فيديو السؤال: إيجاد مركز كتلة نظام مكون من ستة جسيمات موضوعة على رءوس شكل سداسي منتظم الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

وضعت ست كتل مقاديرها ٧٠ و٣٠ و٧٠ و٥٠ و٧٠ و١٠ كيلوجرامات على الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ وﻭ لشكل سداسي منتظم طول ضلعه ٣٠ سنتيمترًا. أوجد المسافة بين مركز الشكل السداسي ومركز ثقل النظام.

في البداية، لإيجاد المسافة بين مركز الشكل السداسي ومركز ثقل النظام، علينا استخدام إحدى الطرق لإيجاد مركز الثقل. في هذا السؤال تحديدًا، لدينا كتل الأجسام بدلًا من أوزانها. ولا نعلم أي شيء عن مجال الجاذبية المحلي. ومن ثم، يمكننا افتراض أن مركز الثقل هو نفسه مركز الكتلة.

مركز كتلة أي نظام هو المتوسط المرجح لموضع جميع الأجسام التي تكون هذا النظام؛ حيث تكون قيمة موضع معين هي كتلة الجسم عند هذا الموضع. وفي صورة صيغة، يمكننا حساب الإحداثي ﺱ لمركز كتلة أي نظام بضرب كتلة كل جسم في الإحداثي ﺱ لموضعه، وجمع كل من حواصل الضرب هذه، ثم القسمة على الكتلة الكلية للنظام. ولإيجاد أي إحداثي آخر، نعوض ببساطة عن ﺱ في هذه الصيغة بالإحداثي المطلوب.

إذن خطتنا هي استخدام هذه الصيغة لإيجاد إحداثيات مركز الكتلة، ثم إيجاد المسافة من تلك النقطة إلى مركز الشكل السداسي. حسنًا، نحن لا نعرف إحداثيات كل كتلة من كتل هذا النظام. لكننا نعلم أنها تقع عند رءوس شكل سداسي منتظم طول ضلعه ٣٠ سنتيمترًا. هذه المعطيات كافية لإيجاد قيمة الإحداثيات. كل ما علينا فعله الآن هو رسم شكل توضيحي.

ها هو الشكل السداسي المنتظم، طول ضلعه محدد، إلى جانب الحرف المناظر لكل رأس، وكذلك الكتلة المناظرة. لقد حددنا أيضًا محورين. دعونا نسم المحور الأفقي ﺱ، والمحور الرأسي ﺹ. لا يؤثر اتجاه الشكل السداسي على الإجابة النهائية. لذلك، وضعنا الرأسين ﺃ وﺩ بشكل عشوائي على المحور ﺱ، وحاذينا أيضًا مركز الشكل السداسي ليكون عند نقطة الأصل لتبسيط العمليات الحسابية التي سنجريها.

عند هذه النقطة، يمكننا المضي قدمًا، وإيجاد إحداثيات كل رأس، ثم التعويض بها في صيغة مركز الكتلة، وإجراء العمليات الحسابية. لكن بدلًا من استخدام هذه الطريقة، سنبسط المسألة من خلال مجموعة من الخطوات عن طريق الاستفادة من بعض التماثلات الموجودة بالفعل. وهذا سيقلل من العمليات الحسابية التي علينا إجراؤها في النهاية، وكذلك عدد الرءوس التي علينا إيجاد إحداثياتها.

ولإجراء هذه العمليات المبسطة، علينا أن نفهم المزيد عن مركز الكتلة. على وجه التحديد، يمكننا استخدام مفهوم مركز الكتلة للتعويض عن مجموعة أجسام ذات كتل مختلفة في مواضع مختلفة بجسم واحد يقع عند مركز الكتلة، وكتلته هي الكتلة الكلية للنظام. هذ التعويض ينطبق أيضًا على صيغة مركز الكتلة نفسها. وهو ما يعني أن الكتلة والموضع المناظر لها لا يلزم بالضرورة أن يشيرا إلى جسم واحد، بل يمكن أن يشيرا إلى الكتلة الكلية للنظام ومركز كتلة هذا النظام.

