجاهها، ومن ثم يمكننا رسم المتجهين بدءًا من نقطة الأصل. نريد إيجاد قيمة 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين. لنفترض أيضًا أن ﻝ هو المتجه ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﻉ هو المتجه ﺱ اثنان، ﺹ اثنان.

قبل أن نواصل، تجدر الإشارة إلى أن نفس المنطق الذي سنستخدمه يسري أيضًا على المتجهات في عدد أكبر من الأبعاد. لكن من الأسهل تصور الأمر في بعدين. لمساعدتنا في إيجاد قيمة 𝜃، سنستخدم ما نعرفه عن الضرب القياسي وبعضًا من حساب المثلثات. أولًا: نرسم المثلث التالي عن طريق رسم المتجه ﻉ ناقص ﻝ. ونعلم أنه بإمكاننا إيجاد مقدار يعبر عن هذا المتجه من خلال طرح ﻝ من ﻉ بدلالة المركبات. وهذا يساوي المتجه ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد.

في هذه المرحلة، ثمة شيئان يمكننا فعلهما بهذا الشكل. لنحاول أولًا تطبيق قانون جيوب التمام على هذا الشكل. تذكر أنه يمكننا إيجاد طولي هذين المتجهين بحساب مقياسيهما. والزاوية 𝜃 تقابل الضلع الذي يساوي طوله مقياس ﻉ ناقص ﻝ. ومن ثم، بتطبيق قانون جيوب التمام على هذا المثلث، نجد أن مقياس ﻉ ناقص ﻝ الكل تربيع يساوي مقياس ﻝ تربيع زائد مقياس ﻉ تربيع ناقص اثنين في مقياس ﻝ في مقياس ﻉ مضروبًا في جيب تمام 𝜃.

والآن بمعلومية المتجهين ﻝ وﻉ، يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما باستخدام هذه الصيغة. غير أنه يمكننا في الواقع تبسيط هذه الصيغة باستخدام ما نعرفه عن الضرب القياسي. تذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجه في نفسه يساوي معيار هذا المتجه تربيع. ومن ثم، فإن معيار ﻉ ناقص ﻝ الكل تربيع يساوي في الواقع المتجه ﻉ ناقص ﻝ ضرب قياسي المتجه ﻉ ناقص ﻝ. ونعلم مقدارًا بدلالة المركبات يعبر عن المتجه ﻉ ناقص ﻝ. إذن، يمكننا كتابة هذين المتجهين بالكامل وحساب حاصل الضرب القياسي. علينا ضرب أول مركبتين معًا ثم جمع حاصل الضرب مع حاصل ضرب ثاني مركبتين. وبتبسيط ذلك، نحصل على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع.

لنوزع الآن التربيع على كلا القوسين. بالتوزيع وإعادة الترتيب، نحصل على ﺱ اثنين تربيع زائد ﺱ واحد تربيع ناقص اثنين ﺱ واحد ﺱ اثنين زائد ﺹ اثنين تربيع زائد ﺹ واحد تربيع ناقص اثنين ﺹ واحد ﺹ اثنين. لأول وهلة، قد لا يبدو أننا نبسط على الإطلاق. ومع ذلك، يمكننا الآن تبسيط هذا التعبير. أولًا: نلاحظ أن ﺱ واحدًا تربيع زائد ﺹ واحد تربيع هو مقياس ﻝ تربيع. وبالمثل، ﺱ اثنان تربيع زائد ﺹ اثنين تربيع هو مقياس ﻉ تربيع. وفيما يخص آخر حدين، سنبدأ بأخذ العامل المشترك سالب اثنين. وهذا يعطينا حدًّا إضافيًّا، وهو سالب اثنين في ﺱ واحد ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد ﺹ اثنين.

