شارح الدرس: الضرب القياسي في بُعدين الرياضيات

في هذا الدرس، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في بُعدين.

تُوجَد ثلاث طرق لضرب المتجهات. الأولى، عن طريق الضرب في عدد ثابت؛ حيث نضرب كل مركبات المتجه في عدد حقيقي؛ مثل ٣𞸏. هنا، نضرب كل مركبة للمتجه 𞸏 في العدد ٣. الطريقتان الأخريان تتضمَّنان ضرب متجه في متجه آخر، بطريقتين مختلفتين: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي. في هذا الدرس، نتناول فقط الضرب القياسي، مع بعض التطبيقات الجيدة، إلى جانب بعض الأمثلة.

نفترض أن لدينا المتجه 󰄮𞸋 ذا المركبتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والمتجه 󰄮𞸏 ذا المركبتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وطُلِب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. إذن نكتب هذا على الصورة 󰄮𞸋󰄮𞸏. لاحِظ هنا أن النقطة تتوسَّط المتجهين، وليست عند القاعدة بينهما كلٍّ منهما. والآن، لحساب حاصل الضرب القياسي، علينا أن نكتب المتجهين على الصورة الإحداثية، ثم نضرب المركبات المتناظرة لكل متجه، وأخيرًا نجمع الأعداد الناتجة: 󰄮𞸋󰄮𞸏=𞸎×𞸎+𞸑×𞸑.١٢١٢ وهذا موضَّح في المثال الأول.

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهات الثنائية الأبعاد

إذا كان المتجه 󰄮𞸏=(٧،٢)، والمتجه 󰄮𞸋=(٣،٦)، فأوجد 󰄮𞸋󰄮𞸏.

الحل

لدينا: 󰄮𞸋󰄮𞸏=(٧،٢)(٣،٦)=٧×٣+٢×٦=١٢+٢١=٣٣. لاحِظ أننا في المثال كتبنا 󰄮𞸋󰄮𞸏. نستخدم هذا الترميز هنا لتجنُّب الخلط المحتمَل بينه وبين الضرب الاتجاهي للمتجهين، الذي يستخدم علامة ضرب بدلًا من نقطة. لاحِظ أيضًا أن الضرب القياسي تَنتج عنه إجابة تمثِّل قيمة عددية، أو كمية قياسية. تجدر الإشارة هنا إلى أن الضرب القياسي يُسمَّى هكذا لهذا السبب.

خلاصة القول، الضرب القياسي لمتجهين هو مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة. في المثال ١، أوجدنا حاصل ضرب المركبتين 𞸎، زائد حاصل ضرب المركبتين 𞸑؛ حيث المتجهان 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 مكتوبان على الصورة (𞸎،𞸑).

في المثال ١، كنا نريد إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين على الصورة (𞸎،𞸑)، وهما متجهان ثنائيا الأبعاد. يمكننا أيضًا إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهات ثلاثية أو رباعية الأبعاد، أو حتى لها عدد 𞸍 من الأبعاد، بشرط أن يكون لكلا المتجهين عدد الأبعاد نفسه. إن عملية إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهات ذات الأبعاد عدد أبعاد أكبر متماثلة جدًّا. أولًا، نضرب أول مركبتين بكل متجه، زائد حاصل ضرب المركبتين الثانيتين، ونواصل هذه العملية حتى نصل إلى المركبة رقم 𞸍 بكلا المتجهين.

إذا كان المتجهان 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،،𞸋󰁒١٢𞸍، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،،𞸏󰁒١٢𞸍، فإذن يمكننا حساب 󰄮𞸋󰄮𞸏 كالآتي: 󰁓𞸋،𞸋،،𞸋󰁒󰁓𞸏،𞸏،،𞸏󰁒=𞸋𞸏+𞸋𞸏++𞸋𞸏.١٢𞸍١٢𞸍١١٢٢𞸍𞸍 مرةً أخرى، في مثال عددي، الإجابة التي نحصل عليها لحاصل الضرب القياسي لمتجهين لهما عدد أبعاد أكبر هي كمية قياسية.

قبل أن نتناول بعض تطبيقات الضرب القياسي، دعونا نتذكَّر كيفية حساب معيار المتجه. وهذا موضَّح في المثال ٢.

مثال ٢: إيجاد معيار المتجه

أوجد معيار المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁=(٥،٢١).

الحل

أولًا، نرسم شكلًا للمتجه.

ويمكننا إيجاد معياره من خلال إيجاد طوله باستخدام نظرية فيثاغورس. إذن، نحسب معيار المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁 الذي يُرمَز له عادةً بالرمز 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁󰍼، بالطريقة الآتية: 󰋴٥+٢١=󰋴٩٦١=٣١.٢٢

وفي هذه المرحلة، تجدر الإشارة إلى تطبيق معيَّن للضرب القياسي. إذا أردنا إيجاد حاصل الضرب القياسي: 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁، فسنحصل على: ٥×٥+٢١×٢١=٥+٢١.٢٢ وإذا قارنَّا المعيار وحاصل الضرب القياسي، فسنجد أن: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁󰍼=󰋷󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁.