لتوضيح ذلك عمليًّا، دعونا نفترض أن لدينا نظامًا مكونًا من ثلاث كتل: ﻡ واحد وﻡ اثنين وﻡ ثلاثة. لإيجاد مركز كتلة هذا النظام، نستخدم ببساطة الصيغة ذات الصلة. لكن الآن سنفكر في النظام الفرعي الذي يتكون فقط من الكتلة اثنين والكتلة ثلاثة. فلنفترض أن موضع مركز الكتلة لهاتين الكتلتين يقع هنا. بعد ذلك، إذا وضعنا كتلة عند هذه النقطة، كتلتها ﻡ اثنان زائد ﻡ ثلاثة، فإن مركز كتلة النظام الذي يتكون من الكتلة الأولى وهذه الكتلة الجديدة سيكون متطابقًا مع مركز كتلة النظام الذي يتكون من جميع الكتل الأصلية الثلاث. وهو ما يعني أنه يمكننا تقسيم النظام الذي يتكون من ست كتل إلى عدة أنظمة فرعية أصغر، وإيجاد مركز كتلة كل نظام فرعي، ثم دمج مراكز الكتلة هذه لإيجاد مركز كتلة النظام الكلي.

سنبدأ الآن بملاحظة أن الرءوس ﺃ وﺟ وﻫ لها كلها الكتلة نفسها التي تساوي ٧٠ كيلوجرامًا. ونلاحظ أيضًا أنه بما أن كلًّا من هذه الرءوس يمثل رءوسًا في شكل سداسي منتظم، فهي تشكل أيضًا رءوس مثلث متساوي الأضلاع. هيا نلق نظرة على هذا المثلث عن قرب. ها هو المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺟﻫ الذي كل رأس فيه به كتلة تساوي ٧٠ كيلوجرامًا. يتضح أنه من السهل جدًّا إيجاد مركز كتلة مضلع منتظم به الكتلة نفسها عند كل رأس.

لمعرفة ذلك، نلاحظ أولًا أن مركز كتلة هذا الشكل يقع في مكان ما داخل المثلث. والآن، تخيل أننا ندور هذا المثلث ليتجه الرأس ﺃ إلى الرأس ﺟ، ويتجه ﺟ إلى ﻫ، ويتجه ﻫ إلى ﺃ. عندما يحدث ذلك، يدور مركز الكتلة أيضًا ثلث دورة تقريبًا؛ لأن موضعه بالنسبة إلى الرءوس يجب أن يظل كما هو. لكن لاحظ أن الكتل الموجودة على المثلث موضوعة في مواضع مماثلة لما كانت عليه من قبل. فقد أعدنا تسمية الرءوس فقط. ولكن هذا يعني أن مركز كتلة المثلث لا بد أن يظل هو نفسه كما كان في الاتجاه السابق؛ لأن الاتجاهين متماثلان. وهذا يعني أن هذه النقطة وهذه النقطة يمثلان في الواقع النقطة نفسها. والنقطة الوحيدة الموجودة داخل أي مضلع منتظم؛ مثل هذا المثلث المتساوي الأضلاع، التي لا تتحرك بغض النظر عن طريقة دوران المضلع نفسه، هي مركز المضلع.

إذن، من دون إجراء أي عملية حسابية، نعلم أن مركز كتلة هذا المثلث المتساوي الأضلاع يقع هنا عند مركز المثلث بالضبط. وهذا لأن المثلث نفسه متماثل حول هذه النقطة. وهذا بوجه عام برهان قوي للغاية. وفي هذه الحالة تحديدًا، يتضح لنا أن الكتلة المجمعة للمثلث المتساوي الأضلاع، الذي به كتلة تساوي ٧٠ كيلوجرامًا عند كل رأس، تكافئ ٢١٠ كيلوجرامات؛ أي ثلاثة في ٧٠، وتقع عند المركز الهندسي بالضبط.