لكننا نعرف كيفية تبسيط ﺱ واحد في ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد في ﺹ اثنين باستخدام الضرب القياسي. فداخل الأقواس، يوجد تحديدًا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ. لذلك دعونا نفكر فيما أوضحناه بالضبط. لقد أوجدنا مقدارين مختلفين يعبران عن مقياس ﻉ ناقص ﻝ الكل تربيع. لذا، يجب أن يكون هذان التعبيران متساويين. دعونا إذن نساوي بين هذين التعبيرين. يمكننا أن نرى على الفور بعض طرق التبسيط. على سبيل المثال، يمكننا طرح مقياس ﻝ تربيع ومقياس ﻉ تربيع من كلا طرفي المعادلة. فيتبقى لدينا سالب اثنين في مقياس ﻝ مضروبًا في مقياس ﻉ في جيب تمام 𝜃 يساوي سالب اثنين مضروبًا في ﻝ ضرب قياسي ﻉ.

وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك أكثر. فيمكننا قسمة الطرفين على سالب اثنين. ونتذكر هنا أنه عندما أعددنا هذه المسألة في البداية، أردنا إيجاد الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻝ وﻉ. لذا، لن يفيد كثيرًا إذا ما كان ﻝ أو ﻉ هو المتجه الصفري؛ لأننا عندئذ لن نستطيع إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين على أية حال. لن يكون ذلك منطقيًّا. إذن في هذا السياق، من المنطقي ألا يكون مقياس ﻝ أو مقياس ﻉ صفرًا. لذلك سنقسم الطرفين على هذا، وهو ما يعطينا نتيجة مفيدة حقًّا. إذا كانت 𝜃 الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻝ وﻉ، فإن جيب تمام 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ مقسومًا على معيار ﻝ في معيار ﻉ. وبالطبع، يمكننا الحل لإيجاد 𝜃 بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة.

ثمة شيء مثير للاهتمام تجدر الإشارة إليه بخصوص قيمة 𝜃 هنا. ستكون قيمة 𝜃 بين صفر و ١٨٠ درجة، ويشمل ذلك هذين القياسين. وهذا منطقي بالنظر إلى الشكل الذي لدينا. بالطبع، في أي شكل، ثمة قيمتان محتملتان للزاوية 𝜃. فيمكن أن نحصل على الزاوية الداخلية المحصورة بين المتجهين أو الزاوية الخارجية بينهما. كلاهما يمثل حلًّا لهذه المعادلة؛ ولكننا مهتمون هنا بالزاوية الداخلية.

والآن دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام ذلك لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين.

إذا كان المتجه ﻝ يساوي أربعة، واحدًا، والمتجه ﻉ يساوي اثنين، خمسة، فأوجد حاصل ضربهما القياسي وقياس الزاوية المحصورة بينهما لأقرب منزلة عشرية.

لدينا في هذا السؤال المتجهان الثنائيا الأبعاد ﻝ وﻉ، ومطلوب منا إيجاد مجهولين. أولًا: علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. بعد ذلك، علينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما، مع تقريب إجابتنا لأقرب منزلة عشرية. لفعل ذلك، نبدأ بتذكر كيفية حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين. نتذكر أنه إذا كان ﻝ هو المتجه ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، وﻉ هو المتجه ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ هو مجموع حاصلي ضرب المركبتين المتناظرتين لهذين المتجهين. إذن، ﻝ ضرب قياسي ﻉ يساوي ﺱ واحدًا في ﺱ اثنين زائد ﺹ واحد في ﺹ اثنين.

نريد استخدام هذا لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه أربعة، واحد، والمتجه اثنين، خمسة. وعلينا ضرب كل مركبتين متناظرتين معًا ثم جمع حاصلي الضرب. هذا يساوي أربعة في اثنين زائد واحد في خمسة. وبالطبع، يمكن تبسيط ذلك إلى ثمانية زائد خمسة، وهو ما يساوي ١٣. يطلب منا الجزء التالي من هذا السؤال إيجاد الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين. فلنبدأ بتذكر كيفية فعل ذلك. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻝ وﻉ، فإن جيب تمام 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ مقسومًا على مقياس ﻝ مضروبًا في مقياس ﻉ.

