شارح الدرس: الضرب القياسي في بُعدين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في بُعدَيْن.

توجد ثلاث طرق لضرب المتجهات. الأولى: يمكننا الضرب في عدد ثابت؛ حيث نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في عدد حقيقي؛ مثل . هنا نضرب كل مركبة للمتجه في العدد ثلاثة. الطريقتان الأخريان تتضمَّنان ضرب متجه في متجه آخر، بطريقتين مختلفتين: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي. في هذا الشارح، سنتناول فقط الضرب القياسي.

نفترض أن لدينا المتجه ومركبتيه ، والمتجه ومركبتيه . يُكتَب حاصل الضرب القياسي لهما على الصورة . لاحِظ هنا أن النقطة تتوسَّط المتجهين، وليست عند قاعدة كلٍّ منهما. والآن، لحساب حاصل الضرب القياسي، علينا أن نكتب المتجهين على الصورة الإحداثية، ثم نضرب المركبات المتناظرة لكل متجه، ونجمع الأعداد الناتجة.

وهذا موضَّح في المثال ١.

لاحظ أننا في هذا المثال كتبنا «.» نستخدم هذا الترميز لتجنُّب أي خلط محتمَل مع الضرب الاتجاهي لمتجهين، الذي يَستخدم علامة الضرب بدلًا من النقطة. لاحظ أيضًا أن حاصل الضرب القياسي يَنتج عنه إجابة تمثِّل قيمة عددية أو كمية قياسية. تجدر الإشارة هنا إلى أن الضرب القياسي يُسمَّى هكذا لهذا السبب.

هيا نرَ ما سيحدث عند إجراء الضرب القياسي ؛ حيث عدد حقيقي لا يساوي صفرًا، ، . مركبتا هما ، ونجد أن:

وبالمثل، نجد أن: و:

وبما أن هذه خاصية مهمة، إذن هيا نذكرها هنا.

بالإضافة إلى ذلك، نجد من التعريف أن: وبما أن عملية الضرب عملية إبدالية، فإن ذلك يؤدي إلى:

وهذا يوضِّح أن الضرب القياسي إبدالي.

نتناول الآن ثلاثة متجهات ، ، ، ونُوجد حاصل الضرب القياسي . لدينا ؛ ومن ثَمَّ:

وفي النهاية، نجد أن:

توضِّح هذه المعادلة أن الضرب القياسي قابل للتوزيع.

نفكِّر في خاصية مفيدة لحاصل الضرب القياسي عندما نأخذ حاصل الضرب القياسي لمتجه مع نفسه، وهو ما نحسبه في المثال الآتي.

لكي نرى كيف تكون هذه النتيجة مهمة، هيا نحسب معيار المتجه نفسه. أولًا، نرسم رسمًا توضيحيًّا للمتجه.

يمكننا إيجاد معياره بإيجاد طوله باستخدام نظرية فيثاغورس. إذن معيار ، الذي يُرمز إليه عادةً بالرمز ، يُحسب كالآتي:

إذا قارنَّا المعيار وحاصل الضرب القياسي، فسنجد الخاصية الآتية.

يمكن تفسير حاصل الضرب القياسي لمتجهين هندسيًّا، كما هو موضَّح في إطار التعريف الآتي.

تعريف: التعريف الهندسي لحاصل الضرب القياسي

حاصل الضرب القياسي للمتجهين ، يساوي حاصل ضرب معيارهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، .

يوضِّح لنا التفسير الهندسي أنه كلما كان المتجهان «أقرب»، كان حاصل ضربهما القياسي أكبر؛ لأنه كلما كانت الزاوية أصغر، كان جيب التمام لها أكبر. ومن ثَمَّ، فإن القيمة العظمى لحاصل الضرب القياسي لمتجهين معياراهما معلومان تحدُث عندما يكون للمتجهين نفس الاتجاه؛ أي عندما تكون الزاوية بينهما تساوي صفرًا.

ومن ثَمَّ، فإن حاصل الضرب القياسي لمتجهين على استقامة واحدة ولهما الاتجاه نفسه هو: وبما أن ، إذن نحصل على:

وهذا يتسق مع ما توصَّلنا إليه من قبلُ فيما يخص حاصل الضرب القياسي لمتجه مع نفسه.

عندما يكون المتجهان ، على استقامة واحدة لكن في اتجاهين متضادين، فإن الزاوية بينهما تساوي ، وجيب تمام هذه الزاوية يساوي ؛ وبذلك يُعطى حاصل ضربهما القياسي بواسطة:

من ناحية أخرى، عندما يكون المتجهان ، متعامدين، فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا؛ لأن جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، التي قياسها يساوي صفرًا. وهذه خاصية مهمة يمكن استخدامها للتحقُّق ممَّا إذا كان المتجهان المعلومة مركباتهما متعامدين أو لا.

هيا نُلقِ نظرة على مثال علينا فيه استخدام هذه الخاصية.

مثال ٣: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في مربع

مربع طول ضلعه ١٠ سم. ما قيمة ؟

الحل

يمكننا البدء في الإجابة عن هذا السؤال برسم مربع والمتجهين ، .

نرى أن ، متعامدان؛ لأن الضلعين المتجاورين للمربع متعامدان. قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين يساوي ، وبما أن ، إذن لدينا:

الإجابة هي .

هيا نُلقِ نظرة على مثال آخر علينا فيه استخدام خاصية المتجهات المتعامدة.

في المثال الأخير، سنتعرَّف على كيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي باستخدام التعريف الهندسي له.

مثال ٥: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في مثلث

إذا كان مثلثًا متساوي الساقين، فيه ، ، فأوجد .

الحل

هيا نرسم أولًا المثلث والمتجهين ، .

المطلوب منا هو إيجاد . لذا، علينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين ، ، ومعيار .

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين، نرسم المتجه مكافئًا لـ ؛ حيث تكون النقطتان الابتدائيتان لكلٍّ من ، منطبقتين.

في المثلث المتساوي الساقين ، . قياس الزاوية المحصورة بين ، يساوي ؛ ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

لإيجاد معيار ، بما أننا نعرف طولَي ، ، يمكننا ببساطة اعتبار أن معيارَي المتجهين مُعطيان من خلال طولَيْهما بوحدة السنتيمتر. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد الطول . لهذا الغرض، يمكننا استخدام قاعدة الجيب في المثلث . نحصل على:

يمكننا الآن إيجاد بكتابة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، . بالتعويض بمعيارَي ، ، وقيمة في هذه المعادلة، نحصل على:

بما أن ، إذن نجد أن:

ملاحظة أخيرة، هيا نرَ كيف نستنتج قانون جيب التمام باستخدام خاصية التوزيع لحاصل الضرب القياسي والتعريف الهندسي له. لأيِّ ثلاث نقاط ، ، ، يمكننا كتابة:

بفك الأقواس، نجد أن:

بما أن ، إذن نحصل على:

نفترض أن هي الزاوية المحصورة بين ، ، كما هو موضَّح في الشكل السابق. لدينا:

قياس الزاوية المحصورة بين ، يساوي ؛ ومن ثَمَّ، لدينا:

وبما أن لأيِّ ، فإننا نجد أن: وهو ما يتوافق مع قانون جيب التمام: حيث ، ، ، .

هيا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.