بالعودة إلى الشكل، نجد أن مركز المثلث المتساوي الأضلاع هو أيضًا مركز الشكل السداسي، الذي يقع عند نقطة أصل النظام الإحداثي. إذن، دعونا نستبدل الكتلة ٧٠ كيلوجرامًا عند ﺃ وﺟ وﻫ بالكتلة ٢١٠ كيلوجرامات عند نقطة الأصل. وهذا يساعدنا بطريقتين. أولًا: يقل عدد النقاط لدينا لتصبح أربع نقاط بدلًا من ست نقاط، وهذا بدوره يقلل من عدد العمليات الحسابية التي سنجريها. وذلك فضلًا عن أن إحدى هذه النقاط تقع عند نقطة الأصل. وتعد النقاط الواقعة عند نقطة الأصل مفيدة جدًّا؛ لأنها تظهر في صورة أصفار في بسط صيغة مركز الكتلة. وتبسط هذه الأصفار بعد ذلك العمليات الحسابية.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه على الرغم من أنه قد يبدو أننا توصلنا إلى هذا القدر من التبسيط بعد بذل الكثير من الجهد للوصول إلى فكرة التماثل والبراهين والمثلثات المتساوية الأضلاع، فبمجرد أن أصبحنا على دراية بهذه الأنواع من البراهين، يمكننا بالفعل الانتقال من الشكل الأولي إلى الشكل المبسط في خطوة واحدة. بعبارة أخرى: بمجرد أن نلاحظ أن النقاط ﺃ وﺟ وﻫ جميعها لها الكتلة نفسها وتبعد بمسافة متساوية عن نقطة الأصل، يمكننا على الفور استبدالها بالكتلة المجمعة التي تقع عند نقطة الأصل نفسها. ويعد هذا التعويض تبسيطًا كبيرًا إلى حد ما في هذا النظام.

دعونا نعوض مرة أخرى لتبسيط النظام أكثر من ذلك. في هذا التعويض، علينا معرفة كيفية تقسيم كتلة عند نقطة واحدة إلى كتلتين مختلفتين أو أكثر. لنفترض أن لدينا نظامًا مكونًا من كتلتين، إحداهما هي الكتلة ﻡ واحد زائد ﻡ اثنين، والأخرى هي الكتلة ﻡ ثلاثة. إذا أردنا التفكير في ذلك، فيمكننا تقسيم إحدى الكتلتين، لنفترض أننا قسمنا الكتلة الأولى إلى كتلتين طالما أنهما لا تزالان عند النقطة نفسها، والكتلة الكلية لهما لم تتغير.

لنر الآن كيف يمكن أن يساعدنا هذا النوع من التقسيم في التعويض بنظام أبسط عن النظام المكون من الرأس الذي كتلته ٣٠ كيلوجرامًا عند ﺏ، والرأس الذي كتلته ١٠ كيلوجرامات عند ﻭ. ها هما النقطتان، وقد قمنا أيضًا بتضمين محور أفقي لتوضيح سهولة هذا التعويض وفائدته. لاحظ أن النقطتين لهما الإحداثي ﺱ نفسه، والإحداثيان ﺹ للنقطتين متساويان في المقدار، ولكنهما متضادان في الإشارة. في الواقع، الشيء الوحيد الذي يكسر التماثل الكامل حول المحور الأفقي هو حقيقة أن تكون الكتل مختلفة.

تذكر، كما رأينا سابقًا، أن التماثل وسيلة مفيدة للغاية. لذا دعونا نحاول جعل هذه الحالة متماثلة قدر الإمكان. بما أن الكتلة الأصغر تساوي ١٠ كيلوجرامات، يمكننا إيجاد التماثل الذي نريده بتقسيم الكتلة الأكبر إلى جزأين: أحدهما كتلته ١٠ كيلوجرامات، والآخر هوالـ ٢٠ كيلوجرامًا المتبقية. وبذلك أصبح لدينا الآن تماثل كامل حول المحور الأفقي لهاتين الكتلتين اللتين تساويان ١٠ كيلوجرامات.