لقد أوجدنا بالفعل حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين؛ لذا علينا الآن إيجاد مقياس كل منهما. نتذكر أنه لإيجاد مقياس أي متجه، علينا جمع مربعي مركبتيه وحساب الجذر التربيعي لهذه القيمة. مقياس ﻝ هو الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد واحد تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٧. وبالمثل، يكون مقياس ﻉ هو الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد خمسة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩. الآن يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا. بفعل ذلك، نحصل على جيب تمام 𝜃 يساوي ١٣ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ١٧ في الجذر التربيعي لـ ٢٩.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة 𝜃 بأخذ الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لجيب تمام ١٣ مقسومًا على جذر ١٧ في جذر ٢٩، وهو ما يساوي ٥٤٫٢ درجة لأقرب منزلة عشرية، وهي إجابتنا النهائية. تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أنه قد يكون من المفيد التحقق من إجابتنا من خلال رسم كلا المتجهين على شكل. وعندما نفعل، نحصل على رسم كهذا. المركبة الأفقية للمتجه ﻝ هي أربعة، والمركبة الرأسية واحد. والمركبة الأفقية للمتجه ﻉ هي اثنان، والمركبة الرأسية خمسة. نرسم كلا المتجهين بدءًا من نقطة الأصل لنحصل على 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بينهما. يمكننا بعد ذلك أيضًا إيجاد قيمة 𝜃 باستخدام حساب المثلثات. في كلتا الحالتين، نكون قد أوضحنا أن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي ١٣، وقياس الزاوية المحصورة بينهما لأقرب منزلة عشرية يساوي ٥٤٫٢ درجة.

لنتناول الآن مثالًا تكون فيه الزاوية المحصورة بين المتجهين منفرجة.

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجه ﻝ ثلاثة، سالب اثنين، والمتجه ﻉ سالب خمسة، سالب ثلاثة. اكتب الإجابة لأقرب منزلة عشرية.

نريد إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. لنبدأ إذن برسم هذه الحالة. للمتجه ﻝ المركبة الأفقية ثلاثة، والمركبة الرأسية سالب اثنين. وللمتجه ﻉ المركبة الأفقية سالب خمسة، والمركبة الرأسية سالب ثلاثة. ونريد إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين. ستكون هذه الزاوية 𝜃، ونعرف صيغة لحساب ذلك. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 الزاوية المحصورة بين متجهين ﻝ وﻉ، فإن جيب تمام 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ مقسومًا على مقياس ﻝ مضروبًا في مقياس ﻉ.

إذن لإيجاد قيمة 𝜃، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ومعياريهما. لنبدأ بحاصل الضرب القياسي. تذكر، لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نضرب كل مركبتين متناظرتين لهذين المتجهين ثم نجمع حاصلي الضرب. هذا يعطينا ثلاثة في سالب خمسة زائد سالب اثنين في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي سالب تسعة. والآن دعونا نوجد مقياسي المتجهين ﻝ وﻉ. لنبدأ بمقياس ﻝ. علينا أخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين. مقياس ﻝ هو الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب اثنين الكل تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣.

يمكننا فعل الشيء نفسه لإيجاد مقياس ﻉ. فهو الجذر التربيعي لسالب خمسة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٤. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة وأخذ الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قيمة 𝜃. نجد بذلك أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لجيب تمام سالب تسعة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ١٣ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٣٤، وهو ما يساوي ١١٥٫٣ درجة لأقرب منزلة عشرية، وهذه إجابتنا النهائية.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا على كيفية استخدام صيغة الزاوية هذه.

إذا كان ﺃ هو المتجه سالب أربعة، ﻙ وﺏ هو المتجه سالب ١٢، سالب ثلاثة، وﺃ عمودي على ﺏ، فأوجد قيمة ﻙ.