الآن، هيا نستمر في دراستنا للضرب القياسي. هناك تطبيق آخر مفيد للضرب القياسي، وهو القدرة على إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. وقد يكون المتجهان ثنائيَّي الأبعاد أو لهما عدد 𞸍 من الأبعاد. أحد تطبيقات الضرب القياسي هو أن حاصل الضرب القياسي بين متجهَي الوحدة في اتجاهي المتجه 󰄮𞸋 والمتجه 󰄮𞸏 يساوي جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.

عند إعادة الترتيب، لنجعل 𝜃 المتغيِّر التابع، نجد أن: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.١

نلقي نظرة عن قُرب على هذا المفهوم في المثالين ٣، ٥.

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين

إذا كان المتجهان 󰄮𞸋=(٤،١)، والمتجه 󰄮𞸏=(٢،٥)، فأوجد حاصل ضربهما القياسي، وقياس الزاوية المحصورة بينهما، لأقرب منزلة عشرية واحدة.

الحل

في البداية، قد يكون من المفيد رسم شكلٍ للمتجهين.

وللإجابة عن الجزء الأول، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين. 󰄮𞸋󰄮𞸏=٢×٤+٥×١=٣١.

ولإيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما، علينا أيضًا إيجاد معيار كل متجه: 󰍼󰄮𞸋󰍼=󰋴٤+١=󰋴٧١،󰍼󰄮𞸏󰍼=󰋴٢+٥=󰋴٩٢،٢٢٢٢

والآن، نعوِّض في الصيغة المعاد ترتيبها لإيجاد قياس 𝜃: 𝜃=󰃭٣١󰋴٧١󰋴٩٢󰃬=󰃭٣١󰋴٣٩٤󰃬=٢٫٤٥().بواة١١

وبذلك نكون قد أوجدنا أن قياس الزاوية بين المتجهين المحدَّدين في الشكل يساوي ٢٫٤٥.

مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين ليسا في الربع الأول

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين 󰄮𞸋=(٣،٢)، 󰄮𞸏=(٥،٣). قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

مرةً أخرى، نبدأ برسم شكل.

علينا بعد ذلك حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين: 󰄮𞸋󰄮𞸏=٣×٥+٢×٣=٩.

والآن، علينا حساب معيار كل متجه: 󰍼󰄮𞸋󰍼=󰋴(٥)+(٣)=󰋴٤٣،󰍼󰄮𞸏󰍼=󰋴٣+(٢)=󰋴٣١.٢٢٢٢

وأخيرًا، علينا التعويض في الصيغة لإيجاد قياس 𝜃: 𝜃=󰃭٩󰋴٤٣󰋴٣١󰃬=󰂔٩٢٤٤󰂓=٣٫٥١١().بواة١١

مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين ليسا في الربع الأول

أوجد قياس الزاوية بين المتجهين 󰄮𞸋=(١،٠)، 󰄮𞸏=󰃭١󰋴٢،١󰋴٢󰃬. إذا لزم الأمر، قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

لدينا في هذا السؤال متجه واحد في اتجاه المحور 𞸎 الموجب. علينا بعد ذلك حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين: 󰄮𞸋󰄮𞸏=١×١󰋴٢+٠×١󰋴٢=١󰋴٢.

والآن، يجب أن نحسب معيار كل متجه: 󰍼󰄮𞸋󰍼=󰋴(١)+(٠)=١،󰍼󰄮𞸏󰍼=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭١󰋴٢󰃬+󰃭١󰋴٢󰃬=١.٢٢٢٢

وأخيرًا، علينا التعويض في الصيغة لإيجاد قياس 𝜃: 𝜃=١=󰃭١󰋴٢󰃬=٥٣١().بواة١١󰋴٢١

النقاط الرئيسية

لقد عَرَفنا أننا نحسب حاصل الضرب القياسي للمتجهين 󰄮𞸋=󰁓𞸋،𞸋،،𞸋󰁒١٢𞸍، 󰄮𞸏=󰁓𞸏،𞸏،،𞸏󰁒١٢𞸍 بالطريقة الآتية، عن طريق ضرب جميع المركبات المتناظرة: 󰁓𞸋،𞸋،،𞸋󰁒󰁓𞸏،𞸏،،𞸏󰁒=𞸋𞸏+𞸋𞸏++𞸋𞸏،١٢𞸍١٢𞸍١١٢٢𞸍𞸍 وهو ما يعطينا ناتجًا عبارة عن عدد يُسمَّى كمية قياسية. استخدمنا أيضًا حقيقة أن حاصل الضرب القياسي لمتجهَي الوحدة في اتجاه المتجهين 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، 󰄮𞸋󰍼󰄮𞸋󰍼، 󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼، يساوي جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما: 𝜃=󰄮𞸋󰄮𞸏󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼.

يمكن استخدام هذا لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.