باستخدام النوع نفسه من براهين التماثل التي استخدمناها في المثلث المتساوي الأضلاع، نعلم أنه يمكننا التعويض عن هاتين الكتلتين اللتين تساويان ١٠ كيلوجرامات بكتلة واحدة تساوي ٢٠ كيلوجرامًا عند المركز بالضبط، وهو يقع هنا على المحور الأفقي. وبإجراء هذا التعويض في الشكل، يتبقى لدينا ٢٠ كيلوجرامًا عند الرأس ﺏ، و٢٠ كيلوجرامًا على المحور الأفقي أسفل ﺏ مباشرة، و٢١٠ كيلوجرامات عند نقطة الأصل، و٥٠ كيلوجرامًا عند الرأس ﺩ.

هذا التبسيط يعتبر بسيطًا نسبيًّا؛ لأن لدينا عددًا متساويًا من النقاط مثلما كان لدينا من قبل. ومع ذلك، فهو يحتوي على فائدتين رئيسيتين. أولًا: تقع الآن كل النقاط على المحور الأفقي ما عدا نقطة واحدة، وهو ما يعني أن الإحداثي ﺹ الوحيد الذي علينا إيجاده هو الإحداثي ﺹ للنقطة ﺏ؛ حيث إن الإحداثي ﺹ للنقاط الثلاث الأخرى يساوي صفرًا. وهذا سيبسط إلى حد كبير العملية الحسابية لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة.

ثانيًا: كل ما علينا إجراؤه الآن هو تحديد ثلاث قيم للإحداثيات، وهما بالتحديد الإحداثيان ﺱ وﺹ للرأس ﺏ، والإحداثي ﺱ للرأس ﺩ. ومن بين الإحداثيات الخمسة المتبقية، فإن الإحداثي ﺱ للكتلة التي تساوي ٢٠ كيلوجرامًا على المحور الأفقي هو نفسه الإحداثي ﺱ للرأس ﺏ. وجميع الإحداثيات الأربعة الأخرى تساوي صفرًا.

من الجدير بالذكر أن هذا التبسيط يتطلب بعض الخطوات اللازمة، مثلما حدث في المثلث المتساوي الأضلاع. لكن بمجرد معرفة هذا النوع من الخطوات، يمكننا المتابعة مباشرة من الشكل الأصلي إلى الشكل البديل في خطوة واحدة أو خطوتين.

حسنًا، هيا نوجد الآن إحداثيات هذه النقاط. دعونا نبدأ بإيجاد إحداثيات النقطة ﺩ. بالعودة إلى الشكل الأصلي، بما أن الشكل بالكامل يوضح شكلًا سداسيًّا منتظمًا، فإن المثلث الذي يتكون من ﺟﺩ ونقطة الأصل مثلث متساوي الأضلاع. أحد أضلاع هذا المثلث المتساوي الأضلاع هو أيضًا ضلع في الشكل السداسي، والذي نعلم أن طوله يساوي ٣٠ سنتيمترًا، وهو ما يعني أن طول جميع أضلاع المثلث يساوي ٣٠ سنتيمترًا. وبما أن النقطة ﺩ تقع على المحور الأفقي، فإن ﺩ تبعد مسافة ٣٠ سنتيمترًا عن نقطة الأصل. إذن إحداثيات النقطة ﺩ هي ٣٠، صفر.

بالطبع، إحداثيات نقطة الأصل هي صفر، صفر. والنقطة ﺏ، تمامًا مثل النقطة ﺩ، رأس لمثلث متساوي الأضلاع، هذا المثلث يتكون من ﺃ وﺏ ونقطة الأصل. باستخدام قواعد أطوال أضلاع المثلثات التي قياس زواياها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة، يمكننا معرفة أن الإحداثي ﺱ للنقطة ﺏ يساوي سالب نصف في طول ضلع المثلث؛ حيث إن الإحداثي سالب؛ لأنه يقع على يسار نقطة الأصل. والإحداثي ﺹ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة في نصف طول ضلع المثلث. مرة أخرى، بما أن طول ضلع المثلث ٣٠ سنتيمترًا، فإن إحداثيات النقطة ﺏ هما سالب ١٥، ١٥ في الجذر التربيعي لثلاثة.