في هذا السؤال، لدينا متجهان وعلمنا أن ﺃ عمودي على ﺏ. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﻙ. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر أولًا أنه إذا ما كان ﺃ وﺏ متعامدين، فلا بد أن يكون قياس الزاوية المحصورة بينهما ٩٠ درجة. وهذا مفيد لأننا نعرف أيضًا صيغة تتضمن الزاوية المحصورة بين متجهين. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 الزاوية المحصورة بين متجهين ﺃ وﺏ، فإن جيب تمام 𝜃 سيكون مساويًا لحاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ. وفي السؤال لدينا، المتجهان متعامدان، أي أن قياس الزاوية المحصورة بينهما 𝜃 يساوي ٩٠ درجة.

إذن يمكننا طرح السؤال التالي: ماذا لو عوضنا بالقيمة ٩٠ درجة في هذه الصيغة؟ حسنًا، جيب تمام ٩٠ درجة يساوي صفرًا. لذا، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ مقسومًا على معيار ﺃ في معيار ﺏ يساوي صفرًا. ويمكن أن نرى أن الطريقة الوحيدة التي سيحدث بها ذلك هي أن يكون حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا نتيجة مفيدة حقًّا بشأن المتجهين. إذا كان ﻝ وﻉ متعامدين، فيجب أن يكون حاصل ضربهما القياسي صفرًا. ويمكننا الآن استخدام ذلك للإجابة عن السؤال. ‏ﺃ وﺏ متعامدان؛ لذا فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. ومن ثم يمكننا إيجاد معادلة لـ ﻙ عن طريق إيجاد أن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي صفرًا.

نتذكر هنا أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، نضرب كل مركبتين متناظرتين ثم نجمع حاصلي الضرب. إذن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي سالب أربعة في سالب ١٢ زائد ﻙ في سالب ثلاثة، وهو ما يمكننا تبسيطه. سالب أربعة في سالب ١٢ يساوي ٤٨، وﻙ في سالب ثلاثة يساوي سالب ثلاثة ﻙ. وتذكر أن هذا يساوي صفرًا؛ لأن ﺃ وﺏ متعامدان. يمكننا الآن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ. نضيف ثلاثة ﻙ إلى طرفي المعادلة ونقسم الطرفين على ثلاثة، وهو ما يعطينا في حالة تعامد المتجهين ﺃ وﺏ قيمة لـ ﻙ تساوي ١٦.

دعونا الآن نستعرض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا: رأينا أنه إذا كان ﻝ متجهًا مركباته ﻝ واحد، ﻝ اثنان وصولًا إلى ﻝﻥ، وﻉ متجهًا مركباته ﻉ واحد، ﻉ اثنان وصولًا إلى ﻉﻥ، فيمكننا إذن حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ بضرب كل مركبتين متناظرتين معًا ثم جمع حواصل الضرب معًا. ذكرنا أيضًا أن هذا يكون منطقيًّا فقط إذا كان للمتجهين نفس العدد من المركبات. بعبارة أخرى، يجب أن يكون المتجهان في نفس البعد. رأينا كذلك أن الناتج الذي نحصل عليه من حاصل الضرب القياسي لمتجهين يكون عددًا قياسيًّا. ولهذا يوصف بالقياسي.

بعد ذلك، تناولنا بعض النتائج المفيدة فيما يتعلق بالضرب القياسي، أهمها أنه إذا كانت 𝜃 الزاوية المحصورة بين ﻝ وﻉ، فإن جيب تمام 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ مقسومًا على مقياس ﻝ مضروبًا في مقياس ﻉ. وهو ما يعطينا نتيجة مفيدة. وإذا كان ﻝ وﻉ متجهين متعامدين، فلا بد أن يكون قياس الزاوية المحصورة بينهما ٩٠ درجة. وبما أن جيب تمام ٩٠ يساوي صفرًا، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحدث بها ذلك هي أن يكون حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻝ وﻉ صفرًا.