تشترك النقطة الأخيرة لدينا في الإحداثي ﺱ مع النقطة ﺏ، والإحداثي ﺹ لها يساوي صفرًا. إذن إحداثياها هما سالب ١٥، صفر. كل ما علينا فعله الآن لإيجاد مركز الكتلة هو التعويض وحساب القيم. أولًا: نلاحظ أن الكتلة الكلية للنظام تساوي ٢١٠ زائد ٢٠ زائد ٢٠ زائد ٥٠، أو ٣٠٠ كيلوجرام. هيا نبدأ بإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة. المجموع في البسط يساوي ٥٠ في ٣٠ زائد ٢١٠ في صفر زائد ٢٠ في سالب ١٥ زائد ٢٠ في سالب ١٥. والمقام، كما حسبنا بالفعل، يساوي ٣٠٠.

لتبسيط هذه العملية الحسابية، سنلاحظ عدة أمور. أولًا: ٢١٠ في صفر يساوي صفرًا. ثانيًا: ٢٠ في ١٥ يساوي ٣٠٠. إذن آخر حدين يساويان سالب ٣٠٠. وأخيرًا: ٥٠ في ٣٠ يساوي خمسة في ٣٠٠. الآن نرى أن كل حد في البسط يقبل القسمة على ٣٠٠. على وجه التحديد، خمسة في ٣٠٠ مقسومًا على ٣٠٠ يساوي خمسة، وصفر مقسومًا على ٣٠٠ يساوي صفرًا، وسالب ٣٠٠ مقسومًا على ٣٠٠ يساوي سالب واحد. ومن ثم، هذا التعبير بأكمله يساوي خمسة ناقص واحد ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة هو ثلاثة.

هيا نفرغ بعض المساحة الآن حتى يتسنى لنا إجراء عملية حسابية أبسط بكثير لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. للإحداثي ﺹ، نحسب البسط بالطريقة نفسها من خلال التعويض عن ﺱ بـ ﺹ. وكما رأينا من قبل، النقطة الوحيدة التي بها الإحداثي ﺹ لا يساوي صفرًا هي الكتلة التي تساوي ٢٠ كيلوجرامًا، والتي بها الإحداثي ﺹ يساوي ١٥ في الجذر التربيعي لثلاثة. إذن الحد غير الصفري الوحيد في البسط هو٢٠ في ١٥ جذر ثلاثة. وكما فعلنا من قبل، ما زال المقام يساوي ٣٠٠.

هنا يأتي دور التعويض الثاني. كل ما علينا فعله هو التفكير في حد واحد فقط في البسط؛ لأن جميع الحدود الأخرى تساوي صفرًا. وكما رأينا، ٢٠ في ١٥ يساوي ٣٠٠. وعليه، البسط يساوي ٣٠٠ في الجذر التربيعي لثلاثة. وأخيرًا، ٣٠٠ مقسومًا على ٣٠٠ يساوي واحدًا. إذن الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

آخر شيء علينا فعله هو حساب المسافة من النقطة ثلاثة، جذر ثلاثة؛ أي مركز كتلة الشكل السداسي، إلى نقطة الأصل؛ أي المركز الهندسي للشكل السداسي. المسافة من أي نقطة إلى نقطة الأصل تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين ﺱ وﺹ. وبذلك، يصبح لدينا الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد الجذر التربيعي لثلاثة تربيع. بما أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، والجذر التربيعي لثلاثة تربيع يساوي ثلاثة، فهذا يساوي الجذر التربيعي لتسعة زائد ثلاثة، أو الجذر التربيعي لـ ١٢. وبما أن ١٢ يساوي اثنين تربيع في ثلاثة، فإن الجذر التربيعي لـ ١٢ يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة.

وبذلك نجد في النهاية أن المسافة بين مركز ثقل النظام والمركز الهندسي للشكل السداسي تساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة سنتيمترات.